1、第 1 页 （数学试卷共 6 页） 20212021 年大连市高三双基测试卷年大连市高三双基测试卷 数数学学 命题人：李飞、康秉德、赵文莲命题人：李飞、康秉德、赵文莲审校人：赵文莲审校人：赵文莲 注意事项： 1. 请在答题纸上作答，在试卷上作答无效。 2. 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分,共 150 分，考试时 间 120 分钟。 第第卷卷 一一、选择题选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 |14, |25AxxBxx，则AB （A） |15xx（B） |24xx （C） |25xx（D）
2、|24xx 2. 命题“ 2 1,0 xxx ”的否定为 （A） 2 1,0 xxx （B） 2 1,0 xxx （C） 2 1,0 xxx （D） 2 1,0 xxx 3.抛物线 2 2yx的焦点到其准线的距离为 （A） 1 2 （B）1（C）2（D）4 4 已知函数( )f x为定义在R上的奇函数， 当0 x 时，( )ln(1)f xx ， 则(1)f （A）ln2（B）ln2（C）0（D）1 5. 2020 年 12 月 1 日，大连市开始实行生活垃圾分类管理. 某单位有四个垃圾桶， 分别是一个可回收物垃圾桶、一个有害垃圾桶、一个厨余垃圾桶、一个其它垃圾桶。 因为场地限制，要将这四个垃
3、圾桶摆放在三个固定角落，每个角落至少摆放一个，则 不同的摆放方法共有（如果某两个垃圾桶摆放在同一角落，它们的前后左右位置关系 不作考虑） （A）18种（B）24种（C）36种（D）72种 第 2 页 （数学试卷共 6 页） 6. 已知圆 22 25xy，则过圆上一点(3,4)A的切线方程为 （A）34250 xy（B）43240 xy （C）3470 xy（D）430 xy 7某圆锥的母线长为2，底面半径为1，则其表面积为 （A）（B）2（C）3（D）4 82020 年 12 月 4 日，中国科学技术大学宣布该校潘 建伟等科学家成功构建 76 光子的量子计算原型机“九 章” ，求解数学算法“高
4、斯玻色取样”只需要 200 秒， 而目前世界最快的超级计算机要用 6 亿年，这一突破 使我国成为全球第二个实现 “量子优越性” 的国家。“九 章”求得的问题名叫“高斯玻色取样” ，通俗的可以理 解为量子版本的高尔顿钉板，但其实际情况非常复杂。 高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每 一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉 子水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从 入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球， 白球向下降落的过程 中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以 1 2 的概率向左或向右滚下，于是又碰到 下一层钉子。如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内
5、为止。现从入口放进一个白 球，则其落在第个格子的概率为 （A） 1 128 （B） 7 128 （C） 21 128 （D） 35 128 二二、选择题选择题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。 9.对于函数( )sin(2)(R) 3 f xxx ，下列结论正确的是 （A）最小正周期为 （B）函数图象的对称中心为(,0),Z 26 k k （C）单调递增区间为 7 ,Z 1212 kkk （D）( )f x的图象可由函数sin2yx的图象向左平移 3 个单位得到 第 3
6、 页 （数学试卷共 6 页） 10.下列函数最小值是2的是 （A） 2 2 1 (0)yxx x （B） 1 (R) x x yex e （C） 2 2 1 4(R) 4 yxx x （D） 2 1 (0)yxx x 11.用一个平面截正方体，所得的截面不 可能是 （A）锐角三角形（B）直角梯形 （C）有一个内角为 o 75的菱形（D）正五边形 12.已知关于x的方程 2( 1) x axa，下列结论正确的是 （A）当 2 e ae时，该方程有唯一的实根 （B）当 2 e ae时，该方程有两个不同的实根 （C）当 1 1 e ae时，该方程有两个不同的实根 （D）当 12 ee eae时，该方
