1、函数的单调性函数的单调性 一、教学内容一、教学内容解析解析 1教材内容及地位 本节课是北师大版数学 （必修 1）第二章第 3 节函数单调性的第一课时， 主要学习用符号语言 （不等式） 刻画函数的变化趋势 （上升或下降） 及简单应用。 它是学习函数概念后研究的第一个、也是最基本的一个性质，为后继学习奠 定了理性思维基础。如研究幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的性质，包 括导函数内容等；在对函数定性分析、求最值和极值、比较大小、解不等式、函 数零点的判定以及与其他知识的综合问题上都有重要的应用。 因此，它是高中 数学核心知识之一，是函数教学的战略要地。 2教学重点 函数单调性的概念，判断和证明
2、简单函数的单调性。 3教学难点 函数单调性概念的生成，证明单调性的代数推理论证。 二二、学生学情分析、学生学情分析 1教学有利因素 学生在初中阶段，通过学习一次函数、二次函数和反比例函数，已经对函数 的单调性有了“形”的直观认识，了解用“y随x的增大而增大（减小） ”描述 函数图象的上升（下降）的趋势。亳州一中实验班的学生基础较好，数学思维活 跃，具备一定的观察、辨析、抽象概括和归纳类比等学习能力。 2教学不利因素 本节课的最大障碍是如何用数学符号刻画一种运动变化的现象， 从直观到抽 象、 从有限到无限是个很大的跨度。而高一学生的思维正处在从经验型向理论型 跨越的阶段，逻辑思维水平不高，抽象概
3、括能力不强。另外，他们的代数推理论 证能力非常薄弱。这些都容易产生思维障碍。 三三、课堂教学目标、课堂教学目标 1理解函数单调性的相关概念。掌握证明简单函数单调性的方法。 2通过实例让学生亲历函数单调性从直观感受、定性描述到定量刻画的自然跨 越，体会数形结合、分类讨论和类比等思想方法。 3通过探究函数单调性，让学生感悟从具体到抽象、从特殊到一般、从局部到 整体、从有限到无限、从感性到理性的认知过程，体验数学的理性精神和力量。 4引导学生参与课堂学习，进一步养成思辨和严谨的思维习惯，锻炼探究、概 括和交流的学习能力。 四、教学策略分析四、教学策略分析 在学生认识函数单调性的过程中会存在两方面的困
4、难：一是如何把“y 随 x 的增大而增大（减小） ”这一描述性语言“翻译”为严格的数学符号化语言，尤 其抽象概括出用“任意”刻画“无限”现象；二是用定义证明单调性的代数推理 论证。对高一学生而言，作差后的变形和因式符号的判断也有一定的难度。 为达成课堂教学目标，突出重点，突破难点，我们主要采取以下形式组织学 习材料： 1指导思想。 充分发挥多媒体形象、动态的优势，借助函数图象、表格和 几何画板直观演示。在学生已有认知基础上，通过师生对话自然生成。 2在“创设情境”阶段。 观察并分析沙漠某天气温变化的趋势，结合初中 已学函数的图象，让学生直观感受函数单调性，明确相关概念。 3在“引导探索”阶段。
5、 首先创设认知冲突，让学生意识到继续学习的必 要性；然后设置递进式“问题串” ，借助多媒体引导学生对“y 随 x 的增大而增 大”进行探究、辨析、尝试、归纳和总结，并回顾已有知识经验，实现函数单调 性从“直观性”到“描述性”再到“严谨性”的跨越。 4在“学以致用”阶段。 首先通过 3 个判断题帮助学生从正、反两方面辨 析，逐步形成对概念正确、全面而深刻的认识。 然后教师示范用定义证明函数 单调性的方法，一起提炼基本步骤，强化变形的方向和符号判定方法。接着请学 生板演实践。 五、教学过程五、教学过程 （一）创设情境，引入课题（一）创设情境，引入课题 实例实例 科考队对沙漠气候进行科学考察，下图是
