1、第 1 页（共 18 页） 2020-2021 学年黑龙江省哈尔滨九中高二 （上） 期末数学试卷 （文学年黑龙江省哈尔滨九中高二 （上） 期末数学试卷 （文 科）科） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求）目要求） 1 （5 分）过点( 4,3)M 和( 2,1)N 的直线方程是( ) A30 xy B10 xy C10 xy D30 xy 2 （5 分）双曲线 22 1 169 yx 的虚半轴长是( ) A3 B4 C6 D8 3 （5 分）直线0 xy被圆
2、22 6240 xyxy截得的弦长等于( ) A4 B2 C2 2 D2 4 （5 分）唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说： “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交 河 ”诗中隐含着一个有趣的数学问题 “将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山 脚下某处出发， 先到河边饮马后再回军营， 怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中， 设军营所在区域为 22 1xy， 若将军从点(4, 3)A处出发， 河岸线所在直线方程为4xy， 并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为( ) A8 B7 C6 D5 5 （5 分）已知点( , )x y满足： 22 1xy，x，0y，则xy
3、的取值范围是( ) A2, 2 B 1，1 C1，2 D(1, 2 6 （5 分）已知抛物线 2 :4C yx的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A、B两点，若 | 6AB ，则线段AB的中点M的横坐标为( ) A2 B4 C5 D6 7 （5 分）直线210kxyk 与240 xy的交点在第四象限，则k的取值范围为( ) A( 6,2) B 1 (,0) 6 C 11 (,) 26 D 1 ( ,) 2 8 （5 分）设 1 F， 2 F分别为双曲线 22 1 34 xy 的左，右焦点，点P为双曲线上的一点若 12 120FPF，则点P到x轴的距离为( ) 第 2 页（共 18 页） A 2
4、1 21 B 2 21 21 C 4 21 21 D21 9 （5 分）已知点( 2,3)A 在抛物线 2 :2C ypx的准线上，过点A的直线与C在第一象限相 切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为( ) A 1 2 B 2 3 C 3 4 D 4 3 10 （5 分）设双曲线 22 :1 916 xy C的右顶点为A，右焦点为F，过点F作平行C的一条渐 近线的直线与C交于点B，则AFB的面积为( ) A15 B 32 15 C 15 32 D 64 15 11 （5 分）已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦 点，若AFBF，设A
5、BF，且 6 ， 4 ，则该椭圆离心率e的取值范围为( ) A 2 2 ， 3 2 B 2 2 ，1) C 2 2 ，31 D 3 3 ， 6 3 12 （5 分）已知F为抛物线 2 yx的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧， 2OA OB（其中O为坐标原点） ，则ABO与AFO面积之和的最小值是( ) A2 B3 C 17 2 8 D10 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知抛物线的焦点(F a，0)(0)a ，则抛物线的方程为 14 （5 分） 若三个点( 2,1)，( 2,3)，(2, 1)中恰有两个点在双曲线
6、 2 2 2 :1(0) x Cya a 上， 则双曲线C的渐近线方程为 15 （5 分）椭圆 22 1 123 xy 的焦点分别为 1 F和 2 F，点P在椭圆上如果线段 1 PF的中点在y 轴上，那么 1 |PF是 2 |PF的 倍 16 （5 分）如图，过抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点F的直线l与C相交于A，B两点， 且A，B两点在准线上的射影分别为M，N若, MFNBFN AFMMFN SS SS ，则 第 3 页（共 18 页） 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （10 分）已知直线l过点(1,