7、程有三个不同的实根 第第卷卷 三、三、填空题填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.(2)(1)ii 14. 已知单位向量, a b满足| + |a b =1，则|ab =. 15. 若直线2yx与双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 没有公共点，则该双曲线离心 率的取值范围为 16. 已知数列 m a通项公式 2* (32 )3 ln(N ) m ammm m ， 若数列 m a 是递减数列，则实数的取值范围为 第 4 页 （数学试卷共 6 页） 四四、解答题解答题：本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （
8、10 分） 在 2* 3 1(N) 4 n Snknnk， 为常数， * 1 (N) nn aad nd ， 为常数， * 1 (0,N ,) nn aqa qnq 为常数这三个条件中任选一个，补充到下面问题中， 若问题中的数列存在，求数列 * 1 1 (N ) nn n a a 的前10项和；若问题中的数列不存 在，说明理由. 问题： 是否存在数列 * (N ) n an， 其前n项和为 n S， 且 13 1,4,aa？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18.（12 分） 已知ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c, 若10a ， 22 780bbcc，
9、 o 60C . （）求cosB； （）求ABC的面积. 第 5 页 （数学试卷共 6 页） 19.（12 分） 2020 年 1 月末，新冠疫情爆发，经过全国人民的努力，2 月中旬，疫情得到了初步的 控制，湖北省以外地区的每日新增确诊人数开始减少，某同学针对这个问题，选取他 在统计学中学到的一元线性回归模型，作了数学探究： 他于 2 月 17 日统计了 2 月 7 日至 16 日这十天湖北省以外地区的每日新增确诊人数， 表格如下： 日期2.72.82.92.102.112.122.132.142.152.16 代号x12345678910 新增确诊 人数y 55850944438137731
10、2267221166115 计算出y与x的线性相关系数约为-0.9966，他确定y与x有 99%的把握线性相关， 然后计算出： 1010 2 11 5.5,335,()()3955,()82.5 iii ii xyxxyyxx . （）请你帮这位同学计算出y与x的线性回归方程（精确到 0.1） ，然后根据这个 方程估计湖北省以外地区新增确诊人数为零时的大概日期； 附：回归方程 ybxa中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： 1 2 1 ()() () n ii i n i i xxyy b xx ， a ybx. （）实际上 2 月 17 日至 2 月 22 日的新增确诊人数如下： 日期2.
11、172.182.192.202.212.22 新增确诊人数7933452583418 根据第（）问估计的结果以及上述的实际确诊人数，请对这位同学这次数学探究的 结论作出评价. 第 6 页 （数学试卷共 6 页） 20. （12 分） 如图，四棱锥PABCD底面为正方形，PA 底面 ABCD，PAAB， 点E在 棱PD上 ， 且 2PEED，点F是棱PC上的动点（不是端点）. （）若F是棱PC的中点， 求证：/ /PB平面AEF； （）求PA与平面AEF所成角的正弦值的最大值. 21. （12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 左右焦点分别为 12 (,0),( ,0)
12、FcF c， 点P为椭圆 C上一点，满足 o 12 90FPF，且 12 FPF的面积为 2 c. （）求椭圆C的离心率； （）已知直线 1 (2) 2 yx与椭圆C交于,M N两点，点Q坐标为(2,0)，若 | 3|MQNQ，求椭圆C的方程. 22. （12 分） 已知函数 2 ( )cos1f xaxx. （） 当 1 4 a 时， 直线l为函数( )f x的图象在点( ,( )(0)t f tt 处的切线， 求l 在y轴上的截距取最大值时t的值； （）若( )0f x ，求a的取值范围. 1 20212021 年大连市高三双基测试卷年大连市高三双基测试卷 数学参考答案数学参考答案 一、选
