1、北京市西城区 20202021 学年度第一学期期末试卷 高三数学 第 1 页（共 12 页） 北京市西城区 20202021 学年度第一学期期末试卷 高三数学 2021.1 本试卷共 5 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上 作答无效。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求 的一项。 （1）已知集合 | 13Axx ， |04Bxx，则AB （A）(0,3) （B）( 1,4) （C）(0,4 （D）( 1,4 （2）在复平面内，复数z所对应的点的坐标为(
2、1, 1)，则z z （A）2 （B）2i （C）2 （D）2i （3）已知( )f x为奇函数，其局部图象如图所示，那么 （A）(2)2f （B）(2)2f （C）(2)2f （D）(2)2f （4）已知(4,8)A，(2,4)B，(3, )Cy三点共线，则y的值为 （A）4 （B）5 （C）6 （D）7 （5）已知双曲线 22 22 1 xy ab 的焦距等于实轴长的2倍，则其渐近线的方程为 （A）3yx （B）2yx （C） 3 3 yx （D） 1 2 yx （6）已知半径为 2 的圆经过点(1,0)，其圆心到直线34120 xy的距离的最小值为 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3
3、 北京市西城区 20202021 学年度第一学期期末试卷 高三数学 第 2 页（共 12 页） （7）已知函数( )sin2 , , f xx xa b，则“ 2 ba ”是“( )f x的值域为 1,1”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （8）被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式： 2 log (1) S CW N ，其中C为最大数据传 输速率，单位为bit / s；W为信道带宽，单位为 Hz； S N 为信噪比. 香农公式在 5G 技术中 发挥着举足轻重的作用. 当99 S N ，2000HzW 时，最大数据传输速率记
4、为 1 C；当9999 S N ，3000HzW 时，最 大数据传输速率记为 2 C，则 2 1 C C 为 （A）1 （B） 5 2 （C）15 4 （D）3 （9）设函数( )f x和( )g x的定义域为D，若存在非零实数cD，使得( )( )0f cg c，则称函数 ( )f x和( )g x在 D 上具有性质 P. 现有三组函数： ( )f xx， 2 ( )g xx ( )2 x f x ，( )exg x 2 ( )f xx，( )2xg x 其中具有性质 P 的是 （A） （B） （C） （D） （10）在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，,M N分别为 1
5、11 ,BD BC的中点，点P在正方体的 表面上运动，且满足MPCN，则下列说法正确的是 （A）点P可以是棱 1 BB的中点 （B）线段MP的最大值为 3 2 （C）点P的轨迹是正方形 （D）点P轨迹的长度为2+ 5 北京市西城区 20202021 学年度第一学期期末试卷 高三数学 第 3 页（共 12 页） 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 （11） 5 (2)x的展开式中x的系数是_. （12）数列 n a是公差为2的等差数列，记 n a的前n项 和为 n S，且 134 ,a a a成等比数列，则 1 a _； n S _. （
6、13）一个三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥中最长棱的 长度为_. （14）已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F，过点( 1,4)M 作y轴的垂线交抛物线C于点 A， 且满足|AFAM，则抛物线C的方程为_；设直线AF交抛物线C于另一点B， 则点B的纵坐标为_. （15）炎炎夏日，冰激凌成为非常受欢迎的舌尖上的味道.某商店统计了一款冰激凌 6 月份前 6 天每天的供应量和销售量，结果如下表： 6月1日 6月2日 6月3日 6月4日 6月5日 6月6日 供应量 90 100 90 100 90 100 销售量 80 90 85 80 90 85 记( )V t为6月t日冰激凌的供应量
7、，( )W t为6月t日冰激凌的销售量，其中1,2,30t . 用销售指数 ( )(1)(1) ( , )100% ( )(1)(1) W tW tW tn P t n V tV tV tn ,(1,)nnN来评价从6月t 日开始连续n天的冰激凌的销售情况. 当1n 时，( ,1)P t表示6月t日的日销售指数. 给出下列四个结论： 在6月1日至6日这6天中，(4,1)P最小，(5,1)P最大； 在6月1日至6日这6天中，日销售指数越大，说明该天冰激凌的销售量越大； (1,3)(4,3)PP； 如果6月7日至12日冰激凌每天的供应量和销售量与6月1日至6日每天的供应量和 销售量对应相等，则对任