7、2) （1）当直线l在两坐标轴上的截距相等时，求直线l方程； （2）若直线l交x轴正半轴，y轴正半轴分别于A，B两点，求AOB面积的最小值 18 （10 分）在圆经过(3,4)C，圆心在直线20 xy上，圆截y轴所得弦长为 8 且圆心E的坐标为整数；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，进行求解 已知圆E经过点( 1,2)A ，(6,3)B且_； （1）求圆E的方程； （2）求以(2,1)为中点的弦所在的直线方程 19 （12 分）已知抛物线 2 :2(0)C ypx p，焦点为F，准线为l，抛物线C上一点A的横 坐标为 3，且点A到焦点的距离为 4 （1）求抛物线的方程； （2）设过点(
8、6,0)P的直线l与抛物线交于A，B两点，若以AB为直径的圆过点F，求直 线l的方程 20 （12 分） 在平面直角坐标系xOy中， 直线l的参数方程为 3 2 ( 1 3 2 xt t yt 为参数） 以O为 极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2 cos (0)aa，且 曲线C与直线l有且仅有一个公共点 第 4 页（共 18 页） （1）求a； （2）设A，B为曲线C上的两点，且 3 AOB ，求|OAOB的最大值 21 （12 分）已知抛物线 2 4yx，过其焦点F做两条互相垂直的直线 1 l， 2 l， 1 l交抛物线 于A，B两点， 2 l交抛物线于C，D两点
9、 （1）若直线 1 l斜率为 2，求|AB长； （2）求四边形ACBD面积最小值 22 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的焦点为 1( 3F ，0)， 2( 3 F，0)，且过点 ( 3， 1) 2 （）求椭圆C的方程； （）设椭圆的上顶点为B，过点( 2, 1)作直线交椭圆于M，N两点，记直线MB，NB的 斜率分别为 MB k， NB k， 试判断 MBNB kk是否为定值？若为定值， 求出该定值； 若不是定值， 说明理由 23（12 分） 已知点F是椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的右焦点， 过点F的直线l交椭圆于M， N两点当直线l过C
10、的下顶点时，l的斜率为3，当直线l垂直于C的长轴时，OMN的 面积为 3 2 （）求椭圆C的标准方程； （）当| 2|MFFN时，求直线l的方程； （）若直线l上存在点P满足|PM，|PF，|PN成等比数列，且点P在椭圆外，证明： 点P在定直线上 第 5 页（共 18 页） 2020-2021 学年黑龙江省哈尔滨九中高二 （上） 期末数学试卷 （文学年黑龙江省哈尔滨九中高二 （上） 期末数学试卷 （文 科）科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题分，每小题给出的四个选项中
11、，只有一项符合题 目要求）目要求） 1 （5 分）过点( 4,3)M 和( 2,1)N 的直线方程是( ) A30 xy B10 xy C10 xy D30 xy 【解答】解：因为直线MN的斜率 3 1 1 42 k， 故直线MN的方程1(2)yx ，即10 xy 故选：B 2 （5 分）双曲线 22 1 169 yx 的虚半轴长是( ) A3 B4 C6 D8 【解答】解：双曲线 22 1 169 yx 的虚半轴长是：3b 故选：A 3 （5 分）直线0 xy被圆 22 6240 xyxy截得的弦长等于( ) A4 B2 C2 2 D2 【解答】 解： 根据题意， 圆 22 6240 xyx
12、y即 22 (3)(1)6xy， 其圆心为(3, 1)， 半径6r ， 圆心到直线0 xy的距离 |3 1| 2 2 d ， 则直线0 xy被圆 22 6240 xyxy截得的弦长2624l ， 故选：A 4 （5 分）唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说： “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交 河 ”诗中隐含着一个有趣的数学问题 “将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山 脚下某处出发， 先到河边饮马后再回军营， 怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中， 设军营所在区域为 22 1xy， 若将军从点(4, 3)A处出发， 河岸线所在直线方程为4xy， 第 6 页（共 18 页） 并假定将军只要到