13、择题 1.D2.B3.B4.A5.C6.A7.C8.C 二、选择题 9.AB10.AB11.BCD12.ABD 三、填空题 13.3 i14.315.(1, 516. 2 (0,) 2 23ln 3 四、解答题 17. 解.如果选择，由 11 332 , aS aSS 4 分 即 3 11 4 , 27 4332 4 k kk 解得 3 4 1 4 k k ，该方程组无解 ， 所以该数列不存在. 10 分 如 果 选 择 * 1 (N) nn aad nd ， 为常数， 即 数 列 n a为 等 差 数 列 ， 由 13 1,4,aa可得公差 31 3 22 aa d ，所以 31 22 n
14、an.4 分 所以 1223101112231011 1112 1111115 () 38a aa aa aaaaaaa .10 分 如果选择 * 1 (0,N ,) nn aqa qnq 为常数，即数列 n a为等比数列，由 13 1,4,aa可得公比42q ，4 分 所以 1-1 111 (2) 4 nnnn n a aaa ，所以数列 1 1 nn a a 是首项为 1 2 ，公比为 1 4 的等比 数列， 所以其前10项和为 10 21 (1) 34 .10 分 2 18. 解： （）由 22 780,bbcc得(78 )()0,bc bc因为,0b c，所以78bc, 由正弦定理可得
15、7sin8sinBC，又 o 60C ，所以 84 3 sinsin 77 BC. 2 分 又bc，所以 o 60B ，当 oo 6090B时， 1 cos 7 B ；4 分 当 oo 90120B时， 1 cos 7 B .6 分 （）当 1 cos 7 B 时， 4 31135 3 sinsin() 727214 ABC，由正弦定 理得 sinsin ac AC ，解得14c ，所以 sin 40 3 2 ABC acB S.9 分 当 1 cos 7 B 时， 4 31133 3 sinsin() 727214 ABC，由正弦定理得 sinsin ac AC ，解得 70 3 c ，所以
16、 sin200 3 23 ABC acB S.12 分 19. 解： （） 设回归方程为 ybxa ， 则 10 1 10 2 1 ()() 3955 47.939 82.5 () ii i i i xxyy b xx ， 3 分 所以 598.7aybx，所以回归方程为47.9598.7yx .6 分 估计在13x 即 2 月 19 日时新增确诊人数为零. 7 分 3 （） 该数学探究估计的数据与实际的数据不吻合。8 分 该同学首先通过线性相关系数进行线性相关判断，得到y与x有 99%的把握线性 相关，这只是说明选取的数据是线性的，但从整体看，不是线性的；出现这个结果的 原因可能是传染病初发
17、时的突发因素过多、湖北省外的人口众多、以及传染病机制复 杂等因素决定的，说明对于传染病病例的变化趋势，选择线性模型可能不够理 想. 12 分 （其它合理的评价酌情给分） 20. 法一： （）证明：连接,AC BD交于点O，连接OP交AF于 M，连接EM，取PD中点N，连接ON. 1 分 因为ABCD是正方形，所以O是,AC BD的中点， 所以/ /PBON. 又点M是PAC的重心，所以2 PM MO ， 又2PEED，所以2 PEPM ENMO ，所以/ /EMON， 3 分 所以/ /PBEM， 又EM 平面AEF，PB 平面AEF， 所以/ /PB平面AEF.5 分 或者： 取AD中点N，
18、ED中点M， 连接CN交BD于G， 证明/ /PBMG，平面/ /MNC平面AEF即可.过程略. 或者：延长,EF DC交于点M，连接AM交BD于点N， 过点C作/ /CGPD交ME于点G，证明/ /PBEN即可. 过程略. （）解： 不妨设3PAAB，过点P作PHAE交AE延长线 于 点H，PAE的 面 积 为 31 22 AEPH， 由5AE ， 所 以 4 3 5 5 PH .7 分 设点P到平面AEF的距离为d， 所以 3 5 5 dPH， 当平面AEF 平面PAE时取到等 号. 9 分 因为PA 底面ABCD，CD 底面ABCD，所以PACD， 又ADCD，,PAADA PA AD平
