1、1 昌平区昌平区 20202021 学年第学年第一一学期高学期高三三年级期末质量抽测年级期末质量抽测 数学试卷数学试卷 2021.1 本试卷共本试卷共 5 页， 共页， 共 150 分分. 考试时长考试时长 120 分钟分钟. 考生务必将答案答在答题卡上， 在试卷上作答无效考生务必将答案答在答题卡上， 在试卷上作答无效. 考考 试结束后，将答题卡交回试结束后，将答题卡交回. 第一部分第一部分（选择题 共 40 分） 一、一、选择题共选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一
2、项 1. 已知集合 1,2,3,5,2,3AB ，那么AB A. 2,3 B. 1,5 C. 1,2,3,5 D. 3 2. 复数 2i 1i = A. 1i B. 1i C. i D. 2 3. 下列函数中，既是奇函数又在区间(0 + )，上单调递增的是 A. sinyx B. 3 yx C. 2 x y D. lnyx 4. 4 (2)x的展开式中常数项是 A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 5. 已知抛物线 2 4yx上一点 P 到焦点 F 的距离为 5，那么点 P 到 y 轴的距离是 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 函数 1 ( )ln(1)f xx x 的一个
3、零点所在的区间是 A. (0,1 ) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4) 2 7. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱 的棱长为 A4 B5 C4 2 D41 8. 已知aR，则“1a”是“函数 22 ( )cossinf xaxax 的最小正周期为”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知直线1ykx与圆 22 40 xxy相交于MN，两点，且| 2 3MN，那么实数k的取值范围 是 A. 1 4 3 k B. 4 3 k0 C. 4 0 3 kk 或 D. 4 0 3 k 10. 斐波那契数列又称
4、“黄金分割数列”，因数学家莱昂纳多 斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称 为“兔子数列”. 此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用. 斐波那契数列 n a可 以用如下方法定义： * 12( 3) nnn aaann N ， 12 1.aa 若此数列各项除以 4 的余数依次构成一 个新数列 n b ，则 2021 b A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 第二部分二部分（非选择题（非选择题 共共 110 分）分） 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分 11. 已知 n a是等差数列，若 1 1a ， 7 13a ，则 4 a
5、_. 12. 已知向量(2)m，a =，(1 2)，b =，且ab，则实数m _. 13. 已知双曲线 22 2 1(0) 9 xy a a 的离心率是 5 4 ，则双曲线的右焦点坐标为_. 14. 已知函数 ( )sin(2)(|) 2 f xx，那么函数( )f x的最小正周期是_；若函数( )f x在 5 26 ，上具有单调性，且 5 ( )() 26 ff ，则_. 4 俯视图 侧（左）视图 正（主）视图 4 3 4 3 15. 高中学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这 6 个科目中，依照个人兴趣、未来职业规 划等要素， 任选 3 个科目构成“选考科目组合”参加高考. 已知某班
6、 37 名学生关于选考科目的统计结果 如下： 选考科目名称 物理 化学 生物 历史 地理 政治 选考该科人数 24 28 14 15 a b 下面给出关于该班学生选考科目的四个结论： 若19a ，则11b ； 选考科目组合为“历史+地理+政治”的学生一定不超过 9 人； 在选考化学的所有学生中，最多出现 10 种不同的选考科目组合； 选考科目组合为“生物+历史+地理”的学生人数一定是所有选考科目组合中人数最少的. 其中所有正确结论的序号是_. 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. (本小