13、达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为( ) A8 B7 C6 D5 【解答】解：设点Q与点O关于直线40 xy对称 连结AQ，则1AQ即为将军行走的最短路程， 设( , )Q x y，则 40 22 1 xy y x ，解得4x ，4y ，(4,4)Q， 点(4, 3)A， 将军行走的最短路程为： 22 | 1(44)(4( 3)1716AQ 故选：C 5 （5 分）已知点( , )x y满足： 22 1xy，x，0y，则xy的取值范围是( ) A2, 2 B 1，1 C1，2 D(1, 2 【解答】解：点( , )x y满足： 22 1xy，x，0y， 可设cosx，sin
14、y，0， 2 ， cossin2sin() 4 xy ，0， 2 ， 0， 2 ， 44 ， 3 4 ， 2 sin() 42 ，1， 1xy ，2， 故选：C 6 （5 分）已知抛物线 2 :4C yx的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A、B两点，若 | 6AB ，则线段AB的中点M的横坐标为( ) A2 B4 C5 D6 第 7 页（共 18 页） 【解答】解：抛物线 2 4yx，2p， 设经过点F的直线与抛物线相交于A、B两点， 其横坐标分别为 1 x， 2 x，利用抛物线定义， AB中点横坐标为 012 11 ()(|)2 22 xxxABp， 故选：A 7 （5 分）直线210kx
15、yk 与240 xy的交点在第四象限，则k的取值范围为( ) A( 6,2) B 1 (,0) 6 C 11 (,) 26 D 1 ( ,) 2 【解答】解：联立方程 21 240 ykxk xy ，可解得 24 21 61 21 k x k k y k ， 由两直线21ykxk与240 xy交点在第四象限可得 24 0 21 61 0 21 k x k k y k ， 解此不等式组可得 11 26 k ，即k的取值范围为 1 ( 2 ， 1) 6 故选：C 8 （5 分）设 1 F， 2 F分别为双曲线 22 1 34 xy 的左，右焦点，点P为双曲线上的一点若 12 120FPF，则点P到
16、x轴的距离为( ) A 21 21 B 2 21 21 C 4 21 21 D21 【解答】解：由 22 1 34 xy ，得 2 3a ， 2 4b ， 2 7c ， 设 1 |PFm， 2 |PFn，由双曲线的定义，可得| 2 3mn， 两边平方得： 22 212mnmn， 在 12 FPF中，由余弦定理可得： 222 2cos120428mnmnc， 即 22 28mnmn， 联立可得， 16 3 mn 利用等面积法可得： 11 sin1202| 22 P mncy ，解得 4 21 | 21 P y 第 8 页（共 18 页） 故选：C 9 （5 分）已知点( 2,3)A 在抛物线 2
17、 :2C ypx的准线上，过点A的直线与C在第一象限相 切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为( ) A 1 2 B 2 3 C 3 4 D 4 3 【解答】解：点( 2,3)A 在抛物线 2 :2C ypx的准线上， 即准线方程为：2x ， 0p，2 2 p 即4p ， 抛物线 2 :8C yx，在第一象限的方程为2 2yx， 设切点( , )B m n，则2 2nm， 又导数 11 2 2 2 y x ，则在切点处的斜率为 2 m ， 32 2 n mm 即22 22 23mmm， 解得 2 2 2( 2 m 舍去） ， 切点(8,8)B，又(2,0)F， 直线BF的斜率为 804
18、823 ， 故选：D 10 （5 分）设双曲线 22 :1 916 xy C的右顶点为A，右焦点为F，过点F作平行C的一条渐 近线的直线与C交于点B，则AFB的面积为( ) A15 B 32 15 C 15 32 D 64 15 【解答】解： 2 9a ， 2 16b ，故5c ， (3,0)A，(5,0)F，渐近线方程为 4 3 yx ， 不妨设BF的方程为 4 (5) 3 yx， 代入双曲线 22 1 916 xy ，解得： 17 ( 5 B， 32) 15 113232 | |2 221515 AFBB SAFy 第 9 页（共 18 页） 故选：B 11 （5 分）已知椭圆 22 22
19、 1(0) xy ab ab 上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦 点，若AFBF，设ABF，且 6 ， 4 ，则该椭圆离心率e的取值范围为( ) A 2 2 ， 3 2 B 2 2 ，1) C 2 2 ，31 D 3 3 ， 6 3 【解答】解：由已知，点B和点A关于原点对称，则点B也在椭圆上， 设椭圆的左焦点为 1 F，则根据椭圆定义： 1 | 210AFAFa， 根据椭圆对称性可知： 1 | |AFBF，因此| 210AFBFa； 因为AFBF，则在Rt ABF中，O为斜边AB中点，则|2 |2ABOFc，那么 |2 sinAFc，| 2 cosBFc； 将、代入得，2 sin2
