1、高二数学试题 第页 （共4页） 试卷类型:A 高 二 年 级 考 试 数学试题 注意事项: 1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、 考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、 单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. 抛物线x2= 1 4 y的准线方程为 A.y = - 1 16 B.y = -1C.
2、x = - 1 16 D.x = -1 2. 已知m是直线l的方向向量， n是平面的法向量， 则能使l/的是 A.m = (1,2,1),n = (1,0,1) B.m = (0,1,0 ),n = (0,3,0 ) C.m =(1,-2,3)，n= （-2， 2， 2）D.m = (0,2,1),n=(-1,0,-1) 3. 已知双曲线C:x2- y2 6 = 1， 则 A. 双曲线C的焦距为7 B. 双曲线C的虚轴长是实轴长的6倍 C. 双曲线 y2 6 - x2= 1与双曲线C的渐近线相同 D. 直线y = 3x与双曲线C有公共点 4. 以点(3， -1)为圆心， 且与直线x - 3y
3、+ 4 = 0相切的圆的方程是 A.(x - 3) 2 + (y + 1)2= 20 B.(x - 3) 2 + (y + 1)2= 10 C.(x + 3) 2 + (y - 1)2= 10 D.(x + 3) 2 + (y - 1)2= 20 5. 如图， 在四面体OABC中， OA = a , OB = b , OC = c.点M在OA上,且OM = 2MA,N为BC中点,则 MN = A. 1 2 a - 2 3 b + 1 2 cB.- 2 3 a + 1 2 b + 1 2 c C. 1 2 a + 1 2 b - 1 2 cD. 2 3 a + 2 3 b - 1 2 c 202
4、1.1 1 高二数学试题 第页 （共4页） 6. 已知在四棱锥P-ABCD中， AB = (4, - 2,3)， AD = (-4,1,0 )， AP = (-6,2, - 8)， 则点P到底 面ABCD的距离为 A. 26 13 B. 26 26 C. 1D. 2 7. 已知数列 an满足a1= 2,an= 1 - 1 an - 1 (n 2 )， 则a2021= A.-1B.- 1 2 C. 1 2 D. 2 8. 已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1， F2， P， Q分别是它们的在第一象限和第三象限的交 点， 且QF2P = 60， 记椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2， 则 3 e2
5、1 + 1 e2 2 = A.4B.23C. 2D. 3 二、 多项选择题： 本题共4小题， 每小题5分， 共20分。在每小题给出的选项中， 有多项符 合题目要求。全部选对的得5分， 有选错的得0分， 部分选对的得3分。 9.点P在圆C1:x2+ y2= 1上,点Q在圆C2:x2+ y2- 6x + 8y + 24 = 0上， 则 A.|PQ|的最小值为0 B. |PQ|的最大值为7 C. 两个圆心所在直线的斜率为- 4 3 D. 两个圆的公共弦所在直线的方程为6x8y250 10. 如图， 在四棱锥P-ABCD中， 底面ABCD是正方形，PA 底面ABCD， PA=AB， 截面BDE 与直线
6、PC平行， 与PA交于点E， 则下列判断正确的是 A. E为PA的中点 B. PB与CD所成的角为 3 C. BD平面PAC D. 三棱锥C-BDE与四棱锥P-ABCD的体积之比等于1 4 11. 已知等差数列 an的前n项和为Sn， 且2a1+ 4a3= S7， 则下列 结论正确的是 A.a14= 0B.S14最小C.S11= S16D.S27= 0 12. 在平面直角坐标系xOy中， 已知双曲线C： x2 a2 - y2 b2 = 1(a 0,b 0 )的离心率为 5 2 ， 抛 物线y2= 45 x的准线过双曲线C的左焦点， A， B分别是双曲线C的左， 右顶点， 点P 是双曲线C的右支
7、上位于第一象限的动点， 记PA， PB的斜率分别为k1， k2， 则下列说法 正确的是 A. 双曲线C的渐近线方程为y = 2xB. 双曲线C的方程为 x2 4 - y2= 1 C. k1k2为定值 1 4 D. 存在点P， 使得k1+k22 2 高二数学试题 第页 （共4页） 三、 填空题： 本题共 4小题， 每小题5分， 共20 分。 13. 设直线l1:ax + 3y + 12 = 0,直线l2:x + (a - 2 )y + 4 = 0.当a =时，l1 l2. 14. 已知a = (1,1,0 )，b = (-1,0,2 )， 且ka + b与2 a - b的夹角为钝角， 则实数k的