8、意1,2,3,4,5,6,7t，都有( ,6)(1,12)P tP. 其中所有正确结论的序号是_. 北京市西城区 20202021 学年度第一学期期末试卷 高三数学 第 4 页（共 12 页） 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16） （本小题 13 分） 如图，在直三棱柱 111 ABCABC中，2ABAC， 1 4AA ， ABAC， 1 BEAB交 1 AA于点E，D为 1 CC的中点. （）求证：BE 平面 1 ABC； （）求二面角 1 CABD的余弦值. （17） （本小题 13 分） 已知ABC的面积为4 2，再从条件、条件这两个条
9、件中选择一个作为已知，求： （）b和c的值； （）sin( )AB 的值 条件:6a , 1 cos 3 C ；条件:AC, 7 cos 9 B . 注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分 （18） （本小题 14 分） 防洪工程对防洪减灾起着重要作用，水库是我国广泛采用的防洪工程之一，既有滞洪作用又 有蓄洪作用.北京地区 2010 年至 2019 年每年汛末（10 月 1 日）水库的蓄水量数据如下： 年份 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 蓄水量（亿立方米） 11.25 13.25 13.58 17.4 12.4 1
10、2.1 18.3 26.5 34.3 34.1 （）从 2010 年至 2019 年的样本数据中随机选取连续两年的数据，求这两年蓄水量数据之差的 绝对值小于 1 亿立方米的概率； （）从 2014 年至 2019 年的样本数据中随机选取两年的数据，设X为蓄水量超过 33 亿立方米 的年份个数，求随机变量X的分布列和数学期望； （）由表中数据判断从哪年开始连续三年的水库蓄水量方差最大？（结论不要求证明） 北京市西城区 20202021 学年度第一学期期末试卷 高三数学 第 5 页（共 12 页） （19） （本小题 15 分） 已知函数 3 ( )f xxx. （）求曲线( )yf x在点(1,
11、(1)f处的切线方程； （）求函数( )f x的单调区间和极值； （）设函数 ( ) ( )2 sin f x t x xx ，(0, )x，试判断( )t x的零点个数，并证明你的结论. （20） （本小题 15 分） 已知椭圆 22 :1 42 xy C. （）求椭圆C的离心率和长轴长； （）已知直线2ykx与椭圆C有两个不同的交点,A B，P为x轴上一点. 是否存在实数k， 使得PAB是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出k的值及点P的坐标； 若不存在，说明理由. （21） （本小题 15 分） 对于数列 n a，定义 1* 1 1, 1,. nn n nn aa a aa 设
12、 * n a的前n项和为 * n S. （）设 2 n n n a ，写出 * 1 a， * 2 a， * 3 a， * 4 a； （）证明： “对任意 * nN，有 * 11nn Saa ”的充要条件是“对任意 * nN，有 1 | 1 nn aa ” ； （）已知首项为 0，项数为1(2)mm的数列 n a满足： 对任意1nm且 * nN，有 1 1,0,1 nn aa ； * mm Sa. 求所有满足条件的数列 n a的个数. 北京市西城区 20202021 学年度第一学期期末试卷 高三数学 第 6 页（共 12 页） 北京市西城区 2020 2021 学年度第一学期期末试卷 高三数学参
13、考答案 2021.1 一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） （ 1 ）D （ 2 ）A （ 3 ）C （ 4 ）C （ 5 ）A （ 6 ）B （ 7 ）B （ 8 ）D （ 9 ）B （10）D 二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分） （11）80 （12）8， 2 9nn （13）2 3 （14） 2 4yx，1 （15） 注：第（12）和（14）题第一空 3 分,第二空 2 分.第（15）题全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分，其他得 3 分. 三、解答题（共 6 小题，共 85 分） （16） （共 13 分） 解： （）因为三棱柱 111
14、 ABCABC为直三棱柱，所以 1 AA 平面ABC， 所以 1 AAAC. 1 分 因为ACAB， 1 ABAAA，所以AC 平面 11 AA B B. 3 分 因为BE 平面 11 AA B B，所以ACBE.4 分 因为 1 BEAB， 1 ACABA， 所以BE 平面 1 ABC. 5 分 （）由（）知 1 ,AB AC AA两两垂直， 如图建立空间直角坐标系A xyz 则(0 0 0) A ， ，, 1(2,0,4) B , (0,2,2)D , (2,0,0)B . 7 分 设(0,0, )Ea，所以 1 =(0 2, 2)=(2,0, 4)=( 2 0, )ADABBEa,，,，
