1、高考热点问题高考热点问题 2: :函数的零点问题函数的零点问题 函数的零点就是相应的方程的实根，函数的零点问题是函数的重要应用，这类问题综 合了函数、方程与不等式等重要知识，解决这类问题需要运用数形结合、等价转化、分类讨 论等重要数学思想方法，以及综合运用知识分析问题和解决问题的能力。 题题 6 6 画出图象画出图象 显示零点显示零点 已知偶函数满足： 当2x时，,),)(2()(Raxaxxf当)2 , 0 x时， ).2()(xxxf （1）求当2x时，)(xf的解析式； （2）若直线1y与函数)(xfy 的图象恰好有两个公共点，求实数a的取值范围； （3）讨论当实数ma,满足什么条件时，
2、函数mxfxg)()(有 4 个零点且这 4 个零点从 小到大依次成等差数列。 【问题特征】求函数的解析式；已知零点的性质求参数范围或满足的条件问题 【尝试解答】 【相关问题】 1.( 2018 年全国一卷第 9 题)已知函数 e0 ( ) ln0 x x f x xx ， ， ( )( )g xf xxa若 g （x）存在 2 个零点，则 a 的取值范围是（ ） A1，0） B0，+） C1，+） D1，+） 2.已知函数 2 2 (0), ( ) 1(0), x x f x xx 方程 22 ( )2 1|( )2 1| 240f xxf xxax 有 3 个根 123123 ,()x x
3、 x xxx，若 3221 2()xxxx，则实数_a 题题 7 7 实根分布实根分布 二次嫁接二次嫁接 已知函数( )| 2f xx xax， 若存在0,4a， 使得关于x的方程( )( )f xtf a有 3 个不等的实根，则实数t的取值范围是（ ） （A） 9 (1, ) 8 (B) 9 3 ( ,) 8 2 (C) 3 (1, ) 2 (D) 5 (1, ) 4 【问题特征】已知含参数的方程的根的个数，求参数范围问题 【尝试解答】 【相关问题】 已知a，b是实数，关于x的方程1 2 xbaxx有 4 个不同的实数根， 则ba 的取值范围为（ ） ( A), 2( (B)2 , 2( (
4、C)6 , 2( (D)2 ,( 题题 8 8 用零点式用零点式 避免规划避免规划 已知函数 2 ( )( ,)f xxaxb a bR在区间(0,1)内有两个零点，则3ab的取值范 围是_ 【问题特征】 已知二次函数在特定区间上的零点个数，求变量取值范围问题。 【尝试解答】 思路 1 利用二次函数的零点式及不等式性质 思路 2 利用一元二次方程实根的分布及线性规划思想 【相关问题】 已知函数 2 ( )( ,)f xxaxb a bR在区间(0,1)内有两个零点，则2ab的取值范 围是_ 题题 9 9 建立关系建立关系 赋予意义赋予意义 已知, a bR且01ab ，函数 2 f xxaxb
5、在 1 ,0 2 上至少存在一个零 点，则2ab的取值范围为_. 【问题特征】已知二次函数在特定区间上的零点的分布求变量的取值范围问题 【尝试解答】 思路 1 设函数( )f x的两零点为 1 , (0) 2 s tt ，利用01ab ，建立 2ab关 于t的不等式 思路 2 方程( )0f x 化为 2 xaxb ，利用函数 2 1 (0) 2 yxx的图象与直线 yaxb 有公共点，求出2ab的取值范围。 【相关问题】 设函数 2 ( )22f xaxbx，若存在实数 0 (0, )xt，使得对任意不为零的实数, a b均有 0 ()f xab成立，则t的取值范围是_ 题题 10 10 局
6、部固定局部固定 化难为易化难为易 已知函数 2 ( )( ,)f xxaxb a bR在(0,2)上有两个零点 12 ,x x，且 12 | 1xx， 则 2 3aab的取值范围是 _ 【问题特征】已知二次函数在特定区间上的零点的性质求变量的取值范围问题 【尝试解答】 思路 利用配方法求出上界，利用局部固定法求出下界 【相关问题】 若关于x 的方程 2 0(0)axbxcac有实数解，且 2222 ()()()abacbcrc，则r的最大值为_ 题题 1111 利用极端利用极端 发现整数发现整数 设函数 2 ( )2152f xxaxa的两个零点分别为 12 ,x x， 且在区间 12 ( ,
