1、第 1 页（共 12 页） 2020-2021 学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷 一、选择题：本卷共一、选择题：本卷共 9 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 36 分，在每小题给出的四个选项中，只有一分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1 （4 分）圆心为(1, 1)，半径为 2 的圆的方程为( ) A 22 (1)(1)4xy B 22 (1)(1)2xy C 22 (1)(1)4xy D 22 (1)(1)2xy 2 （4 分）已知数列 n a，满足 1 1 1 n n a a ，若 1 1 2
2、a ，则 10 (a ) A 1 2 B2 C1 D1 3 （4 分）已知双曲线 22 2 1 9 xy a 的一个焦点在直线25xy上，则双曲线的渐近线方程 为( ) A 3 4 yx B 4 3 yx C 2 2 3 yx D 3 2 4 yx 4 （4 分）已知过点(2,2)P的直线与圆 22 (1)5xy相切，且与直线10axy 平行， 则(a ) A2 B1 C 1 2 D 1 2 5 （4 分）已知等差数列 n a、 n b的前n项和分别为 n S、 n T，且有 2 31 n n Sn Tn ，则 7 7 ( a b ) A 13 23 B 1 2 C 13 20 D 2 3 6
3、 （4 分）等比数列 n a中，若 2 a、 4 a是方程 2 21180 xx的两根，则 3 a的值为( ) A2 B2 C2 D3 7 （4 分）抛物线 2 4xy上一点A的纵坐标为 4，则点A与抛物线焦点的距离为( ) A2 B3 C4 D5 8 （4 分）已知圆 22 1: 4Cxy和圆 22 2: 260(0)Cxyaya的公共弦长为 2，则实数 a的值为( ) A 3 3 B3 C 2 2 D2 第 2 页（共 12 页） 9（4 分） 设椭圆的两个焦点分别为 1 F、 2 F， 过 2 F作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P， 若 12 FPF 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )
4、A 2 2 B 21 2 C22 D21 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题每小题小题每小题 4 分，共分，共 20 分分 10 （4 分）抛物线 2 8yx 的焦点坐标是 11（4 分） 设直线 1: 60lxmy和 2:( 2)320lmxym， 若 12 ll， 则实数m 12 （4 分）如图，在长方体 1111 ABCDABC D中， 1 1ADAA，2AB ，点E为AB的中 点，则点B到平面 1 D EC的距离为 13 （4 分）已知数列 n a， 1 1a ， 1* 1 2() n nn aanN ，则 n a 14 （4 分）若直线yxb与曲线 2 34yxx有公
5、共点，则b的取值范围是 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 4 题，共题，共 44 分，要求写出文字说明，解答过程或演算步骤分，要求写出文字说明，解答过程或演算步骤 15 （10 分）已知等差数列 n a满足： 4 7a ， 10 19a，其前n项和为 n S （1）求数列 n a的通项公式 n a及 n S； （2）若 1 1 n nn b a a ，求数列 n b的前n项和为 n T 16（10 分） 如图， 四棱锥PABCD中，ABCD为正方形，PD 平面ABCD，2PDDC， E是PC的中点 （1）证明：/ /PA平面BDE； （2）求平面BDE与平面DEC的夹角的余弦值 第 3
6、 页（共 12 页） 17 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 1 2 e ，过点(2,0) （）求椭圆C的标准方程； （）设左、右焦点分别为 1 F， 2 F，经过右焦点 2 F的直线l与椭圆C相交于A、B两点， 若 11 AFBF，求直线l方程 18 （12 分）已知数列 n a的前n项和 * 1() nn Sa nN （1）求数列 n a的通项公式； （2）求数列 n na的前n项和 n T，并证明：2 n T 第 4 页（共 12 页） 2020-2021 学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷 参考答案与
7、试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本卷共一、选择题：本卷共 9 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 36 分，在每小题给出的四个选项中，只有一分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1 （4 分）圆心为(1, 1)，半径为 2 的圆的方程为( ) A 22 (1)(1)4xy B 22 (1)(1)2xy C 22 (1)(1)4xy D 22 (1)(1)2xy 【解答】解：圆心为(1, 1)，半径为 2 的圆的标准方程是： 22 (1)(1)4xy 故选：C 2 （4 分）已知数列 n a，满足 1 1 1 n n a a ，若 1 1 2