8、取值范围 为. 15. 以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A， B两点， 交C的准线于D， E两点. 已知|AB|= 42， |DE|=25， 则抛物线C的焦点到准线的距离是. 16. 在我国古代著名的数学专著 九章算术 里有一段叙述：“今有良马与驽马发长安至齐， 齐去长安一千一百二十五里， 良马初日行一百零三里， 日增十三里； 驽马初日行九十七 里， 日减半里； 良马先至齐， 复还迎驽马， 二马相逢” . 问： 良马与驽马日相逢? （用数字作答） 四、 解答题： 本题共6小题， 共 70 分。解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 17.（10分） 已知直线l过点P(3 , - 1)， 且
9、其倾斜角是直线y = -3 x + 1的倾斜角的 1 2. （1） 求直线l的方程； （2） 若直线m与直线l平行， 且点P到直线m的距离是3， 求直线m的方程. 18. (12分) 已知圆C的圆心在直线y = -2x上， 且过点 （2， -1） ，（0， -3） (1)求圆C的方程； (2)已知直线l经过原点， 且被圆C截得的弦长为2， 求直线l的方程. 19. (12分) 在S4= 20,S3= 2a3,3a3- a4= b2这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中， 并 作答. 问题： 已知等差数列 an的前n项和为Sn，bn是各项均为正数的等比数列，a1= b4， ，b2= 8,b1-
10、 3b3= 4， 是否存在正整数k， 使得数列 1 Sn的前k项和Tk 3 4?若存在， 求k 的最小值； 若不存在， 说明理由. 注： 如果选择多个条件分别解答， 按第一个解答计分. 20.（12分） 如图， 在三棱锥P-ABC中，AB = BC = 22，PA = PB = PC = AC = 4， O为AC的中点. （1） 证明：PO 平面ABC； （2） 若点M在棱BC上， 且二面角M-PA-C为30， 求直线PC与平面PAM所成角的正弦 值. 3 高二数学试题 第页 （共4页） 21. ( 12分) “绿水青山就是金山银山” 是时任浙江省委书记习近平同志于2005年8月15日在浙江
11、湖州安吉考察时提出的科学论断， 2017年10月18日， 该理论写入中共19大报告， 为响应 总书记号召， 我国某西部地区进行沙漠治理， 该地区有土地1万平方公里， 其中70%是沙 漠， 从今年起， 该地区进行绿化改造， 每年把原有沙漠的16%改造为绿洲， 同时原有绿洲 的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠， 设从今年起第n年绿洲面积为an万平方公里. (1)求第n年绿洲面积an与上一年绿洲面积an - 1（n 2） 的关系； (2)判断 an- 4 5 是否是等比数列， 并说明理由； (3)至少经过几年， 绿洲面积可超过60%？(lg20. 3010) 22. (12分) 已知椭圆C： x2 a2
12、+ y2 b2 = 1(a b 0 )的离心率为 2 2 ， 且点(-1, 2 2 )在椭圆C上. （1） 求椭圆C的方程； （2） 设动直线l过椭圆C的右焦点F， 且与椭圆C交于A， B两点. 在x轴上是否存在定点 Q， 使得 QA QB = - 7 16 恒成立？若存在， 求点Q的坐标； 若不存在， 请说明理由. 4 高二数学试题参考答案 第页 （共6页） 高 二 年 级 考 试 数学试题参考答案及评分标准 一、 单项选择题： 题号 答案 1 A 2 C 3 C 4 B 5 B 6 D 7 C 8 A 二、 多项选择题： 题号 答案 9 BC 10 ACD 11 ACD 12 BCD 三、
13、 填空题： 13. 3 2 14.k 0 )， (2 - a )2+ (-1 + 2a )2= r2 (0 - a )2+ (-3 + 2a )2= r2 3分 解得a = 1,r =2 圆C的方程为(x - 1)2+ (y + 2 )2= 2.6分 2021.1 1 高二数学试题参考答案 第页 （共6页） （2） 当直线l 的斜率不存在时， 直线l的方程为x=0, 此时,直线l被圆C截得的弦长为2， 满足题意.8分 当直线l 的斜率存在时， 设直线l的方程为y=kx， 圆心C到直线l的距离d =r2- 1 = 1, |k + 2 1 + k2 = 1，10分 解得k = - 3 4 , 直线
