1、黄山市黄山市 2021 届高中毕业班第一次质量检测届高中毕业班第一次质量检测 数学数学(理科理科)试题试题 满分满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟. 一一 选择题选择题(本大题共本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的.) 1. 已知集合 |(3)(7)0,AxxxxZ，则集合A中元素个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 2. 复数22|3|ii（ ） A. 0 B. 2 C. 2i D. 2i 【答案】D 3.
2、 欧拉公式cossin ix exix（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，他将指数函数的定义域 扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学 中的天桥”.根据欧拉公式可知， 3i e表示的复数在复平面中位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 4. 已知抛物线 2 yx=上点 P到顶点的距离等于它到准线的距离，则点 P 的坐标为（ ） A. 2 1 , 48 B. 2 1 , 44 C. 2 1 , 44 D. 2 1 , 48 【答案】A 5. 从集合1,2,4中随机抽取一个数 a，从集合
3、2,4,5中随机抽取一个数 b，则向量( , )ma b 与向量 (2, 1)n 垂直的概率为（ ） A. 1 9 B. 2 9 C. 1 3 D. 2 3 【答案】B 6. 已知函数 42 ( )1f xxax图像在点( 1, ( 1)f处的切线与 y轴交于点(0,4)，则切点的纵坐标为 （ ） A. 7 B. 7 C. 4 D. 4 【答案】C 7. 已知函数 sinf xAx（其中0,0, 2 A ）的部分图象如图所示，则 f x的解析式 为（ ） A. 2sin 3 f xx B. 2sin 2 6 f xx C. 2sin 2 6 f xx D. 2sin 4 6 f xx 【答案】
4、B 8. 在 6 1 1x x 的展开式中，含 5 x项的系数为( ) A. 6 B. 6 C. 24 D. 24 【答案】B 9. 已知 2 tan4tan10 ，则 2 cos 4 （ ） A. 1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 5 【答案】C 10. 已知直线:330l mxym与圆 22 12xy交于 A，B 两点.且 A，B 在 x 轴同侧，过 A，B分别 做 x轴的垂线交 x轴于 C，D 两点，O是坐标原点，若| 3CD ，则AOB（ ） A. 6 B. 3 C. 2 D. 2 3 【答案】B 11. 已知三棱锥PABC的底面是正三角形，PAa，点A在侧面PBC内的射影
5、H是 PBC的垂心， 当三棱锥PABC体积最大值时，三棱锥PABC的外接球的表面积为（ ） A. 3 4 3a B. 2 3 a C. 3 3 2 a D. 2 12a 【答案】B 12. 设函数 2 ( )2f xxxlnx，若存在区间 1 , 2 a b ，使 ( )f x在a，b上的值域为 (2)k a ， (2)k b ，则k的取值范围是( ) A. 922 1, 4 ln B. 922 1, 4 ln C. 922 1, 10 ln D. 922 1, 10 ln 【答案】C 二二 填空题填空题(本大题共本大题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.) 13.