20、cos2cca， 则离心率 11 sincos 2sin() 4 c e a ， 由 6 ， 4 ， 5 412 ， 2 ， 由 562 sin 124 ， 由函数的单调性可知： 62 sin() 44 ，1，则 2 2 e，31， 故选：C 12 （5 分）已知F为抛物线 2 yx的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧， 2OA OB（其中O为坐标原点） ，则ABO与AFO面积之和的最小值是( ) 第 10 页（共 18 页） A2 B3 C 17 2 8 D10 【解答】解：设直线AB的方程为：xtym，点 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 直线AB与x轴的交点
21、为( ,0)M m， 由 2 2 0 xtym ytym yx ，根据韦达定理有 12 y ym ， 2OA OB ， 1212 2x xy y， 结合 2 11 yx及 2 22 yx，得 2 1212 ()20y yy y， 点A，B位于x轴的两侧， 12 2y y ，故2m 不妨令点A在x轴上方，则 1 0y ，又 1 ( ,0) 4 F， 121 111 2() 224 ABOAFO SSyyy ， 11 11 9292 23 88 yy yy 当且仅当 1 1 92 8 y y ，即 1 4 3 y 时，取“”号， ABO与AFO面积之和的最小值是 3， 故选：B 二、填空题（本大题
22、共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知抛物线的焦点(F a，0)(0)a ，则抛物线的方程为 2 4yax 【解答】解：抛物线的焦点(F a，0)(0)a ， 则抛物线的方程为 2 4yax 故答案为： 2 4yax 第 11 页（共 18 页） 14 （5 分） 若三个点( 2,1)，( 2,3)，(2, 1)中恰有两个点在双曲线 2 2 2 :1(0) x Cya a 上， 则双曲线C的渐近线方程为 2 2 yx 【解答】解：根据题意，若三个点( 2,1)，( 2,3)，(2, 1)中 恰有两个点在双曲线 2 2 2 :1(0) x Cya
23、 a 上， 又由双曲线的图象关于原点对称， 故( 2,1)，(2, 1)在双曲线上， 则有 2 4 11 a ，解可得2a ， 则双曲线的方程为 2 2 1 2 x y， 所以渐近线方程为 2 2 yx ； 故答案为： 2 2 yx 15 （5 分）椭圆 22 1 123 xy 的焦点分别为 1 F和 2 F，点P在椭圆上如果线段 1 PF的中点在y 轴上，那么 1 |PF是 2 |PF的 7 倍 【解答】解：椭圆 22 1 123 xy 的左焦点是 1 F，右焦点是 2 F， 1 F为( 3,0)， 2 F为(3,0)， 设P的坐标为( , )x y，线段 1 PF的中点为 3 (,) 22
24、 xy ， 因为段 1 PF的中点在y轴上，所以 3 0 2 x ， 3x 3 2 y ， 任取一个P为 3 (3,) 2 ， 22 1 37 |(33)()3 22 PF， 22 2 33 |(33)() 22 PF 12 | 7|PFPF 故答案为：7 16 （5 分）如图，过抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点F的直线l与C相交于A，B两点， 第 12 页（共 18 页） 且A，B两点在准线上的射影分别为M，N若, MFNBFN AFMMFN SS SS ，则 4 【解答】解：如图，因为, MFNBFN AFMMFN SS SS ，则 2 () MFNBNFAMF SSS ， 设M
25、AF，AFa，BFb， 又抛物线定义可得：AMa，BNb，90MFONFOMFANFB ， 由余弦定理得 22 2(1cos )MFa， 22 2(1cos )NFb， 2 1 sin 2 MAF Sa ， 2 1 sin 2 MBF Sb ， 222 1 ()2sin 4 MFN SMF NFa b 2 ()4 MFNBNFAMF SSS ， 即可得4 ， 故答案为：4 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （10 分）已知直线l过点(1,2) （1）当直线l在两坐标轴上的截距相等时，求直线l方程； （2）若直线l交x
26、轴正半轴，y轴正半轴分别于A，B两点，求AOB面积的最小值 【解答】解： （1）当直线当直线l在两坐标轴上的截距相等为 0 时， 可得直线的斜率2k，此时直线方程为2yx， 当直线l在两坐标轴上的截距相等且不为 0 时， 可设直线方程为1 xy aa ， 第 13 页（共 18 页） 则 12 1 aa ， 故3a ，此时直线方程3xy，即30 xy， 综上，直线方程为2yx或30 xy； （2）设直线方程1 xy ab ，0a ，0b ， 则 12 1 ab ， 11112141 (2)(2)()(4)(44)4 22222 AOB ba Sababab abab ， 当且仅当 4ba ab
