1、泰州市 2020-2021 学年度第一学期期末调研测试 高三数学试题 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 一、单项选择题（本大题共一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符 合题目要求）合题目要求） 1若集合 A= 2 |40 x x ，B=|lg0 xx，则AB=( ) A.21 ， B2 2 ， C0 1 ， D0 2， 2设xR，则“1x ”是“ 3 1x ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 3若复数2zi，
2、其中 i 是虚数单位，则下列结论正确的是( ) Az的虚部为 i B5z C2zi D 2 34zi 4人的心脏跳动时，血压在增加或减少血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读 数就是收缩压和舒张压，读数 120/80mmHg 为标准值设某人的血压满足函数式 p(t)=102+24sin(160t)， 其中 p(t)为血压(单位:mmHg)，t 为时间(单位:min)，则下列说法正确的是( ) A.收缩压和舒张压均高于相应的标准值 B.收缩压和舒张压均低于相应的标准值 C.收缩压高于标准值、舒张压低于标准值 D.收缩压低于标准值、舒张压高于标准值 5. 我国古代数学名著九章算术
3、中“开立圆术”日：置积尺数，以十六乘之， 九而一，所得开立方除之，即立圆径意思是：球的体积 V 乘 16，除以 9，再开立方，即为球的直径 d， 由此我们可以推测当时球的表面积 S 计算公式为( ) A 2 27 8 Sd B 2 27 Sd 2 C 2 2 Sd 2 7 D 2 Sd 11 14 6已知向量12AB ，cossinAC ，则ABC的面积最大值为( ) A 3 2 B 1 2 C 5 2 D1 7已知 0.1 log5x ， 7 log5y ，则( ) A0 xyxy B0 xyxy C0 xyxy D0 xyxy 8 已 知 定 义 在R上 的 奇 函 数 f x满 足17f
4、xfx， 且 当03x时 ， 2 2 log1 01 223 axx f x xx 1 ， ， ，其中 a 为常数，则201920202021fff的值为( ) A2 B2 C 1 2 D 1 2 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上全部选对得要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上全部选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 3 分，不选或有错选的得分，不选或有错选的得 0 分分 9已知抛物线yx4 2 ：的
5、焦点为 F，过 F 与 y 轴垂直的直线交抛物线于点 M，N，则下列说法正确 的有( ) A.点 F 坐标为（1，0） B.抛物线的准线方程为1y C.线段 MN 长为 4 D.直线2 xy与抛物线相切 10已知函数 xxfcossin，则下列关于该函数性质说法正确的有( ) A xf的一个周期是2 B xf的值域是11， C xf的图象关于点（，0）对称 D xf在区间，0上单调递减 11引入平面向量之间的一种新运算“”如下：对任意的向量 m= 11 yx，n= 22 yx ，规定 mn= 2121 yyxx，则对于任意的向量 a，b，c，下列说法正确的有( ) Aab= ba B(a)b=
6、(ab) Ca(bc)= (ab)c D|a|b|ab| 12 已知 202222 1 n nn nnnn xxTT xT xTx 1 ， * Nn， 其中 i n T为 2 1 n xx展开式中 i x项系数， i=0， 1，2，2n，过对角线 BD1作平面交棱 AA1于点 E，交棱 CC1于点 F，则下列说法正确的有( ) A ii TT 14 77 ，其中 i=0，1，2，14 B 3 8 3 7 2 7 TTT C 146 10 23i ii T i 7 DTTTTT 701214 77777 是， ， ，的最大项 三三、填空题：本大题共填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题
7、5 分，共分，共 20 分请把答案填写在答题卡相应位置上分请把答案填写在答题卡相应位置上 13函数 xexf x （其中 e 为自然对数的底数）的图象在点（0， 0f）处的切线方程为_ 14 党的十九大报告提出 “乡村振兴战略” ， 要 “推动城乡义务教育一体化发展， 高度重视农村义务教育” 为 了响应报告精神，某师范大学 5 名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作、若将这 5 名毕业生分 配到该山区的 3 所乡村小学，每所学校至少分配 1 人最多分配 2 人，则分配方案的总数为_ 15在平面直角坐标系 xOy 中，己知双曲线1 7 2 2 y x：的两个焦点分别为 F1，F2，以 F2为