14、l的方程为y = - 3 4 x. 综上所述，直线l的方程为x = 0或y = - 3 4 x.12分 19. (12分) 解： 设数列bn的公比为q(q 0 ),则 b1q = 8 b1- 3b1q2= 4 整理得6q2+ q - 2 = 0, 解得q = 1 2 或q = - 2 3 （舍去） . b1= 16 a1= b4= 24分 方案一： 选条件 设数列 an的公差为d， 则 S4= 4a1+ 4 3 2 d = 20, 解得d = 26分 Sn= 2n + n(n - 1) 2 2 = n2+ n，8分 1 Sn = 1 n(n + 1) = 1 n - 1 n + 1， Tk=
15、1 S1 + 1 S2 + + 1 Sk = 1 - 1 2 + 1 2 - 1 3 + + 1 k - 1 k + 1 = 1 - 1 k + 1 10分 令1 - 1 k + 1 3 4 ,解得k 3, k N* k的最小值为412分 2 高二数学试题参考答案 第页 （共6页） 方案二： 选条件 设数列 an的公差为d， 则 3a1+ 3 2 2 d = 2(a1+ 2d ), 解得d = 26分 下同方案一. 方案三： 选条件 设数列 an的公差为d， 则 3(a1+ 2d ) - (a1+ 3d ) = 8, 解得d = 4 3 6分 Sn= 2n + n(n - 1) 2 4 3 =
16、 2n(n + 2 ) 3 ，8分 1 Sn = 3 2 1 n(n + 2 ) = 3 4 ( 1 n - 1 n + 2 ), Tk= 3 4 (1 - 1 3 + 1 2 - 1 4 + + 1 k - 1 - 1 k + 1 + 1 k - 1 k + 2 )8分 = 3 4 (1 + 1 2 - 1 k + 1 - 1 k + 2 ) = 9 8 - 3 4 ( 1 k + 1 + 1 k + 2 )，10分 令Tk 3 4 ,整理得k2- k - 4 0 解得k 1 +17 2 或k 3 5 ( 4 5 )n - 1 2 5 （n-1） lg4 5 lg 2 5 lg 4 5 =
17、lg2 - lg5 2lg2 - lg5 = 2lg2 - 1 3lg2 - 1 = 0.398 0.097 4.1 n5.1 至少经过6年， 绿洲面积可超过60%.12分 22.(12分) 解：（1） e = 2 2 ， a2=b2+c2, a =2 b,2分 椭圆C的方程为 x2 2b2 + y2 b2 = 1， 将 （-1, 2 2 ） 代入方程， 解得b=1， a=2， 椭圆C的方程为 x2 2 + y2= 14分 （2） 假设在x轴上存在点Q满足题意， 设Q （m,0） ，A(x1,y1),B(x2,y2). 5 高二数学试题参考答案 第页 （共6页） 当直线l的斜率存在时， 设为k
18、,则直线l的方程为y = k(x - 1) 由 y = k(x - 1) x2 2 + y2= 1 得(2k2+ 1)x2- 4k2x + 2k2-2=0 x1+ x2= 4k2 2k2+ 1 x1x2= 2k2- 2 2k2+ 1 6分 又 QA = (x1- m,y1), QB = (x2- m,y2) QA QB = (x1- m )(x2- m ) + y1y2 =x1x2- m(x1+ x2) + m2+ k2(x1- 1)(x2- 1) =x1x2- m(x1+ x2) + m2+ k2x1x2- k2(x1+ x2) + k2 =(1 + k2)x1x2- (m + k2)(x1
19、+ x2) + m2+ k2 =(1 + k2) 2k2- 2 2k2+ 1 - (m + k2) 4k2 2k2+ 1 + m2+ k2 = (2m2- 4m + 1)k2+ m2- 2 2k2+ 1 = - 7 16 8分 整理得(32m2- 64m + 30 )k2= 25 - 16m2 上式对任意k值恒成立， 32m 2 - 64m + 30 = 0 25 - 16m2= 0 解得m = 5 4 10分 当直线l的斜率不存在时，A(1, 2 2 ),B(1, - 2 2 ), QA = (1 - m, 2 2 ), QB = (1 - m, - 2 2 ) QA QB = (1 - m )2- 1 2 = m2- 2m + 1 2 = - 7 16 整理得16m2- 32m + 15 = 0 解得m = 5 4 或m = 3 4. 综上所述,在x轴上存在定点Q （5 4,0） ， 使得 QA QB = - 7 16 恒成立.12分 6