27、 且 12 1 ab ，即2a ，4b 时取等号，此时直线方程为240 xy 18 （10 分）在圆经过(3,4)C，圆心在直线20 xy上，圆截y轴所得弦长为 8 且圆心E的坐标为整数；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，进行求解 已知圆E经过点( 1,2)A ，(6,3)B且_； （1）求圆E的方程； （2）求以(2,1)为中点的弦所在的直线方程 【解答】解： （1）选设圆的方程为： 22 0 xyDxEyF， 由题意 520 45630 25340 DEF DEF DEF ，解得6D ，2E ，15F ， 所以圆的方程为： 22 62150 xyxy；即 22 (3)(1)25xy
28、； 设圆的的方程为： 22 0 xyDxEyF， 圆E经过点( 1,2)A ，(6,3)B，圆心在直线20 xy上， 520 45630 20 22 DEF DEF DE ，解得：6D ，2E ，15F ， 所以圆的方程为： 22 (3)(1)25xy； 选条件：设圆的方程为： 22 0 xyDxEyF， 圆E经过点( 1,2)A ，(6,3)B，则 520 45630 DEF DEF ， 第 14 页（共 18 页） 圆截y轴所得弦长为 8 且圆心E的坐标为整数， 故方程为： 2 0yEyF的两个实数根 1 y， 2 y的差的绝对值， 所以 22 121212 |()448yyyyy yEF
29、，即 2 464EF， 由可得：6D ，2E ，15F ， 或 206 49 D ， 74 7 E ， 585 49 F ， 由题意圆心的坐标为整数， 所以圆的方程为： 22 (3)(1)25xy； （2）由（1）知圆心E坐标(3, 1)，弦的中点(2,1)M，弦的斜率 1231 1( 1)2 ME k k ， 所以弦所在的直线方程为： 1 2 yx 19 （12 分）已知抛物线 2 :2(0)C ypx p，焦点为F，准线为l，抛物线C上一点A的横 坐标为 3，且点A到焦点的距离为 4 （1）求抛物线的方程； （2）设过点(6,0)P的直线l与抛物线交于A，B两点，若以AB为直径的圆过点F，
30、求直 线l的方程 【解答】解： （1）抛物线 2 2(0)ypx p的准线方程为 2 p x ， 由抛物线C上一点A的横坐标为 3， 根据抛物线的定义可知，34 2 p ，解得2p ， 所以抛物线C的方程是 2 4yx； （2）由题意可知，直线l不垂直于y轴， 第 15 页（共 18 页） 可设直线:6l xmy，则由 2 4 6 yx xmy 可得 2 4240ymy， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，则 12 4yym， 12 24y y ， 因为以AB为直径的圆过点F，所以FAFB，即0FA FB ， 可得 1212 (1)(1)0 xxy y， 即 222 1
31、2121212 (5)(5)(1)5 ()2524(1)20250mymyy ymy ym yymm ， 解得 1 2 m ， 所以直线 1 :6 2 l xy ， 即:2120lxy或2120 xy 20 （12 分） 在平面直角坐标系xOy中， 直线l的参数方程为 3 2 ( 1 3 2 xt t yt 为参数） 以O为 极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2 cos (0)aa，且 曲线C与直线l有且仅有一个公共点 （1）求a； （2）设A，B为曲线C上的两点，且 3 AOB ，求|OAOB的最大值 【解答】解： （1）直线l的参数方程为 3 2 ( 1 3 2
32、xt t yt 为参数） ，转换为直角坐标方程为 330 xy， 曲线C的极坐标方程为2 cos (0)aa， 根据 222 cos& sin& & x y xy ， 整理得 222 ()xaya， 由于曲线C与直线l有且仅有一个公共点 所以圆心( ,0)a到直线330 xy的距离 22 |3| | ( 3)1 a da ， 解得1a 或3， （负值舍去） 故1a 第 16 页（共 18 页） （2）设 1 (A，)， 2 (,) 3 B ， 所以 12 |2cos2cos()2 3cos() 36 OAOB 当2() 6 Z kk时，最大值为2 3 21 （12 分）已知抛物线 2 4yx，