6、某天气温随时间的变化曲线。请 你根据曲线图说说气温的变化情况？ 预设：预设：学生的关注点不同，如气温的最值，某时刻的气温，某时间段气温的 升降变化（若学生没指明时间段，可追问） ，等。 图象在某区间上（从左往右） “上升”或“下降”的趋势反映了函数的一个基本性质单调性（板书课题） 。 设计说明：设计说明： 从科考情境导入新课， 了解 “早穿棉袄午穿纱， 围着火炉吃西瓜” 这一独特的沙漠气候，直观形象感知气温变化，自然引入函数的单调性。 函数是描述事物变化规律的数学模型。 如果清楚了函数的变化规律，那么 就基本把握了相应实物的变化规律。在事物变化过程中，保存不变的特征就是这 个事物的性质。因此，
7、研究函数的变化规律是非常有意义的。 问题问题 1 ：观察下列函数图象，请你说说这些函数有什么变化趋势？ 设计说明设计说明：学生回答时可能会漏掉“在某区间上” ，规范表达“函数在哪个 区间上具有怎样的单调性” 。 借此强调函数的单调性是相对某区间而言的，是函 数的局部性质。 设函数的定义域为I，区间DI。在区间D上，若函数的图象（从左向右）总是 上升的，即 y 随 x 的增大而增大，则称函数在区间D上是递增的，区间D称为函数的单调 增区间； （学生类比定义“递减” ，接着推出下图，让学生准确回答单调性。 ） 设计说明：设计说明：从图象直观感知到文字描述，完成对函数单调性的第一次认知。 明确相关概
8、念，准确表述单调性。学生认为单调性的知识似乎够用了，为下面的 认知冲突做好铺垫。 （二）引导探索，生成概念（二）引导探索，生成概念 问题问题 2（1）下图是函数( )yf x的图象（以( )0.0011f xx为例） ，它在定义域 R 上是递增的吗？ （2）函数 1 ( )f xx x 在区间(0,+ )上有何单调性？ 预设：预设：学生会不置可否，或者凭感觉猜测，可追问判定依据。 设计说明：设计说明：函数图象虽然直观，但是缺乏精确性，必须结合函数解析式；但 仅凭解析式常常也难以判断其单调性。 借此认知冲突，让学生意识到学习符号 化定义的必要性。 自然开始探索。 问题问题 3 （1）如何用数学符
9、号描述函数图象的“上升”特征，即“y 随 x 的增大 而增大 ”？ 以二次函数 2 ( )f xx在区间0,)上的单调性为例，用几何画板动画演示 “y 随 x 的增大而增大” ，生成表格（每一秒生成一对数据） 。 设计说明：设计说明：先借助图形、动画和表格等直观感受“y 随 x 的增大而增大” ， 然后让学生思考、讨论得出，若 12 xx，则必须有 12 yy。 （2）已知 12 axxb ，若有 12 ( )( )()( )f af xf xf b 。能保证函数 ( )yf x 在区间 , a b上递增吗？ 拖动“拖动点”改变函数 ( )yf x 在区间 , a b上的图象，可以递增，可以先
10、 增后减，也可以先减后增。 （3）已知 123 axxxb ，若有 123 ( )( )()()( )f af xf xf xf b ，能保证函 数 ( )yf x 在区间 , a b上递增吗？ 拖动“拖动点” ，观察函数 ( )yf x 在区间 , a b上的图象变化。 设计说明：设计说明：先让学生讨论交流、举反例，然后借助几何画板动态说明验证两 个定点不能确定函数的单调性，三个点也不行，无数个点行不行呢？引导学生过 渡到符号化表示，呈现知识的自然生成。 （4）已知 1234 axxxxb ，若有 1234 ( )( )()()()( )f af xf xf xf xf b ， 能保证函数