8、圆心，F1F2 长为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于 M，N 两点，若 OMON，则 ON OM 的值为_ 16已知随机变量 X 有三个不同的取值，分别是 0，1，x，其中 x(0，1)，又 P(X=0)= 2 1 ，P(X=1)= 4 1 , 则 当 x=_时，随机变量 X 的方差的最小值为_ 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证 明过程或演算步骤明过程或演算步骤 17（本小题满分 10 分） 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b
9、，c，已知 acosC，bcosB，ccosA 成等差数列 （1）求角 B 的大小； （2）若 cosA= 5 4 ，求 sin C 的值 18（本小题满分 12 分） 已知数列 n a的前n项和为 2 1 nn Sn， 各项均为正数的等比数列 n b的前n项和为Tn， _， 且 b34 在3 2 T；7 3 T；b4b32b2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并进行解答 （1）求数列 n a和 n b的通项公式； （2）设数列 n n b a 的前 n 项和为 n A，求证：2 n A 19（本小题满分 12 分） 在三棱柱 ABC-A1B1C1中， 底面是边长为3的等边三角形 ABC
10、， AA1=2， 点 A1在底面上的射影是ABC 的中心 O （1）求证：平面 A1AO平面 BCC1B1； （2）求二面角 C1-AB-C 的余弦值 20（本小题满分 12 分） 2020年是脱贫攻坚的收官之年,国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽， 脱贫攻坚取得重大胜利， 为确保我国如期全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标打下了坚实的基础在产业扶贫政策的 大力支持下，西部某县新建了甲、乙两家玩具加工厂，加工同一型号的玩具质检部门随机抽检了两 个厂的各 100 件玩具，在抽取中的 200 件玩具中，根据检测结果将它们分为“A”、“B”、“C”三 个等级，A、B 等级都是合格品，C 等级是
11、次品，统计结果如下表所示： 等级 A B C 频数 20 120 60 (表一) 厂家 合格品 次品 合计 甲 75 乙 35 合计 (表二) 在相关政策扶持下，确保每件合格品都有对口销售渠道，但从安全起见，所有 的次品必须由原厂家自行销毁 (1)请根据所提供的数据，完成上面的 22 列联表(表二)，并判断是否有 95% 的把握认为产品的合格率与厂家有关？ (2)每件玩具的生产成本为 30 元，A、B 等级产品的出厂单价分别为 60 元、40 元另外已知每件次品 的销毁费用为 4 元若甲厂抽检的玩具中有 10 件为 A 等级，用样本的频率估计概率，试判断甲、乙 两厂是否都能盈利，并说明理由 附
12、： dbcadcba bcadn 2 2 ，其中 n=a+b+c+d P 0 2 x 0.5 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 x0 0.445 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 32 1 2 2 f xxaxx 1 3 的两个极值点（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值）分别 为 x1，x2，且 x1x2 （1）证明：函数 f x有三个零点； （2）当xm，时，对任意的实数 a，f x2总是函数 f x的最
13、小值，求整数 m 的最小值 22（本小题满分 12 分） 如图，已知椭圆 22 1 42 xy ：，矩形 ABCD 的顶点 A，B 在 x 轴上，C，D 在椭圆上，点 D 在第一 象限CB 的延长线交椭圆于点 E，直线 AE 与椭圆、y 轴分别交于点 F、G，直线 CG 交椭圆于 点 H，DA 的延长线交 FH 于点 M （1）设直线 AE、CG 的斜率分别为 k1、k2，求证： 1 2 k k 为定值； （2）求直线 FH 的斜率 k 的最小值； （3）证明：动点 M 在一个定曲线上运动 2020-2021 学年度第一学期期末调研测试 高三数学试题 本试卷满分 150 分，考试时间 120
14、分钟 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求） 1若集合 A=04| 2 xx，B=0lg|xx，则BA=( ) A.12， B22， C10， D20， 【答案】C 【考点】集合的运算 【解析】由题意，A=2204| 2 ，xx，B= 100lg|，xx，所以BA=10，故答案 选 C. 2设Rx，则“1x”是“1 3 x”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 【答案】A 【考点】不等式与逻辑用语 【解析】由题意1x，可得到11x，而1 3 x，可得到0111 23 xx