7、题满分 13 分) 如图，在四棱锥PABCD中，PDABCD平面 ， ABCDADCD，且22ADCDPDAB. （）求证：ABPAD平面； （）求二面角PBCA的余弦值. 17. (本小题满分 13 分) 在ABC中，7b，5c ，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求： （）B的值； （）ABC的面积. 条件：sin2= sinBB； 条件：cos2= cosBB. 注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分. CD BA P 4 18. (本小题满分 14 分) 智能体温计由于测温方便、快捷，已经逐渐代替水银体温计应用于日常体温检测.调查发现，使用水 银体温计测温结果与人体
8、的真实体温基本一致，而使用智能体温计测量体温可能会产生误差. 对同一人而 言，如果用智能体温计与水银体温计测温结果相同，我们认为智能体温计“测温准确”；否则，我们认为 智能体温计“测温失误”. 现在某社区随机抽取了 20 人用两种体温计进行体温检测，数据如下： 序 号 智能体温计 测温（C） 水银体温计 测温（C） 序 号 智能体温计 测温（C） 水银体温计 测温（C） 01 36.6 36.6 11 36.3 36.2 02 36.6 36.5 12 36.7 36.7 03 36.5 36.7 13 36.2 36.2 04 36.5 36.5 14 35.4 35.4 05 36.5 3
9、6.4 15 35.2 35.3 06 36.4 36.4 16 35.6 35.6 07 36.2 36.2 17 37.2 37.0 08 36.3 36.4 18 36.8 36.8 09 36.5 36.5 19 36.6 36.6 10 36.3 36.4 20 36.7 36.7 () 试估计用智能体温计测量该社区 1 人“测温准确”的概率； () 从该社区中任意抽查 3 人用智能体温计测量体温， 设随机变量X为使用智能体温计 “测温准确” 的人数，求X的分布列与数学期望； () 医学上通常认为，人的体温在不低于37.3 C且不高于38 C时处于“低热”状态. 该社区某一天 用智能
10、体温计测温的结果显示，有 3 人的体温都是37.3 C， 能否由上表中的数据来认定这 3 个 人中至少有 1 人处于“低热”状态？说明理由. 5 19.（本小题满分 15 分） 已知函数 2 1 ( )ln(1)1 2 f xaxxax. () 当0a 时，求曲线( )yf x在点(2(2)f，处的切线方程； () 若函数( )f x在 x = 1 处取得极小值，求实数a的取值范围. 20.（本小题满分 15 分） 已知椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab 的长轴长为 4，且离心率为 1 2 . （）求椭圆C的方程； （）设过点 (1 0)F，且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C
11、交于 A ，B 两点，线段 AB 的垂直平分线交 x 轴 于点 D，判断 AB DF 是否为定值？如果是定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由 21. （本小题满分 15 分） 已知数列 n a，从中选取第 1 i项、第 2 i项、第 m i项（ 12m iii ），若 12m iii aaa ，则称 新数列 12 , m iii aaa 为 n a的长度为m的递增子列规定：数列 n a的任意一项都是 n a的长度为 1 的递 增子列 （）写出数列 9，2，6，7，3，5，8 的一个长度为 4 的递增子列； （）设数列 n a， n an，114n 若数列 n a的长度为p的递增子列中，
12、任意三项均不构成等 差数列，求p的最大值； （）设数列 n a为等比数列，公比为q，项数为N(3)N判定数列 n a是否存在长度为3的递增 子列：1 16 81， ，？若存在，求出N的最小值；若不存在，说明理由 6 昌平区昌平区 20202021 学年第学年第一一学期高学期高三三年级期末质量抽测年级期末质量抽测 数学试卷参考答案及评分标准数学试卷参考答案及评分标准 2021.1 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B B C B C A D A 二、填空题二、填空题共共 5 小题，
13、每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分 11. 7 12. 1 13. (5,0) 14. 3 15. 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16. （本小题满分 13 分） 解：（）因为 PDABCD平面， AB ABCD平面， 所以 PDAB. 2 分 因为 / /ABCDADCD，, 所以 ADAB. 4 分 因为 PDADD， 5 分 所以 AB PAD平面. 6 分 （II）因为,PDABCD ADCD平面， 7 分 所以 以 D 为原点，分别以 DA，DC，DP 为 x， y