11、( )yf x 在区间 , a b 上递增吗？ 设计说明：设计说明：可先请持赞同观点的同学说明理由，再请持反对意见的学生画出 反驳，然后追问：无数个x也不能保证函数递增，那该怎么办呢？若学生回答全 部取完或任取，追问“总不能一个一个的验证吧？” 紧接着师生一起回顾子集的概念， （PPT 展示教材上子集定义）再次体验对 “任意一个”进行操作，实现“无限”目标的数学方法，体会用“任意”来处理 “无限”的数学思想。 问题问题 4：如何用数学语言准确刻画函数( )yf x在区间D上递增呢？ 预设：预设：请学生自愿尝试概括定义。 板书“任意 12 ,x xD，当 12 xx时，都 有 12 ( )()f
12、 xf x，则称函数( )yf x在区间D上递增” ，则突出关键词“任意” 和“都有” ；若缺少关键词“任取”或“任意” ，则追问“验证两个点就能保证函 数在区间D上递增吗” 。 问题问题 5：请你试着用数学语言定义函数( )yf x在区间D上是递减的。 预设：预设：为表达准确规范，要求学生先写下来，然后展示。 并有意引导使用 “任意 12 ,x xD，当 12 xx时，都有 12 ( )()f xf x，则称函数( )yf x在区间D 上递减” ，以此打破必须“ 12 xx”的思维定势。 （三）（三）学以致学以致用用，理解感悟，理解感悟 判断题：判断题：你认为下列说法是否正确，请说明理由。
13、（举例或者画图） （1）设函数( )yf x的定义域为 ,)a ，若对任意xa，都有( )( )f xf a，则 ( )yf x在区间 ,)a 上递增； （2）设函数( )yf x的定义域为R，若对任意 12 ,( ,)x xa，且 12 xx，都有 12 ( )()f xf x，则( )yf x是递增的； （3）反比例函数 1 ( )f x x 的单调递减区间是(,0)(0,)。 设计说明设计说明：让学生分组讨论，然后作展示性回答。若学生认为正确，则要求 说明理由；若学生认为错误，则要求学生到黑板上画出反例（题（3）可追问怎 么修改） 。通过构造反例，逐步完善和加深对函数单调性的理解。 例题
14、：例题：判断并证明函数( )0.0011f xx的单调性。 设计说明设计说明：对照定义板书示范，指明变形的目的是变出因式 12 ()xx等，并让 学生提炼证明的基本步骤。 练习练习：证明函数 1 ( )(0)f xxx x 的单调性： （1）在(0,1)上递减； （2）在(1,)上递增。 设计说明设计说明：回答“问题 2”悬而未决的问题。先请两位学生板演，然后由其 他学生完善步骤。 思考思考题：题：物理学中的玻意耳定律 k p V （k为正常数）告诉我们，对于一定 量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大。试用函数的单调性证明。 设计说明设计说明：引导学生用数学知识解释其他学科的规律，培养学生
15、应用数学的 意识和能力。 （四）回顾（四）回顾反思，深化认识反思，深化认识 课堂课堂小结：小结： 通过本节课的学习，你的主要收获有哪些？ （关键词：三种语言，证明方法，数学思想，情感体验，等。 ） 设计说明设计说明：先给出问题，要求学生自主小结，再推出引导性关键词，使得总 结简明、到位、拔高。 （五）布置作业（五）布置作业 课堂课堂作业：作业： （1）第 38 页习题 2-3 A 组：3，5； （2）判断并证明函数 1 ( )(0)f xxx x 的单调性。 探究题：探究题：向一杯水中加一定量的糖，糖加得越多糖水越甜。 请你运用所学的数 学知识解释这一现象。 设设计说明计说明：课堂作业是为及时巩固初学的知识和方法，完善对“对钩函数”的认 识。 探究题是为培养学生运用数学的意识 （从地理情境开始， 中间解答物理定律， 最后以化学实验结束） ，感受数学的实用性和人文性。 （六）板书设计（六）板书设计 函数的单调性 递增： （板书定义） 递减： （学生类比） 例题（提炼步骤，明确变形方向） 练习（学生板演） 六、教后反思六、教后反思 反思“三个理解”的理解程度、教学策略和落实情况，等。
