1、高三数学（理科）试题参考答案第 1 页（共 6 页） 遂 宁 市 高 中 2021 届 零 诊 考 试 数学（理科）试题参考答案及评分意见 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D A B A C B D B C D B 二、填空题 13.7 14. 3 15. 5 16. 三、简答题 17. 17. （本小题满分本小题满分 1212 分分） （1）因为集合 05 0 x x xB5 , 0， 2 分 而73axaxA，且BBA，则AB ， 3 分 所以 57 03 a a ，解得32a，所以32aaM5 分 （2）因为32aaM3 , 2，又MCx
2、 R ，即 , 32,x，所 以 , 50 ,2x； 8 分 令 4 11 ) 2 1 (3)( 22 xxxxg，又Mx3 , 2， 所以此时 9)3()2()( max ggxg， 4 11 ) 2 1 ()( min gxg，即9 , 4 11 )(xg； 11 分 综上函数)(xf的值域为), 4 11 0 ,9 , 4 11 , 50 ,， 即函数)(xf的值域为), 4 11 0 , 12 分 18. 18. （本小题满分本小题满分 1212 分分） （1）点),( n S n n （n ）均在函数 1 xy 的图象上， 1 n S n n ，即 2 n Snn 1 分 高三数学（
3、理科）试题参考答案第 2 页（共 6 页） 当2n时， 2 2 1 112 nnn aSSnnnnn 3 分 当1n 时， 2 11 112aS ，满足上式 4 分 数列 n a的通项公式是2 n an 5 分 （2）由（1）得： 21 2 n n b ， 2 log21 n bn 6 分 21222 loglog.log nn Tbbb1 321n 7 分 1 21 2 nn 2 n 8 分 2222 2222222 23 11111121 31 411 111111 23234 n n TTTnn 2222 1 3 2 4 3 511 234 nn n 1 2 n n 10 分 令 1 2
4、 n n 51 101 ，解得： 101n 11 分 故满足条件的最大正整数n的值为100 12 分 19. 19. （本小题满分本小题满分 1212 分分） （1） 234 )(bxxaxxf，bxxaxxf234)( 23/ ，1 分 bxxbxaaxxfxfxg2) 3() 14()()()( 234/ ， ( )g x为偶函数， 02 014 b a ，解得 0 4 1 b a 3 分 34 4 1 )(xxxf，则 24 3 4 1 )(xxxg， )6)(6(6)( 3/ xxxxxxg 由0)( / xg，解得6x或60 x；由0)( / xg，解得6x或06x； )(xg在6,
5、，6, 0单调递增；在0 ,6，,6单调递减。 高三数学（理科）试题参考答案第 3 页（共 6 页） 函数)(xg的一个极大值点为6，对应的极大值为 69g ； 5 分 另一个极大值点为6，对应的极大值为 69g； 6 分 函数)(xg极小值点为0，对应的极小值为 00 g 7 分 （2）由（1）知 34 4 1 )(xxxf， 2234 ) 1( 4 1 )()(ccxxxcxxfxh 223 ccxxcx， cxcxxh23)( 2/ ，函数)(xh在5 , 2上单调递增， 023 2 cxcx在5 , 2上恒成立，即有 2 (31)2cxx，在 2,5恒成立 法一：2 22 1 31 3
6、 x c x x x ， 10 分 1113 36 22 x x , 2,5x 224 113 13 3 2 x x , 2,5x 4 13 c 12 分 法二、令cxcxx23)( 2 ，5 , 2x 0)5( 0)2( ，即 01075 0412 cc cc ，解得 13 4 c 实数c的取值范围), 13 4 .12 分 20. 20. （本小题满分本小题满分 1212 分分） (1) 31) 3 cos(sin4)( xxxf31) 3 sinsin 3 cos(cossin4 xxx 31)sin 2 3 cos 2 1 (sin4xxx 31 2 2cos1 322sin x x
