1、中学生标准学术能力诊断性测试中学生标准学术能力诊断性测试 2021 年年 1 月测试月测试 文文科数学试卷科数学试卷（一卷一卷） 一、选择题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1集合1,2,3A，4,5,6,7,8B ，2 ,Cy yx xA，则BC（ ） A4,6 B4,8 C6,8 D4,6,8 2已知 1 F和 2 F是双曲线 2 2 1 8 x y 的两个焦点，则 12 FF （ ） A7 B3 C2 7 D6 3有两条不同的直线m，n，以及两个不同的平面，下列说法正确是（ ） A若/m，/ ，则/m B若m，n，nm，则n C若m，/n，则mn D若，m，
2、/n，则mn 4已知0b，则“1ab ”是“1ab”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5正项等比数列 n a中， 2 1a ， 35 16aa，则 24 13 aa aa 的值是（ ） A2 B4 C8 D16 6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ） A15 4 B62 6 C6 D42 6 7将函数 2 2cos3sin2f xxx先向右平移 12 个单位长度，再将图像上各点的横坐标压缩为原来的 1 2 倍（纵坐标不变） ，则所得函数图像的一个对称中心为（ ） A ,0 12 B ,1 12 C ,0 12 D ,1 12 8已
3、知1ab，向量c满足cbaab，则c的最大值为（ ） A2 B2 2 C3 D3 2 9 四面体ABCD，AB，AC，AD两两垂直，P，Q，R分别是AB，AC，AD上的点， 且APAQAR， 设二面角APQR，AQRP，ARPQ的平面角分别为，则（ ） A B C D 10已知 1 , ,1 2 a b c ，则 222 2abc abbc 的取值范围是（ ） A2,3 B 5 ,3 2 C 5 2, 2 D1,3 11 已知椭圆 22 2 1 02 4 xy b b ， 1 F， 2 F分别为椭圆的左、 右焦点，P为椭圆上一点，2,1M， 1 MF 平分角 12 PFF，则 1 MPF与 2
4、 MPF的面积之和为（ ） A1 B 3 2 C2 D3 12数列 n a满足 1 aa， 2 1nn aaa a R，且2 n a ，则a的取值范围是（ ） A2,2 B2,0 C 1 0, 4 D 1 2, 4 二、填空题：二、填空题： 13已知复数z满足12 iiz，其中i是虚数单位，则z _ 14设mR，过定点A的动直线0 xmy与过定点B的动直线240mxym交于点,P x y， 则PA PB的最大值是_ 15 已知ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 线段BC上的点D满足ADCD， 12 tan 5 B ， 14c ，13BD，则tanC _ 16 432 661f xx
5、xrxx在0,3有且仅有三个零点，则实数r的取值范围是_ 三、解答题：三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作 答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）（一）必考题：必考题： 17甲、乙、丙三人各打靶一次，若甲打中的概率为 1 3 ，乙、丙打中的概率均为14 4 t t ，若甲、乙、 丙都打中的概率是 9 48 （1）求t的值； （2）设表示甲、乙两人中中靶的人数，求的数学期望 18在如图所示的几何体中，EA 平面ABC，FB 平面，BAAC，且222ABACAEBF， M是BC的中点 （1）求证：AMFC； （2）求CE与
6、平面FBC所成角 19已知数列 n a的各项均为正数，其前n项和为 n S，且 11 2 24 nn aS，n N （1）求数列 n a的通项公式； （2）记 2121 2121 nn n nn aa bn aa N，数列 n b的前n项和为 n T，若对任意正整数n，都有2 n Tnm， 求实数m的取值范围 20 已知抛物线 2 2ypx， 焦点,0 2 p F ， 抛物线上动点A满足到抛物线内定点1,1P的距离与到焦点F 的距离和PAAF的最小值为 2 （1）求抛物线的方程； （2）以PA为边作平行四边形PABC，使得B，C均在抛物线上，求平行四边形PABC的面积S的最小 值 21设函数
7、2 lnf xaxxx，其中aR （1）当1a 时，求曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程； （2）若关于x的方程 1fx在区间0,上有两个不同的根 1 x， 2 x （）求a的取值范围； （）证明： 2 12 x xe （二）（二）选考题：选考题： 22选修 4-4：极坐标与参数方程 在直角坐标系xOy中，已知直线l过点1, 2P ，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线C的极坐标方程为 2 cos8cos0 （1）求C的直角坐标方程； （2）若l与C交于A，B两点，求 2 22 AB PAPB 的最大值. 23选修 4-5：不等式选讲 已知不等式574xx的解集为, a
8、 b （1）求a，b的值； （2）若0 x，0y ，3bxya，求 11 2xy 的最小值 参考答案参考答案 1A 2D 3C 4B 5A 6C 7D 8B 9B 10C 11C 12D 13 2 2 1410 15 4 7 16 98 10, 9 17解： （1）设事件A表示甲中靶，B表示乙中靶，C表示丙中靶， 由已知条件可知： 1 3 P A ， 4 t P BP C， 由于A，B，C是独立事件，则 2 19 3448 t P ABCP AP BP C ， 可得3t （2）表示甲、乙两人中中靶的人数，的可能取值为 0，1，2， 131 011 346 P ， 13137 111 34341