14、，z 轴建立空间直角坐标系D xyz 则 (0,0,0),(2,0,0),(2,1,0),(0,2,0),(0,0,2),DABCP 8 分 所以 (2,1, 2),( 2,1,0)PBBC . 设平面PBC的法向量为 ( , )x y zn ， 因为 0 0 PB BC ， ， n n 即 220 20. xyz xy ， 所以 2 2 . zx yx ， y z x C D BA P 7 令=1 x，于是 (1,2,2)n. 10 分 因为 PD ABCD平面， 所以 平面ABC的法向量为 (0,0,1)m ， 11 分 所以 2 cos, | |3 n m n m nm . 12 分 由
15、题知 二面角PBCA为锐角，所以其余弦值是 2 3 . 13 分 17. （本小题满分 13 分） 解：选择条件： （）因为 sin2sinBB， 所以 sin2cos10BB（） ， 3 分 因为 0B ，所以sin0B . 4 分 所以 1 cos 2 B . 5 分 所以 3 B . 6 分 （）由余弦定理 222 2cosbacacB ， 7 分 得 222 7525cos 3 aa ， 所以 2 5240aa . 9 分 解得 83aa 或（舍负）. 所以 8a . 10 分 所以 ABC的面积 1 sin10 3 2 SacB. 13 分 选择条件 ： （）因为 cos2cosBB
16、， 所以 2 2coscos10BB ， 3 分 解得 cos1B 或 1 cos 2 B . 4 分 因为 0B ， 所以 1 cos 2 B . 5 分 8 所以 2 3 B . 6 分 （）由余弦定理 222 2cosbacacB ， 7 分 得 222 2 7525cos 3 aa ， 所以 2 5240aa， 9 分 解得 38aa 或（舍负）. 所以 3a . 10 分 所以 ABC的面积 115 sin3 24 SacB. 13 分 18.（本小题满分 14 分） 解：() 表中 20 人的体温数据中，用智能体温计与水银体温计测温结果相同的序号是 01，04， 06，07，09，
17、12，13，14，16，18，19，20，共有 12 种情况. 2 分 由此估计所求概率为 123 205 . 4 分 （）随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3X . 5 分 由()可知，用智能体温计测量该社区 1 人“测温准确”的概率为 3 5 . 所以 03 0 3 338 (0)1 55125 P XC ； 6 分 12 1 3 3336 (1)1 55125 P XC ； 7 分 21 2 3 3354 (2)1 55125 P XC ； 8 分 30 3 3 3327 (3)1 55125 P XC ； 9 分 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 8 125 36 125
18、54 125 27 125 10 分 故X的数学期望 83654272259 0123 1251251251251255 E X （ ）. 11 分 9 （）设这 3 人中至少有 1 人处于“低热”状态为事件N. 表中 20 人的体温数据中， 用智能体温计的测温结果， 高于其真实体温的序号为 02， 05， 11， 17，共计 4 种情况，由此估计从社区任意抽查 1 人，用智能体温计的测温结果高于其真 实体温的概率为 1 5 .由此估计，这 3 人中至少有 1 人处于“低热”状态的概率为 124 ()1 125 111 555 P N （）=. 12 分 结论 1：因为 124 () 125
19、P N ，接近于1，由此可以认定这 3 人中至少有 1 人处于“低热”状态. 14 分 结论 2：因为 124 () 125 1P N ，所以有可能这 3 人都不处于“低热”状态. 14 分 19.（本小题满分 15 分） 解：（）当0a 时， 2 1 ( )1 2 f xxx. 1 分 所以 ( )1fxx， 3 分 所以 (2)1kf， 4 分 因为 2 1 (2)2211 2 f . 5 分 所以 切线方程为 1yx. 6 分 （）函数 ( )f x的定义域为(0,). 因为 2 1 ( )ln(1)1 2 f xaxxax 7 分 所以 2 (1) ( )1 axaxa fxxa xx