15、 因为 1 ABBE，所以440a ，即1a . 8 分 所以平面 1 ABC的一个法向量为=( 2 0,1)BE , 9 分 设平面 1 AB D的法向量为( , , )x y zn ， 北京市西城区 20202021 学年度第一学期期末试卷 高三数学 第 7 页（共 12 页） 所以 1 0, 0. AD AB n n 所以 220, 240. yz xz 即 , 2 . yz xz 10 分 令1z ，则2,1xy， 所以平面 1 AB D的一个法向量为(2,1, 1)n. 11 分 所以 530 cos,= 6|65 BE BE BE n n n . 12 分 由已知，二面角 1 CA
16、BD为锐角， 所以二面角 1 CABD的余弦值为 30 6 . 13 分 （17） （共 13 分） 若选择条件若选择条件： 解： （）在ABC中，因为 1 cos 3 C ， 所以( , ) 2 C ， 2 2 2 sin1cos 3 CC. 2 分 因为 1 sin4 2 2 SabC，6a ，所以2b . 4 分 由余弦定理， 222 2cos48cababC， 5 分 所以4 3c . 6 分 （）由正弦定理 sinsinsin abc ABC ，可得 624 3 sinsin2 2 3 AB . 7 分 所以 6 sin 3 A ， 6 sin 9 B . 9 分 因为,(0,) 2
17、 A B ，所以 3 cos 3 A， 5 3 cos 9 B . 11 分 所以sin()sincoscossinABABAB 65 3364 2 39399 . 13 分 若选择条件若选择条件： 解： （）在ABC中，因为AC，所以ac. 因为 7 cos 9 B ，所以(, ) 2 B ， 2 4 2 sin1cos 9 BB. 2 分 北京市西城区 20202021 学年度第一学期期末试卷 高三数学 第 8 页（共 12 页） 因为 2 114 2 sin4 2 229 SacBc， 所以3 2ac. 4 分 由余弦定理， 222 2cos64bacacB，所以8b . 6 分 （）由
18、正弦定理得 sinsin ab AB ， 所以 3 24 21 sinsin 893 a AB b . 8 分 因为(0,) 2 A ，所以 2 2 2 cos1sin 3 AA. 10 分 所以sin()sincoscossinABABAB 172 24 223 () 393927 . 13 分 （18） （共 14 分） 解： （）设事件 A 为“连续两年的蓄水量数据之差的绝对值小于1亿立方米” ， 从 2010 年到 2019 年的样本数据中随机选取连续两年共有 9 种可能，2 分 由图表可知，事件 A 包含“2011 年和 2012 年” ， “2014 年和 2015 年” ， “2
19、018 年和 2019 年”. 3 分 所以 31 ( ) 93 P A . 4 分 （）由表可知，2014 到 2019 年的样本数据中，蓄水量超过 33 亿立方米有 2 年，蓄水量不 超过 33 亿立方米有 4 年. 随机变量X的所有可能取值为 0，1，2. 5 分 02 24 2 6 CC62 (0) C155 P X ， 11 24 2 6 CC8 (1) C15 P X ， 20 24 2 6 CC1 (2) C15 P X . 8 分 所以随机变量X的分布列为： X 0 1 2 北京市西城区 20202021 学年度第一学期期末试卷 高三数学 第 9 页（共 12 页） 9 分 所
20、以 2812 ()012 515153 E X . 11 分 （）从 2016 年开始连续三年的水库蓄水量方差最大. 14 分 （19） （共 15 分） 解： （）由 3 ( )f xxx，得 2 ( )31fxx 1 分 因为(1)0f，(1)2 f ， 3 分 所以曲线( )yf x在点(1, (1)f处的切线方程为22yx. 4 分 （）令( )0fx，得 2 310 x ，解得 3 3 x 或 3 3 x 当x变化时，( )f x和( )fx变化情况如下表： x 3 (,) 3 3 3 33 (,) 33 3 3 3 (,) 3 ( )fx 0 0 ( )f x 2 3 9 2 3
21、9 7 分 所以，( )f x的单调递减区间是 33 (,) 33 ，单调递增区间是 3 (,) 3 ， 3 (,) 3 ； ( )f x在 3 3 x 处取得极大值 2 3 9 ，在 3 3 x 处取得极小值 2 3 9 . 9 分 （）(0, )x,( )0t x ，即 2 1 20 sin x x ， 等价于 2 1 2sin0 xx . 10 分 设 2 ( )1 2sing xxx ,(0, )x，则( )22cosg xxx. 当, ) 2 x 时， P 2 5 8 15 1 15 北京市西城区 20202021 学年度第一学期期末试卷 高三数学 第 10 页（共 12 页） (