9、2 P ， 131 2 344 P， 即的分布列为： 0 1 2 P 1 6 7 12 1 4 7113 12 12412 E 18解： （1）FB 平面ABC，AM ABC， FBAM ABAC，M是BC的中点，AMBC， FBBCB，AM 面FBC， FC 面FBC，AMFC （2）取FC中点N，连接MN，EN， M是BC的中点，N是FC中点， MN为FBC的中位线， 1 / 2 MNFB， 1 / 2 EAFB，AMNE为平行四边形， /EN AM， 由（1）已知AM 面FBC，EN 面FBC， NC是斜线CE在平面FBC内的射影， 则CE与平面FBC所成的角为ECN 设2222ABAC
10、AEBF， 则90FBA，可得2EF ，2EC ， 2 2 226FC ， EFC为等腰三角形， 6 3 2 cos 22 CN ECN EC ， 可得30ECN，即CE与平面FBC所成角为 30 19解： （1） 11 2 24 nn aS可化简为 2 2 nnn Saa， 当1n 时，解得 1 1a 或 0 因为数列 n a的各项均为正数，所以 1 1a 当2n时， 2 111 2 nnn Saa ， ，则 22 11 2 nnnnn aaaaa ， 化简可得 11 10 nnnn aaaa ， 由于0 n a ， 1 0 nn aa ，则 1 12 nn aan ， 即数列 n a是首项
11、为 1，公差为 1 的等差数列， n an （1） 21212211 222 212121212121 n nn b nnnnnn ， 从而 111112 22 122 335212121 n Tnn nnn L， 由于 2 222 21 nnm n 对任意正整数n成立，则 2 2 21 m n ， 即 min 2 2 21 m n ， 因为 2 2 21n 随着n增大而增大，所以当1n 时， 24 2 213n ， 所以实数m的取值范围是 4 3 m 20解： （1）抛物线 2 2ypx的准线: 2 p l x ， 过点A做AAl ，垂足为 A ， 由抛物线的定义可知，PAAFPA AA ，
12、 过点P做PPl ，垂足为 P ， 所以PAAFPAAAPP， 由题意，1 2 p PP ， 所以2p ，抛物线的方程为 2 4yx （2）设: AC lxtya，与抛物线联立得 2 440ytya， 设 11 ,A x y， 22 ,C x y， 由韦达定理 12 12 4 4 yyt y ya ， 2 16160ta ， 设AC，PB的交点为G，则 2 2,2Gtat， 由于G为PB的中点，则 2 421,41Btat因为B在抛物线上， 代入抛物线可得： 2 2 414 421tta，即8850at ， （*） 此时 22 16161616100tatt 恒成立， 对: AC lxtya，
13、令1y ，则xta ， 2 12 11 11 1616 22 APC Stayytata ， 将（*）代入简化得 22 1335 161610 2848 APC Stttt ， 平行四边形PABC的面积 2 35 2 28 APC SStt ， 所以当 1 2 t ， min 3 6 8 S，此时 1 8 a 21解： （1）1a 时， 2 lnf xxxx， 2ln1fxxx，则 11 f ， 又 11f，所以切点坐标为1,1， 则曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程为yx （2）由 1fx ，得2ln0axx， 即 1 x， 2 x是方程2ln0axx的两根 （）设 ln 0 x g
14、xx x ，则 2 1 ln x gx x ， 则 g x在区间0,e上为增函数，在区间, e 为减函数， 当01x时， 0g x ， 当1xe时， 1 0g x e ， 当x 时， 0g x 且 0g x ， 则当xe时， 1 0g x e ， 则当 1 02a e 时，关于x的方程 ln 2 x a x 在区间0,上有不同的两根， 故a的取值范围是 1 0, 2e （）不妨设 12 xx，由（）知 12 1xex，且 11 2lnaxx， 22 2lnaxx， 则 12121 2 2lnlnlna xxxxx x， 则 12 12 ln 2 x x a xx ， 2 2121 1 2lnl
15、nln x a xxxx x ， 即 2 1 21 ln 2 x x a xx ，则有 2 12 1 1221 ln ln x x xx xxxx ， 即 122 12 211 lnln xxx x x xxx ， 要证 2 12 x xe，即证 122 211 ln2 xxx xxx ， 又 12 21 0 xx xx ，即证 21 2 121 2 ln xxx xxx ， 令 2 1 1 x t x ，即证 214 ln2 11 t t tt ， 设 4 ln21 1 h ttt t ，则 2 22 114 0 11 t h t t tt t ， 即 h t在区间1,上是增函数，则 10h
16、 th， 即 21 ln 1 t t t 成立，故有 2 12 x xe 22解： （1）曲线C的极坐标方程为 2 cos8cos0，两边同时乘以， 得 222 cos8 cos0， 把互化公式代入可得 222 80 xyxx，即 2 8yx， 所以曲线C的直角坐标方程为 2 8yx （2）设直线l的倾斜角为0 ， 可得参数方程为 1cos 2sin xt yt （t为参数） ， 代入抛物线方程可得 22 sin4sin8cos120tt， 0 ，2sin23cos210aa ， 则 12 2 4sin8cos sin tt ， 1 2 2 12 0 sin t t ， 2 2 12121 2
17、 22 4sin8cos12 44 sinsin ABttttt t 22 2 4 4cos4sincos2sin sin 22 12 222 1 2 ABtt PAPBt t 22 16 4cos4sincos2sin 144 22 4cos4sincos2sin 9 3cos22sin21131 99 ， 此时符合直线l与抛物线有两个交点， 2 22 AB PAPB 的最大值为 131 9 23解： （1）当7x时，2124x，可得8x，78x， 当57x时，5 724xx 恒成立，57x， 当5x时，12 24x，可得4x，45x， 综上所述，不等式574xx的解集为4,8， 即4a，8b （2）834xy， 11111138 837 24 242 yx xy xyxyxy 1387 723 424 yx xy ， 当且仅当 38 2 834 yx xy xy ，即23x ， 8 3 4 3 y 时取等号， 故所求最小值为 7 3 4