19、面PAD， 所以CD 平面PAD. 当2PFFC时，有/ /EFCD，有EF 平面PAD, 又EF 平面AEF，所以平面AEF PAE. 此时d取到最大值 3 5 5 ，所以PA与平面AEF所成角的正弦值为 d PA ，其最大值为 5 5 PH PA .12 分 法二： 因为四棱锥PABCD底面为正方形，PA 底面ABCD， 所以,AB AD AP 两两垂直，以A为坐标原点，AB 的方向为x轴正方向 建 立 空 间 直 角 坐 标 系Axyz如 图 所 示 . 不 妨 设 6PAAB，由点E在棱PD上，且2PEED，则 (6,0,0),(0,0,6),(0,2,4),(6,6,0),(0,6,
20、0)BPECD. 1 分 （）证明： 由F是棱PC的中点，所以(3,3,3)F,所以(0,2,4),(3,3,3)AEAF ， 设 平 面AEF的 一 个 法 向 量( , , )mx y z ， 则 由 0 0 m AE m AF 得 5 240 3330 yz xyz ，3 分 不妨令2y ，则1,1xz ，所以( 1,2, 1)m ，又(6,0, 6)PB ，所以 6060m PB . 又PB 平面AEF，所以/ /PB平面AEF.5 分 （）解：设PA与平面AEF所成的角为. 设(6 ,6 , 6 )PFPC ，则(6 ,6 ,66 )AFAPPC ， 设 平 面AEF的 一 个 法
21、向 量( , , )na b c ， 则 由 0 0 n AE n AF 得 240 66(66 )0 bc abc ，8 分 不妨令2b ，则 1 3,1xc ，所以 1 (3,2, 1)n ，又(0,0,6)AP ， 所以 2 |1 sin|cos,|= | |1 5(3) AP n AP n APn ， 10 分 所 以 当 1 = 3 时 ，PA与 平 面AEF所 成 角 的 正 弦 值 取 到 最 大 值 5 5 .12 分 21. 解解： （）由椭圆定义可得 12 | 2PFPFa， 又 o 12 90FPF，所以 222 12 |4PFPFc. 2 分 和可得 2 12 | 2P
22、FPFb，所以 12 FPF的面积为 2 b. 6 所以 22 bc，即 22 2ac，所以椭圆C的离心率为 2 2 . 4 分 （）椭圆方程可化为 222 2xya，其与 1 (2) 2 yx联立可得： 22 6840yya，由 2 =6424(4)0a可得 2 4 3 a . 设设 1122 (,),(,)M x yN xy，所以 2 1212 44 , 36 a yyy y . ， 6 分 又又直线 1 (2) 2 yx过点Q，且| 3|MQNQ. （1）当3MQNQ ，即 12 3yy时 ，结合解得 2 4 2 3 a ，所以椭圆C的 方程为 2 2 1 2 x y；9 分 （2）当3
23、MQNQ ，即 12 3yy 时，结合解得 2 4 12 3 a ，所以椭圆C 的方程为 22 1 126 xy .12 分 22. 解： （）当 1 4 a 时， 2 1 ( )cos1 4 f xxx， 1 ( )sin 2 fxxx， 所以( )f x的图象在点( ,( )(0)t f tt 处的切线方程为： 2 2 1 (sin )()cos1(sin )sincos1 2424 ttt ytxtttt xttt ， 2 分 其在y轴上截距设为 2 ( )sincos1 4 t g tttt ，则 1 ( )(cos) 2 g ttt. 7 当(0,) 3 t 时，( )0g t ，(
24、 )g t为增函数； 当(, ) 3 t 时，( )0g t ，( )g t为减函数. 所以( )g t在 3 t 时取最大值. 5 分 （）已知( )2sinfxaxx，设( )( )fxh x，则( )2cosh xax. (1)当21a 即 1 2 a 时，( )0h x ，所以( )fx在R上为增函数. 又(0)0f，所以当(,0)x 时，( )0fx ，( )f x为减函数； 当(0,)x时，( )0fx ，( )f x为增函数. 所以( )(0)0f xf，所以 1 2 a 时符合题意；8 分 (2)当21a 即 1 2 a 时，( )0h x ，所以( )fx在R上为减函数. 又(0)0f，所以当(,0)x 时，( )0fx ，( )f x为增函数； 当(0,)x时，( )0fx ，( )f x为减函数. 所以( )(0)0f xf，所以 1 2 a 时不符合题意；10 分 (3)当121a 即 11 22 a时， 当(0,arccos2 )xa时，( )0h x ，( )fx为 减函数. 又(0)0f，所以当(0,arccos2 )xa时，( )0fx ，( )f x为减函数. 所以当(0,arccos2 )xa时，( )(0)0f xf，所以 11 22 a时不符合题意. 综上，a的取值范围为 1 ,) 2 .12 分