33、过其焦点F做两条互相垂直的直线 1 l， 2 l， 1 l交抛物线 于A，B两点， 2 l交抛物线于C，D两点 （1）若直线 1 l斜率为 2，求|AB长； （2）求四边形ACBD面积最小值 【解答】解： （1）由题意知，(1,0)F， 直线AB的方程为2(1)yx， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 联立 2 2(1) 4 yx yx ，得 2 310 xx ，则 12 3xx， 由抛物线的定义知， 12 |25ABxx （2）显然直线 1 l， 2 l的斜率均存在，设直线 1 l的方程为(1)yxk，则直线 2 l的方程为 1 (1)yx k ， 联立 2 (1)
34、 4 yx yx k ，得 2222 (24)0 xxkkk，则 2 12 22 244 2xx k kk ， 12 2 4 |24ABxx k ， 同理可得， 2 2 4 |444 1 ( ) CD k k ， 四边形ACBD的面积 2 2 114 | |(4)(44) 22 SABCDk k 2 2 1 8(11)k k 2 2 1 8(22)32卥 k ， 当且仅当 2 2 1 k k ，即1 k时，等号成立， 故四边形ACBD面积的最小值为 32 第 17 页（共 18 页） 22 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的焦点为 1( 3F ，0)， 2(
35、3 F，0)，且过点 ( 3， 1) 2 （）求椭圆C的方程； （）设椭圆的上顶点为B，过点( 2, 1)作直线交椭圆于M，N两点，记直线MB，NB的 斜率分别为 MB k， NB k， 试判断 MBNB kk是否为定值？若为定值， 求出该定值； 若不是定值， 说明理由 【解答】解： （）由题意可得 222 22 3 31 1 4 c abc ab ，解得 2 1 3 a b c ， 所以椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y （）(0,1)B，设 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y，直线MN的方程为1(2)yk x ， 与椭圆方程联立 2 2 1(2) 1 4 yk x x
36、 y ，消去y，得 22 (14)8 (21)16 (1)0kxkkxk k， 由根与系数的关系得 12 2 8 (21) 14 kk xx k ， 12 2 16 (1) 14 k k x x k ， 则 12121212 121212 112(22)()(22)() 2 MBNB yykx xkxxkxx kkk xxx xx x 2(1)8 (21) 2 16 (1) kkk k k k 2(21)1kk 23（12 分） 已知点F是椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的右焦点， 过点F的直线l交椭圆于M， N两点当直线l过C的下顶点时，l的斜率为3，当直线l垂直于C的长轴
37、时，OMN的 面积为 3 2 （）求椭圆C的标准方程； （）当| 2|MFFN时，求直线l的方程； （）若直线l上存在点P满足|PM，|PF，|PN成等比数列，且点P在椭圆外，证明： 点P在定直线上 第 18 页（共 18 页） 【解答】解： （）由题设：3 b c ， 2 3 2 b c a ，解得2a ，3b ， 所以椭圆C的方程为 22 1 43 xy （）当直线l与x轴重合时，| 3|MFFN，不合题意 当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为1xty， 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y， 联立 22 1 3412 xty xy ，消去x整理得 22 (34)690
38、tyty， 有 12 2 6 34 t yy t ， 12 2 9 34 y y t ， 由| 2|MFFN，得 12 2yy ， 联立得 2 222 729 (34)34 t tt ，解得 2 5 5 t 所以直线l的方程为5250 xy （）设 0 (P x， 0) y 当直线l与x轴重合时，因为点p在椭圆外，所以 0 2x ， 0 2x 同号， 由 2 | | |PMPNPF，得 2 000 (2)(2)(1)xxx，解得 0 5 2 x ， 当直线l与x轴不重合时，由（）知 12 2 6 34 t yy t ， 12 2 9 34 y y t ， 因为 2 10 |1|PMtyy， 2 20 |1|PNtyy， 2 0 |1|PFty， 因为点p在椭圆外，所以 10 yy， 20 yy同号， 由 2 | | |PMPNPF，得 2 10200 ()()yyyyy，解得 0 5 2 x ， 整理得 12012 ()0y yyyy，即 0 22 96 0 3434 t y tt ， 解得 0 3 2 y t ，代入直线l方程1xty，得 0 5 2 x ， 所以点p在定直线 5 2 x 上