15、xx，因为 01 2 xx，所以解得1x，所以“1x”是“1 3 x”的充分不必要条件，故答案选 A. 3若复数iz2，其中 i 是虚数单位，则下列结论正确的是( ) Az的虚部为 i B5z Ciz 2 Diz43 2 【答案】D 【解析】由题意，z的虚部为-1；5z；iz2；iz43 2 ，故答案选 D. 4人的心脏跳动时，血压在增加或减少血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压， 血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数 120/80mmHg 为标准值设某人的血压满足函数式 p(t)=102+24sin(160t)，其中 p(t)为血压(单位:mmHg)，t 为时间(单位:min)，则下
16、列说法正确的 是( ) A.收缩压和舒张压均高于相应的标准值 B.收缩压和舒张压均低于相应的标准值 C.收缩压高于标准值、舒张压低于标准值 D.收缩压低于标准值、舒张压高于标准值 【答案】C 【解析】收缩压= p(t)max =102+24=126；舒张压= p(t)min =102-24= 78，故答案选 C. 5. 我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”日：置积尺数，以十六乘之， 九而一，所得开立方除之，即立圆径意思是：球的体积 V 乘 16，除以 9，再开立方，即为 球的直径 d，由此我们可以推测当时球的表面积 S 计算公式为( ) A 2 8 27 dS B 2 2 27 dS C 2
17、 7 22 dS D 2 14 11 dS 【答案】A 6已知向量21， AB，sincos ， AC，则ABC 的面积最大值为( ) A 2 3 B 2 1 C 2 5 D1 【答案】C 7已知5log 1 . 0 x，5log7y，则( ) A0 xyyx B0yxxy Cxyyx0 Dyxxy 0 【答案】B 8 已 知 定 义 在R上 的 奇 函 数 xf满 足xfxf71， 且 当30 x时 ， 3122 101l o g 2 2 xx xxa xf ， ， ， 其中 a 为常数， 则202120202019fff的值为( ) A2 B2 C 2 1 D 2 1 【答案】B 二、多项
18、选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分在每小题给出的四个选项中，有分在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上全部选对得多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上全部选对得 5 5 分，部分选对得分，部分选对得 3 3 分，分， 不选或有错选的得不选或有错选的得 0 0 分分 9已知抛物线yx4 2 ：的焦点为 F，过 F 与 y 轴垂直的直线交抛物线于点 M，N，则下 列说法正确的有( ) A.点 F 坐标为（1，0） B.抛物线的准线方程为1y C.线段 MN 长为 4 D.直
19、线2 xy与抛物线相切 【答案】BC 10已知函数 xxfcossin，则下列关于该函数性质说法正确的有( ) A xf的一个周期是2 B xf的值域是11， C xf的图象关于点（，0）对称 D xf在区间，0上单调递减 【答案】AD 11引入平面向量之间的一种新运算“”如下：对任意的向量 m= 11 yx，n= 22 yx ，规 定 mn= 2121 yyxx，则对于任意的向量 a，b，c，下列说法正确的有( ) Aab= ba B(a)b=(ab) Ca(bc)= (ab)c D|a|b|ab| 【答案】ABD 12 已知 nn nnnn n xTxTxTTxx 2222102 1， *
20、 Nn， 其中 i n T为 n xx 2 1展开式中 i x项 系数，i=0，1，2，2n，过对角线 BD1作平面交棱 AA1于点 E，交棱 CC1于点 F，则 下列说法正确的有( ) A ii TT 14 77 ，其中 i=0，1，2，14 B 3 8 3 7 2 7 TTT C 6 0 14 1 i 7 32 i i i T D 14 7 2 7 1 7 0 7 7 7 TTTTT，是的最大项 【答案】ACD 三三、填空题：本大题共填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分请把答案填写在答题卡相应位置上分请把答案填写在答题卡相应位置上 13函数
21、 xexf x （其中 e 为自然对数的底数）的图象在点（0， 0f）处的切线方程为 _ 【答案】12 xy 14党的十九大报告提出“乡村振兴战略”，要“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农 村义务教育”为了响应报告精神，某师范大学 5 名毕业生主动申请 到某贫困山区的乡村小学工作、若将这 5 名毕业生分配到该山区的 3 所乡村小 学，每所学校至少分配 1 人最多分配 2 人，则分配方案的总数为_ 【答案】90 15在平面直角坐标系 xOy 中，己知双曲线1 7 2 2 y x：的两个焦点分别为 F1， F2，以 F2为圆心，F1F2长为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于 M，N 两点，若 O