8、 a ，则 10 (a ) A 1 2 B2 C1 D1 【解答】解：数列 n a，满足 1 1 1 n n a a ， 当 1 1 2 a 时，解得 2 2a ， 当2n ，解得 3 1 1 12 a ， 当3n 时，解得 4 1 2 a ， 所以数列的周期为 3 故 103 3 11 1 2 aaa 故选：A 3 （4 分）已知双曲线 22 2 1 9 xy a 的一个焦点在直线25xy上，则双曲线的渐近线方程 为( ) A 3 4 yx B 4 3 yx C 2 2 3 yx D 3 2 4 yx 【解答】解：根据题意，双曲线 22 2 1 9 xy a 的焦点在x轴上， 而直线25xy
9、与x轴交点为(5,0)，则5c ， 进而有 2 925a， 第 5 页（共 12 页） 解可得 2 16a ， 则双曲线的方程为： 22 1 169 xy ， 其渐近线方程为： 3 4 yx ； 故选：A 4 （4 分）已知过点(2,2)P的直线与圆 22 (1)5xy相切，且与直线10axy 平行， 则(a ) A2 B1 C 1 2 D 1 2 【解答】解：已知过点(2,2)P的直线与圆 22 (1)5xy相切， 将点(2,2)P代入圆 22 (1)5xy恒成立， 则点P在圆上即过点(2,2)P的直线与圆 22 (1)5xy相切的切线只有一条， 令过点(2,2)P的切线的方程为2(2)yx
10、k，即220 xykk， 由此切线与10axy 平行，两直线的斜率相等且y轴截距不等， 可得ak且221k； 由圆心到切线的距离等于圆的半径，可得圆的半径 22 |022| 5 1 r kk k ， 1 2 k，即 1 2 a ； 故选：C 5 （4 分）已知等差数列 n a、 n b的前n项和分别为 n S、 n T，且有 2 31 n n Sn Tn ，则 7 7 ( a b ) A 13 23 B 1 2 C 13 20 D 2 3 【解答】解：由等差数列的性质可得： 113 713 113 713 13() 2 1313 2 13() 3 13 120 2 aa aS bb bT 故选
11、：C 6 （4 分）等比数列 n a中，若 2 a、 4 a是方程 2 21180 xx的两根，则 3 a的值为( ) A2 B2 C2 D3 第 6 页（共 12 页） 【解答】解：由题意 2 a、 4 a是方程 2 21180 xx的两根，故有 24 4a a 又 n a为等比数列 2 243 a aa， 3 2a 故选：B 7 （4 分）抛物线 2 4xy上一点A的纵坐标为 4，则点A与抛物线焦点的距离为( ) A2 B3 C4 D5 【解答】解：依题意可知抛物线的准线方程为1y ， 点A到准线的距离为415 ， 根据抛物线的定义可知点A与抛物线焦点的距离就是点A与抛物线准线的距离， 点
12、A与抛物线焦点的距离为 5， 故选：D 8 （4 分）已知圆 22 1: 4Cxy和圆 22 2: 260(0)Cxyaya的公共弦长为 2，则实数 a的值为( ) A 3 3 B3 C 2 2 D2 【解答】解：根据题意，圆 22 1: 4Cxy和圆 22 2: 260(0)Cxyaya， 则有 22 22 4 260 xy xyay ，联立可得： 1 y a ，即两圆公共弦所在直线的方程为 1 y a ， 圆 22 1: 4Cxy，其圆心为(0,0)，半径2r ， 若公共弦的弦长为 2，则圆 1 C的圆心 1 C到公共弦的距离413d ， 又由0a ，则有 1 3 a ，解可得 3 3 a
13、 ， 故选：A 9（4 分） 设椭圆的两个焦点分别为 1 F、 2 F， 过 2 F作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P， 若 12 FPF 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( ) A 2 2 B 21 2 C22 D21 第 7 页（共 12 页） 【解答】解：设点P在x轴上方，坐标为 2 ( ,) b c a ， 12 FPF为等腰直角三角形 212 | |PFFF，即 2 2 b c a ，即 22 2 2 212 acc ee aa 故椭圆的离心率21e 故选：D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题每小题小题每小题 4 分，共分，共 20 分分 10 （4 分）抛物线 2 8
14、yx 的焦点坐标是 ( 2,0) 【解答】解：抛物线方程 2 8yx ， 焦点在x轴，4p ，焦点坐标为( 2,0) 故答案为( 2,0) 11（4分） 设直线 1: 60lxmy和 2:( 2)320lmxym， 若 12 ll， 则实数m 1 2 【解答】解：直线 1: 60lxmy和 2:( 2)320lmxym， 由 12 LL，得3(2)0mm，即42m ，解得 1 2 m 故答案为： 1 2 12 （4 分）如图，在长方体 1111 ABCDABC D中， 1 1ADAA，2AB ，点E为AB的中 点，则点B到平面 1 D EC的距离为 2 2 【解答】解：在长方体 1111 AB
15、CDABC D中， 1 1ADAA，2AB ， 点E为AB的中点， 以D为原点，建立空间直角坐标系，如图 (1B，2，0)，(0C，2，0) (1E，1，0)， 1(0 D，0，1)， 第 8 页（共 12 页） (0EB ，1，0)，( 1EC ，1，0)， 1 ( 1ED ，1，1)， 设平面 1 D EC的法向量(nx，y，) z， 则 1 0 0 n EBy n EDxyz ， 取1y ，得(0n ，1，1)， 点B到平面 1 D EC的距离： |12 |22 EB n d n 故答案为： 2 2 13 （4 分）已知数列 n a， 1 1a ， 1* 1 2() n nn aanN