7、1 sin23cos2xx 高三数学（理科）试题参考答案第 4 页（共 6 页） 2sin 21 3 x ， 4 分 又 2 , 3 x，所以 3 2 , 33 2 x 1 , 2 3 3 2sin x，所以 f x的值域为31,3 . 5 分 而3)( mxf，所以3m 31,3 ，即 1,33m . 6 分 （2） 由13)(Af， 即131 3 2s i n2 A， 解得 3 A 或 2 .由4 ACAB ， 即4cosAbc，所以 3 A ，则8bc 8 分 由余弦定理，得 22cos2 2222 bcbccbAbccba .10 分 由面积公式，知 11 sin 22 ABC Sbc
8、Aa AD， 即ADa 2 1 2 3 8 2 1 .所以6 22 34 AD。 所以BC边上的高AD长的最大值为6 12 分 21. 21. （本小题满分本小题满分 1212 分分） （1）因为axaexg x ln)(，所以1)( / x aexg，则1)0( / agk切， 点)0(, 0 g的坐标为aaln, 0，故切线方程为xaaay) 1()ln(， 即)ln() 1(aaxay， 由于它与直线bxey) 1(重合， 所以 baa ea ln 11 ， 解得 1eb ea ，故12 eba。 3 分 （2）因为) 1() 1ln()(xxxf1x，所以 1 1 1 1 )( / x
9、 x x xf， 高三数学（理科）试题参考答案第 5 页（共 6 页） 由0)( / xf，解得01x，由0)( / xf，解得0 x， 所以函数)(xf在)0 , 1(单调递增，在, 0单调递减，而1)0()( max fxf， 所以51t，解得4t 6 分 （3）因为)()(xfxg，即) 1() 1ln(lnxxaxaex 即1ln) 1ln(axaex，令axaexh x ln) 1ln()(，即有 1)(xh。 当10 a时，1ln)0(aah，所以10 a不合题意； 当1a时，) 1ln()(xexh x ， 1 1 )( / x exh x 当)0 , 1(x时，0)( / xh
10、，当, 0 x时，0)( / xh 所以当0 x时，)(xh取得最小值，最小值为1)0(h，从而1)(xh，符合题意； 当1a时，axaexh x ln) 1ln()(ln(1) x ex（放缩） ；又由知 1) 1ln(xex，符合题意； 综上，实数a的取值范围为, 1。 12 分 22. 22. （本小题满分本小题满分 1010 分分） （1）由l：2) 6 cos( 得， 2cos 2 3 sin 2 1 ； 因为 sin cos y x ，代入有直线l的直角坐标方程为：2 2 3 2 1 xy， 即为043 yx 2 分 由圆C：sin2得，sin2 2 ，因为x cos ，ysin
11、， 222 xy，所以圆C直角坐标方程为：1) 1( 22 yx， 由1) 1( 22 yx得， 4 分 高三数学（理科）试题参考答案第 6 页（共 6 页） 圆C的参数方程为 sin1 cos y x （为参数） ， 5 分 （2）设点P坐标为sin1 ,cos 则 2 3sincos3 1)3( 4sin1cos3 22 1 d)sincos33( 2 1 ， 又sin1 2 d 那么 2 5 ) 3 sin(cos 2 3 sin 2 1 2 5 21 dd 当 6 5 时， 12 dd取得最大值 2 7 10 分 23. 23. （本小题满分本小题满分 1010 分分） （1）当2m时
12、， 1, 1 11, 33 1, 5 )( xx xx xx xf，又3)(xf，则有 1 35 x x 或 11 333 x x 或 1 31 x x ；解得1x或01x或4x。即0 x或4x。 所以不等式3)(xf的解集为0 xx或4x 5 分 （2）因为 1,3 11,13 1,3 )( xmx xmx xmx xf在1x处取得最小值2m， 所以2 mM，则24mMba，由柯西不等式 4)( 3 1 3 2 1 2 3 1 2 1 )32( 2 222 22 bababa 所以 22 32ba 5 24 ，当且仅当ba32 ，即 5 6 a， 5 4 b时，等号成立。 故 22 32ba 的最小值为 5 24 。 10 分