22、)0g x，( )g x在区间, ) 2 上单调递增. 又 2 ( )30 24 g ， 2 ( )10g ， 所以( )g x在区间, ) 2 上有一个零点. 11 分 当(0,) 2 x 时 , 设 ( )( )22cosh xg xxx. ( )22sin0h xx，所以( )g x在区间(0,) 2 上单调递增. 12 分 又(0)20 g ，( )0 2 g ， 所以存在 0 (0,) 2 x ，使得 0 ()0g x. 所以，当 0 (0,)xx时，( )0g x，( )g x单调递减； 当 0 (,) 2 xx 时，( )0g x，( )g x单调递增. 13 分 又(0)10g
23、 ， 2 ( )30 24 g ， 所以( )g x在区间(0,) 2 上无零点. 14 分 综上所述，函数( )t x在定义域内只有一个零点. 15 分 （20） （共 15 分） 解： （）由题意： 2 4a ， 2 2b ，所以2a . 1 分 因为 222 abc，所以 2 2c ，2c . 2 分 所以 2 2 c e a . 3 分 所以椭圆C离心率为 2 2 ，长轴长为4. 4 分 （）联立 22 2, 1 42 ykx xy 消y整理得： 22 (21)840kxkx. 5 分 因为直线与椭圆交于, A B两点，故0，解得 2 1 2 k . 6 分 北京市西城区 202020
24、21 学年度第一学期期末试卷 高三数学 第 11 页（共 12 页） 设 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy，则 12 2 8 21 k xx k ， 12 2 4 21 x x k .8 分 设AB中点 00 (,)G xy， 则 12 0 2 4 221 xxk x k ， 00 2 2 2 21 ykx k ， 故 22 42 (,) 21 21 k G kk . 9 分 假设存在k和点( ,0)P m，使得PAB是以P为直角顶点的等腰直角三角形， 则PGAB，故1 PGAB kk ， 所以 2 2 2 21 1 4 21 k k k m k ，解得 2 2 21 k m
25、k ，故 2 2 (0) 2+1 k P k ，.10 分 又因为 2 APB ，所以0PA PB. 所以 1122 (,) (,)0 xm yxm y，即 1112 ()()0 xm xmy y. 整理得 22 1 212 (1)(2)()40kx xkm xxm. 所以 22 22 48 (1)(2)40 2121 k kkmm kk ， 12 分 代入 2 2 21 k m k ，整理得 4 1k ，即 2 1k . 14 分 当1k 时，P点坐标为 2 ( ,0) 3 ；当1k 时，P点坐标为 2 (,0) 3 . 此时，PAB是以P为直角顶点的等腰直角三角形. 15 分 （21） （
26、共 15 分） 解： （）因为 1 1 2 a ， 2 1 2 a ， 3 3 8 a ， 4 1 4 a ， 5 5 32 a ， 根据题意可得 * 1 1a ， * 2 1a ， * 3 1a ， * 4 1a . 4 分 （）必要性：对1n ，有 * 121 Saa，因此 * 2111 |1aaSa. 5 分 对任意 * nN且2n，有 * 11nn Saa ， * 11nn Saa ， 两式作差，得 * 11nnnn SSaa ，即 * 1nnn aaa ， 因此 * 1 | 1 nnn aaa . 7 分 北京市西城区 20202021 学年度第一学期期末试卷 高三数学 第 12 页
27、（共 12 页） 综上，对任意 * nN，有 1 | 1 nn aa . 充分性：若对任意 * nN，有 1 | 1 nn aa ，则 * 1nnn aaa ， 所以 * 122132111 ()()() nnnnn Saaaaaaaaaaa . 综上， “对任意 * nN， * 11nn Saa ”的充要条件是“对任意 * nN， 1 | 1 nn aa ”. 10 分 （）构造数列 n b： 1 0b ， 11 1 1 ,| 1, 1,0. nnnn nn nn aaaa bb aa 则对任意1nm且 * nN，有 * nn ba， 1 | 1 nn bb . 结合（）可知， * 1212
28、111mmmmm Saaabbbbbb . 又 * mm Sa，因此 1mm ba . 设 21321 , mm aa aaaa 中有k项为0， 则 1121321 ()()() mmm aaaaaaaa 121321 ()()() mm bbbbbbbk 1m bk m ak. 即 1mm aak . 因为 1 1,0,1 mm aa ，所以0k 或1. 13 分 若0k ，则 1 0 mm aa ， 与 21321 , mm aa aaaa 中有0项为0，即0k 矛盾，不符题意. 若1k ，则 1 1 mm aa . 所以，当 1 1 mm aa ， 21321 , mm aa aaaa 中有一项为0，其余2m 项为1 时，数列 n a满足条件. 21321 , mm aa aaaa 中有一项为0，共1m种取法；其余2m 项每项 有1或1两种取法， 所以，满足条件的数列 n a的个数为 2 (1) 2mm . 15 分
