1、第第 4 讲讲 转化与化归思想转化与化归思想 思想概述 转化与化归思想方法适用于在研究、 解决数学问题时， 思维受阻或试图寻求简单 方法或从一种情形转化到另一种情形，也就是转化到另一种情形使问题得到解决，这种转化 是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式 方法一 特殊与一般的转化 一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一 般思路；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成 批处理问题的效果；对于某些选择题、填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问 题答案 例 1 (1)(2020 青岛模拟)“蒙日圆”涉及几何学中的
2、一个著名定理，该定理的内容为：椭圆 上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭 圆 C： x2 a1 y2 a1(a0)的离心率为 1 2，则椭圆 C 的蒙日圆的方程为( ) Ax2y29 Bx2y27 Cx2y25 Dx2y24 答案 B 解析 因为椭圆 C： x2 a1 y2 a1(a0)的离心率为 1 2， 所以 1 a1 1 2，解得 a3， 所以椭圆 C 的方程为x 2 4 y2 31， 所以椭圆的上顶点 A(0， 3)，右顶点 B(2,0)， 所以经过 A，B 两点的切线方程分别为 y 3，x2， 所以两条切线的交点坐标为(2， 3)， 又过
3、A，B 的切线互相垂直， 由题意知交点必在一个与椭圆 C 同心的圆上，可得圆的半径 r22 32 7， 所以椭圆 C 的蒙日圆方程为 x2y27. (2)在ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 若 a， b， c 成等差数列， 则 cos Acos C 1cos Acos C 等于( ) A.4 5 B. 1 5 C. 3 5 D. 2 5 思路分析 求 cos Acos C 1cos Acos C考虑正三角形 ABC 的情况 答案 A 解析 令 abc，则ABC 为等边三角形，且 cos Acos C1 2，代入所求式子，得 cos Acos C 1cos Ac
4、os C 1 2 1 2 11 2 1 2 4 5. 一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的 高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果. 方法二 命题的等价转化 将题目已知条件或结论进行转化，使深奥的问题浅显化、繁杂的问题简单化，让题目得 以解决一般包括数与形的转化、正与反的转化、常量与变量的转化、图形形体及位置的转 化 例 2 (1)由命题“存在 x0R，使 0 1 e x m0”是假命题，得 m 的取值范围是(，a)， 则实数 a 的值是( ) A(，1) B(，2) C1 D2 思路分析 命题：存在 x0R，使 0 1 e x m0 是
5、假命题任意 xR，e|x 1|m0 是真命题 m0”是真命题，可得 m 的取值范围是(，1)，而(，a)与(，1)为同一区间， 故 a1. (2)若对于任意 t1,2，函数 g(x)x3 m 22 x 22x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数 m 的取值范围是_ 思路分析 gx在t，3上总不为单调函数先看 gx在t，3上单调的条件补集法求 m 的 取值范围 答案 37 3 ，5 解析 g(x)3x2(m4)x2，若 g(x)在区间(t,3)上为单调函数，则g(x)0 在(t,3)上恒 成立， 或g(x)0 在(t,3)上恒成立 由得 3x2(m4)x20， 即 m42 x3x 在 x(
6、t,3)上恒成立， 所以 m42 t3t 恒成立，则 m41， 即 m5； 由得 m42 x3x 在 x(t,3)上恒成立， 则 m42 39，即 m 37 3 . 所以使函数 g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的 m 的取值范围为37 3 m0 和 f(x)0 的解集 例 3 (2020 全国)若 2x2y0 Bln(yx1)0 Dln|xy|0 答案 A 解析 2x2y3 x3y， 2x3 x2y3y. y2x3 x2x 1 3 x在 R 上单调递增， x1， ln(yx1)ln 10. 例 4 已知函数 f(x)eln x，g(x)1 ef(x)(x1)(e2.718) (1)求函
7、数 g(x)的极大值； (2)求证：11 2 1 3 1 nln(n1)(nN *) 思路分析 gx的极值ln x0) 令 g(x)0，解得 0 x1； 令 g(x)1. 函数 g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减， g(x)极大值g(1)2. (2)证明 由(1)知 x1 是函数 g(x)的极大值点，也是最大值点， g(x)g(1)2， 即 ln x(x1)2ln xx1(当且仅当 x1 时等号成立)， 令 tx1，得 tln(t1)(t1) 取 t1 n(nN *)时， 则1 nln 11 n ln n1 n ， 1ln 2，1 2ln 3 2， 1 3ln 4 3， 1 nln n1 n ， 叠加得 11 2 1 3 1 nln 23 2 4 3 n1 n ln(n1) 即 11 2 1 3 1 nln(n1)(nN *) 借助函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最 值值域问题，从而求出参变量的范围.