22、MON， 则 ON OM 的值为_ 【答案】 2 3 16 已知随机变量 X 有三个不同的取值， 分别是 0， 1， x， 其中 x(0， 1)， 又 P(X=0)= 2 1 ， P(X=1)= 4 1 , 则当 x=_时，随机变量 X 的方差的最小值为_ 【答案】 3 1 ； 6 1 四、四、解答题解答题：本大题共：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的 文字说明，证明过程或演算步骤文字说明，证明过程或演算步骤 17（本小题满分 10 分） 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，
23、c，已知 acosC，bcosB，ccosA 成等差数列 （1）求角 B 的大小； （2）若 cosA= 5 4 ，求 sin C 的值 18（本小题满分 12 分） 已知数列 n a的前 n 项和为 2 1 nn Sn，各项均为正数的等比数列 n b的前 n 项和为 Tn， _，且 b34 在3 2 T；7 3 T；b4b32b2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并进 行解答 （1）求数列 n a和 n b的通项公式； （2）设数列 n n b a 的前 n 项和为 n A，求证：2 n A 解：当 n=1 时，a1=S1=0， 19（本小题满分 12 分） 在三棱柱 ABC-A1B1
24、C1中，底面是边长为3的等边三角形 ABC，AA1=2，点 A1在底面上 的射影是ABC 的中心 O （1）求证：平面 A1AO平面 BCC1B1； （2）求二面角 C1-AB-C 的余弦值 （2）取 AB 的中点为点 E，连结 OE，如图所示建立空间直角坐标系 O-xyz 20（本小题满分 12 分） 2020 年是脱贫攻坚的收官之年,国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽， 脱贫攻坚取得重大胜利，为确保我国如期全面建成小康社会，实现第一个百年 奋斗目标打下了坚实的基础在产业扶贫政策的大力支持下，西部某县新建了 甲、乙两家玩具加工厂，加工同一型号的玩具质检部门随机抽检了两个厂的各 100 件玩
25、具，在抽取中的 200 件玩具中，根据检测结果将它们分为“A”、“B”、“C”三个 等级，A、B 等级都是合格品，C 等级是次品，统计结果如下表所示： 等级 A B C 频数 20 120 60 (表一) 厂家 合格品 次品 合计 甲 75 乙 35 合计 (表二) 在相关政策扶持下，确保每件合格品都有对口销售渠道，但从安全起见，所有 的次品必须由原厂家自行销毁 (1)请根据所提供的数据，完成上面的 22 列联表(表二)，并判断是否有 95% 的把握认为产品的合格率与厂家有关？ (2)每件玩具的生产成本为 30 元，A、B 等级产品的出厂单价分别为 60 元、40 元另外已知每件次品的销毁费用
26、为 4 元若甲厂抽检的玩具中有 10 件为 A 等 级，用样本的频率估计概率，试判断甲、乙两厂是否都能盈利，并说明理由 附： dbcadcba bcadn 2 2 ，其中 n=a+b+c+d P 0 2 x 0.5 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 x0 0.445 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解： （2）由题意甲厂 10 件 A 等级，65 件 B 等级，25 件次品，对于甲厂，单件产品利润 X 的可 能取值为 30，10，-34， 所以甲厂能够盈
27、利。 而乙厂 10 件 A 等级，55 件 B 等级，35 件次品，对于乙厂，单件产品利润 Y 的可能取值为 30， 10，-34， 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 xaxxxf2 2 1 3 1 23 的两个极值点（极值点是指函数取得极值时对应的自变量 的值）分别为 x1，x2，且 x1x2 （1）证明：函数 xf有三个零点； （2）当，mx时，对任意的实数 a， 2 xf总是函数 xf的最小值，求整数 m 的最小值 22（本小题满分 12 分） 如图，已知椭圆1 24 22 yx ：，矩形 ABCD 的顶点 A，B 在 x 轴上，C，D 在椭圆上， 点 D 在第一象限CB 的延长线交椭圆于点 E，直线 AE 与椭圆、y 轴分别交于点 F、G， 直线 CG 交椭圆于点 H，DA 的延长线交 FH 于点 M （1）设直线 AE、CG 的斜率分别为 k1、k2，求证： 2 1 k k 为定值； （2）求直线 FH 的斜率 k 的最小值； （2）证明：动点 M 在一个定曲线上运动 解：（1）由椭圆的对称性可设 A（t，0），（-t，0） （3）由题意