7、)x x上恰好有 两个正整数，则实数a的取值范围是 . 【问题特征】 已知含参数的二次函数的零点的性质，求参数的取值范围问题 【尝试解答】 思路 将方程变形，将已知条件几何化 【相关问题】 已知函数则使函数至少有一个整数零点的所有整 数a的值之和等于 （ ） (A)1 (B) 4 (C)6 (D)9 2 ( )(1 2 )3,f xaxa xa( )f x 题题 1212 运用对称运用对称 先分后合先分后合 记),(zyxM为 zyx, 三个数中的最小数，若二次函数 )0,()( 2 +=cbacbxaxxf有零点，则),( c ba b ac a cb M 的最大值为 . 【问题特征】二次函
8、数的零点与不等式的综合问题 【尝试解答】 思路 1 利用对称性、不等式性质、函数的单调性 思路 2 设1c，比较三数的大小，先分别求出目标函数取各数时的最大值再综合 【相关问题】 已知函数 2 ( )( ,)f xxaxb a bR在区间0,1上有零点，则ab的最大值是 题题 1313 缩小范围缩小范围 步步逼近步步逼近 已知二次函数 2 ( ), , ,f xaxbxc a b cN ,函数 ( )f x在 1 1 (, ) 4 4 上有两个零点， 则a b c 的最小值为（ ） （A）38 (B)39 (C)40 (D)41 【问题特征】二次函数的零点与不等式的综合问题 【尝试解答】 思路
9、 利用一元二次方程实根的分布、不等式性质 【相关问题】 设函数 2* ( )()f xaxbxc aN在(0,1)上有 2 个零点，且1,1cabc，求a 的最小值。 题题 1 14 4 变量代换变量代换 主元变换主元变换 已知函数 2 2 1 ( )( ,) mx f xxmxn m nR x 有零点，则 22 mn的取值范围是 _ 【问题特征】函数的零点的综合问题 【尝试解答】 思路 1 利用换元法及线性规划思想 思路 2 利用主元变换 【相关问题】 已知bayx,是实数，满足1 2 xxy，02 22 abxaxxy，则 22 4ba 的最小 值是_. 题题 1515 运用零点运用零点
10、数形结合数形结合 已知 2 ( )3 |2(4)1|f xaxxa x 的最小值为 2，则实数a的值为_ 【问题特征】已知含参数的函数的最值求参数的值问题 【尝试解答】 思路 运用函数 2 2(4)1yxa x的零点，将( )f x写成分段函数。 【相关问题】 （2018 年浙江诸暨高三适应性考试第 17 题）已知, ,(),a b cRac 关于x的方程 2 |xaxbcx恰有三个不等实根，且函数 2 ( ) |f xxaxbcx的最小值是 2 c，则 _ a c 函数的零点问题小结函数的零点问题小结 【方法回眸】 1.判断函数零点个数的常用方法： （1）直接法，令( )0f x ，解方程，
11、方程的实根个 数就是函数的零点个数； （2）利用零点存在定理，结合函数的图像与性质（如单调性、对称 性等） ； （3） 转化思想， 将方程( )0f x 进行适当变形， 转化为两函数图像的交点问题； （4） 利用导数。 2.已知含参数的函数的零点个数，求参数的值或取值范围的常用方法： （1）直接法，直 接根据题意建立关于参数的不等式，通过解不等式确定参数的取值范围； （2）分离参数法， 先将参数分离，转化为求函数的最值（或极值）问题； （3）换元法，如转化为一元二次方程 的实根分布问题； （4）利用对称性； （5）利用导数。 【巩固升华】 1.设函数 2 ( )f xxbxc，若方程( )f
12、xx无实根，则方程( ( )f f xx（ ） A.有 4 个相异实根 B.有 2 个相异实根 C.有 1 个实根 D.无实根 2.设函数 2 , ,R0f xaxbxc a b ca且，则“0 2 b ff a ”是“ f x与 ff x都恰有两个零 点”的（ ） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 3. 设 定 义 域 为R的 函 数 2 | l g| ,0 , ( ) 2 ,0, x x f x xx x 若 关 于x的 函 数 2 2( )2( ) 1yfxbf x有 8 个零点，则实数b的取值范围是_ 4.已知 321 ,xxx是函数 xx x xaxxf ln ln)( 2 三个不同的零点，且 321 xxx，设 )3 , 2 , 1( ln 1i x x M i i i ，则 32 2 1 MMM_ 5.已知函数 11 ( ) |f xxmxa xmx 有 6 个不同的零点，且所有零点之和为 3， 则a的取值范围为_