6、设 x，y满足约束条件 20 20 30 xy xy y ，则2zxy的最小值是_. 【答案】13 14. 已知函数( ) x f xe，过点(1,0)作曲线 ( )yf x 的切线 l，则直线 l与曲线( )yf x及 y 轴围成的图 形的面积为_. 【答案】 2 e1 15. 已如| 1,| 2ABBC，且 1,0AB BCAD DC ，则BD的最大值为_. 【答案】 37 2 16. 在平面上给定相异两点 A，B，设点 P 在同一平面上且满足 | | PA PB ，当0且1时，P点轨 迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.现有双曲线 22 2
7、2 1(0,0) xy ab ab ， 12 ,F F分别为双曲线的左右焦点，A，B 为双曲线虛轴的上下端点，动点 P 满足 | 2 | PB PA ， PAB 面积的最大值为 4.点 M，N 在双曲线上，且关于原点 O对称，Q 是双曲线上一点，直 线QM和QN的斜率满足 3 QMQN kk ， 则双曲线方程是_； 过 2 F的直线与双曲线右支交于 C， D 两点(其中 C点在第一象限)，设点MN分别为 12 CFF 12 DFF的内心，则MN的范围是 _. 【答案】 (1). 2 2 1 3 y x (2). 4 3 2,) 3 三三 解答题解答题(本大题共本大题共 6小题，共小题，共 70
8、 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.) 17. 设等差数列 n a的前 n 项和为 n S，首项 1 1a ，且 41 412SS.数列 n b的前 n 项和为 n T，且满足 11 1,21 nn bbT . （1）求数列 n a和 n b的通项公式； （2）求数列 n n a b 的前 n项和. 【答案】 （1）21 n an， 1 3n n b ； （2） 1 1 3 3 n n n T . 18. 如图 1，正方形ABCD，边长为a，,E F分别为,AD CD中点，现将正方形沿对角线AC折起，折起 过程中 D 点位置记为T，如图 2. （
9、1）求证：EFTB； （2）当60TAB 时，求平面ABC与平面BEF所成二面角的余弦值. 【答案】 （1）证明见解析； （2） 2 5 5 . 19. 2020 年 10月份黄山市某开发区一企业顺利开工复产， 该企业生产不同规格的一种产品， 根据检测标准， 其合格产品的质量 y(单位：g)与尺寸 x(单位：mm )之间近似满足关系式 b yc x (bc为大于 0的常数).按 照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间 , 9 7 e e 内时为优等品.现随机抽取 6件合格产品，测得数据 如下： 尺寸x mm 38 48 58 68 78 88 质量(g)y 16.8 18.8 20.7 2
10、2.4 24 25.5 质量与尺寸的比 y x 0.442 0.392 0.357 0.329 0.308 0.290 （1）现从抽取的 6 件合格产品中再任选 3 件，记为取到优等品的件数试求随机变量的分布列和期望； （2）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表： 6 1 lnln ii i xy 6 1 ln i i x 6 1 ln i i y 6 2 1 ln i i x 75.3 24.6 18.3 101.4 根据所给统计量，求 y关于 x 的回归方程； 已知优等品的收益 z(单位：千元)与 x，y 的关系为20.32zyx，则当优等品的尺寸 x为何值时，收益 z 的预报
11、值最大？(精确到 0.1) 附：对于样本,(1,2, ) ii v uin，其回归直线ub va的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 11 2 22 11 nn iiii ii nn ii ii vvuuvunvu b vvvnv ， a ubv ，2.7182e. 【答案】 （1）分布列答案见解析，数学期望 3 2 ； （2） 1 2 ye x ； 72.3 mm. 20. 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的长轴长是焦距的 2倍，且过点(2, 2). （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）点 P 是圆心在原点 O，半径为 22 ab 的圆 O上的一个动点，过点 P 作
12、椭圆的两条切线，且分别交 其圆 O于点 EF，求动弦EF长的取值范围. 【答案】 （1） 22 1 84 xy ； （2）4 3. 21. 已知函数 1 ( )1 x f xaex . （1）当aR时，讨论函数 ( )f x的单调性； （2）当0a时，若 ( )lnlng xxxa ，且( )( )f xg x在0 x时恒成立，求实数 a 的取值范围. 【答案】 （1）答案见解析； （2）1a 22. 在直角坐标系xoy中， 已知点 (2,0)M ， 曲线 1 C的参数方程为 cos sin xt yt (t为参数)， 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 0( 0) ，点 Q 是 1 C与 2 C的公共点. （1）当 0 3 时，求直线MQ的极坐标方程； （2）当 0 2 3 时，记直线MQ与曲线 1 C的另一个公共点为P，求| |MPMQ的值. 【答案】 （1）cos3 sin20； （2）3. 23. 已知函数 3 ( )|21| 2 f xxx，记( )f x最小值为 k. （1）求 k值； （2）若 a，b，c 为正数，且 222 1 abc kkk .求证： (2)(2)(2)(2)(2)(2) 2 aabbcc abc 【答案】 （1）2； （2）证明见解析.