16、，则 n a 1 2n 【解答】解：数列 n a， 1 1a ， 1* 1 2() n nn aanN ， 所以 2 1 2n nn aa ， 3 12 2n nn aa ， 0 21 2aa， 所以 1 0121 1 1 (21) 22221 2 1 n nn n aa ， 所以 1 2n n a 故答案为： 1 2n 14（4 分） 若直线yxb与曲线 2 34yxx有公共点， 则b的取值范围是 12 2， 3 【解答】解：如图所示：曲线 2 34yxx，即 2 34yxx ， 平方可得 22 (2)(3)4(xy13y剟，04)x剟， 第 9 页（共 12 页） 表示以(2,3)A为圆心
17、，以 2 为半径的一个半圆 由圆心到直线yxb的距离等于半径 2， 可得 |23| 2 2 b ，12 2b ， 或1 2 2b 结合图象可得1 2 23b剟， 故答案为：12 2，3 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 4 题，共题，共 44 分，要求写出文字说明，解答过程或演算步骤分，要求写出文字说明，解答过程或演算步骤 15 （10 分）已知等差数列 n a满足： 4 7a ， 10 19a，其前n项和为 n S （1）求数列 n a的通项公式 n a及 n S； （2）若 1 1 n nn b a a ，求数列 n b的前n项和为 n T 【解答】解： （1）设等差数列 n a的
18、公差为d，则 1 1 37 919 ad ad ， 解得： 1 1a ，2d ， 12(1)21 n ann ， 2 (121) 2 n nn Sn （2） 1 11111 () (21)(21)2 2121 n nn b a annnn ， 数列 n b的前n项和为 111111 (1)()() 23352121 n T nn 11 (1) 22121 n nn 16（10 分） 如图， 四棱锥PABCD中，ABCD为正方形，PD 平面ABCD，2PDDC， E是PC的中点 第 10 页（共 12 页） （1）证明：/ /PA平面BDE； （2）求平面BDE与平面DEC的夹角的余弦值 【解答
19、】解： （1）证明：连接AC，交BD于点O，连接OE， ABCD为正方形，O是AC的中点， E是PC的中点，/ /OEPA， PA平面BDE，OE 平面BDE， / /PA平面BDE （2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系， 则(2B，2，0)，(0D，0，0)，(0E，1，1)，(0C，2，0)， (2DB ，2，0)，(0DE ，1，1)， 设平面BDE的法向量(nx，y，) z， 则 220 0 n DBxy n DEyz ，设1x ，则(1n ，1，1)， 平面DEC的法向量(1m ，0，0)， 设平面BDE与平面DEC的夹角为， 则 |13 cos
20、| |33 m n mn ， 平面BDE与平面DEC的夹角的余弦值为 3 3 第 11 页（共 12 页） 17 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 1 2 e ，过点(2,0) （）求椭圆C的标准方程； （）设左、右焦点分别为 1 F， 2 F，经过右焦点 2 F的直线l与椭圆C相交于A、B两点， 若 11 AFBF，求直线l方程 【解答】解： （）由 1 2 c e a ，且2a ，则1c ， 22 3bac， 故椭圆C的方程为 22 1 43 xy ； （） 1( 1,0) F ， 2(1,0) F， 设经过右焦点 2 F的直线l的方程为1xmy
21、，与椭圆方程 22 3412xy联立， 可得 22 (43)690m ymy，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 则 12 2 6 43 m yy m ， 12 2 9 43 y y m ， 由 11 AFBF，即 11 AFBF， 11 12 12 1 11 AFBF yy kk xx ， 即有 12121212 (1)(1)(2)(2)xxy ymymyy y 2 1212 (1)2 ()4my ym yy 2 22 96 (1) ()2()40 4343 m mm mm ， 第 12 页（共 12 页） 解得 7 3 m ， 则直线l的方程为 7 1 3 xy ，
22、 即为 3 7 (1) 7 yx 18 （12 分）已知数列 n a的前n项和 * 1() nn Sa nN （1）求数列 n a的通项公式； （2）求数列 n na的前n项和 n T，并证明：2 n T 【解答】解： （1）数列 n a的前n项和1 nn Sa 所以当1n 时， 1 1 2 a 当2n时， 11 1 nn Sa ， 得： 11nnnnn aSSaa ， 整理得 1 2 nn aa 故 1 1 2 n n a a （常数） ， 所以数列 n a是以 1 2 为首项， 1 2 为公比的等比数列； 所以 1 111 ( ) 222 n n n a ， 所以 1 2 n n a 证明： （2）设 1 2 n n bn， 所以 23 1111 23 2222 n n Tn ， 2341 11111 23 22222 n n Tn ， 得： 211 11 (1) 111111 22 (.) 1 222222 1 2 n n nnn Tnn ， 所以 1 1 22 22 n nn n T