20、 . 9 分 令 ( )0fx ，即 2 (1)0 xaxa，解得1x 或x a . 10 分 （1）当0a时， 当x变化时，( ), ( )fxf x的变化状态如下表： x (0,1) 1 (1,) ( )fx 0 + ( )f x 极小值 所以当 x = 1 时，( )f x取得极小值. 所以0a成立 . 11 分 10 （2）当01a时， 当x变化时，( ), ( )fxf x的变化状态如下表： x (0,)a a ,1)(a 1 (1,) ( )fx + 0 0 + ( )f x 极大值 极小值 所以当 x = 1 时，( )f x取得极小值. 所以01a成立. 12 分 （3）当1a
21、 时，( )0fx 在(0,)上恒成立， 所以函数( )f x在(0,)上单调递增，没有极小值，不成立. 13 分 （4）当1a 时， 当x变化时，( ), ( )fxf x的变化状态如下表： x (0,1) 1 (1, )a a ( ,)a ( )fx + 0 0 + ( )f x 极大值 极小值 所以当 x = 1 时，( )f x取得极大值. 所以 1a 不成立 . 14 分 综上所述，1a . 15 分 20（本小题满分 15 分） 解：（）依题意得 222 24 1 2 . a c a abc ， ， 解得 22 43ab，. 4 分 故 椭圆C的方程为 22 1 43 xy 5 分
22、 （） AB DF 是定值. 6 分 由已知得直线:(1)l yk x . 7 分 11 由 22 (1) 34120 yk x y xy ， 消去 得 2222 (43)84120kxk xk. 8 分 所以 2 2222 ( 8)4(43)(412)1441440kkkk . 9 分 设 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy，则 2 12 2 8 43 k xx k ， 2 1 2 2 412 43 k x x k 10 分 所以 2 2222 2121121 2 ()()(1)()4ABxxyykxxx x 22 222 2 222 84(412)12(1) (1) 4343
23、43 kkk k kkk 所以 2 2 12(1) 43 k AB k 11 分 因为 2 1212 22 86 (2)(2) 4343 kk yyk xxk kk ， 所以 线段 AB 的中点为 2 22 43 , 43 43 kk kk 12 分 （1）当0k 时，4AB ，1DF 所以4 AB DF 13 分 （2）当0k 时，线段 AB 的垂直平分线方程为 2 22 314 4343 kk yx kkk ， 令 0y ，得 2 2 43 k x k ，即 2 2 (,0) 43 k D k 所以 22 22 3(1) 1 4343 kk DF kk 14 分 所以 2 2 2 2 12
24、(1) 43 4 3(1) 43 k AB k kDF k 综上所述， AB DF 为定值 4. 15 分 21. （本小题满分 15 分） 解：（）长度为 4 的一个递增子列为：2，6，7，8（或 2，3，5，8）. 4 分 （）设数列 n a 的长度为 p的递增子列为 12 , p iii aaa ，1 2p iii 因为数列 n a：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，各项均为正整数. 12 所以 31 3 ii aa（若 31 2 ii aa，则 123 , iii a aa成等差数列）. 6 分 同理 53 3 ii aa ，且 5331 iiii aa
25、aa ， 7 分 所以 51 7 ii aa. 同理 95 7 ii aa， 8 分 又因为 9551 iiii aaaa， 9 分 所以 91 15 ii aa与已知条件矛盾. 所以 8 p i. 10 分 构造数列 n a的递增子列：1，2，4，5，10，11，13，14，其中任意三项均不构成等差数列， 所以p的最大值为 8. 11 分 （）不存在. 理由如下： 由题意，假设数列 n a存在长度为3的递增子列：1,16,81， 则存在 123 1Niii，使 123 1,16,81 iii aaa 所以 21 21 ii ii aa q ，得 21 16 ii q 同理 1 1 3 3 ii ii aa q ，得 13 81 ii q 所以 231 2 212 log 81 log 3 log 16 ii ii （*） 13 分 下面证明 2 log 3为无理数： 假设 2 log 3 k m 为有理数， * kmN，且km，互质， 所以 23 km . 因为 2k是偶数，3m是奇数， 所以 23 km ，与事实矛盾，故假设不成立. 所以 2 log 3为无理数. 又因为 * 3211 ,ii ii N， 2 31 1 ii ii 为有理数， 所以（*）式不成立. 所以 数列 n a不存在长度为3的递增子列：1 1681， ，. 15 分 以上答案仅供参考以上答案仅供参考
