1、第 1 页（共 11 页） 2020-2021 学年天津市河西区高二（上）期末数学试卷学年天津市河西区高二（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 9 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 36 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （4 分）数列 1， 2 2 ，1 2， 2 4 ，1 4，的一个通项公式为（ ） A( 1 2) ;1 B( 2 2 ) C(1)( 2 2 );1 D(1):1( 2 2 );1 2 （4 分）设函数 f（x）x21，当自变量 x 由 1 变到 1.1 时，
2、函数的平均变化率是（ ） A2.1 B0.21 C1.21 D12.1 3 （4 分）已知数列an满足 a12，= 2 1 1，则 a5（ ） A6 5 B7 6 C5 4 D5 6 4 （4 分） 记 Sn为等差数列an的前 n 项和 若 a4+a524， S648， 则an的公差为 （ ） A1 B2 C4 D8 5 （4 分）已知函数 yf（x） ，其导函数 yf（x）的图象如图，则对于函数 yf（x）的描 述正确的是（ ） A在（，0）上为减函数 B在 x0 处取得最大值 C在（4，+）上为减函数 D在 x2 处取得最小值 6 （4 分）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题： “远望巍
3、巍塔七层，红光点点倍 加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且 相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（ ） A1 盏 B3 盏 C5 盏 D9 盏 7 （4 分）函数 ye 2x+1cos（x2+x）的导数为（ ） Aye 2x+12sin（x2x）+（2x1）cos（x2x） Bye 2x+12cos（x2x）+（2x1）sin（x2x） 第 2 页（共 11 页） Cye 2x+12sin（x2x）+（2x1）cos（x2x） Dye 2x+12cos（x2x）+（2x1）sin（x2x） 8 （4 分）已知等比数列的
4、首项为1，前 n 项和为 Sn，若10 5 = 31 32，则公比 q（ ） A1 2 B 1 2 C2 D2 9 （4 分）已知函数 f（x）= ，1 1 4 + 1， 1，g（x）ax，则方程 g（x）f（x）恰有两 个不同的实根时，实数 a 的取值范围是（ ） （注：e 为自然对数的底数） A(0， 1 ) B1 4 ， 1 ) C(0， 1 4 D(1 4，) 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分.请将答案填在题中横线上请将答案填在题中横线上. 10 （5 分）在等差数列an中，Sn为其前 n 项的和，若 S412，S84
5、0，则 S16 11 （5 分）函数() = ，其导函数为函数 f（x） ，则 f（e） 12 （5 分）已知数列an的通项公式= 1 2+，Sn 为其前 n 项的和，则 S99 13 （5 分）函数 f（x）3xx3的单调增区间为 14 （5 分）已知数列an的通项公式为= 3 217，前 n 项和为 Sn，则 Sn 取得最小值时 n 的值为 15 （5 分）将一个边长为 6 的正方形铁片的四角截去四个边长为 x 的小正方形，做成一个 无盖方盒当方盒的容积 V 取得最大值时，x 的值为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 3 小题，共小题，共 34 分分.解答应写出文字说明，证明过程或
6、演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16已知函数 f（x）= 1 3x 34x+4 （1）求函数 f（x）的极值； （2）求函数 f（x）在0，3上的最大值和最小值 17已知函数 f（x）exln（x+2） （1）求 f（x）在（0，f（0） ）处的切线方程； （2）求证：f（x）0 18对于数列an、bn，Sn为数列an的前 n 项和，且 Sn+1（n+1）Sn+an+n，a1b1 1，bn+13bn+2，nN* （1）求数列an、bn的通项公式； 第 3 页（共 11 页） （2）令 cn= 2(+) (+1)，求数列cn的前 n 项和 Tn 第 4 页（共 11 页） 20
7、20-2021 学年天津市河西区高二（上）期末数学试卷学年天津市河西区高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 9 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 36 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （4 分）数列 1， 2 2 ，1 2， 2 4 ，1 4，的一个通项公式为（ ） A( 1 2) ;1 B( 2 2 ) C(1)( 2 2 );1 D(1):1( 2 2 );1 【解答】解：依题意，数列an的符号正负项间隔出现，故符号为（1）n+1，
8、且每项为 （ 2 2 ）n 1， 故数列an的一个通项公式为 an（1）n+1 （ 2 2 ）n 1， 故选：D 2 （4 分）设函数 f（x）x21，当自变量 x 由 1 变到 1.1 时，函数的平均变化率是（ ） A2.1 B0.21 C1.21 D12.1 【解答】解：x1.110.1， y1.121（121）0.21 所以函数的平均变化率为(1.1);(1) 1.1;1 = 0.21 0.1 = 2.1 故选：A 3 （4 分）已知数列an满足 a12，= 2 1 1，则 a5（ ） A6 5 B7 6 C5 4 D5 6 【解答】解：a12，= 2 1 1， a22 1 2 = 3
9、2，a32 1 3 2 = 4 3，a42 1 4 3 = 5 4，a52 1 5 4 = 6 5， 故选：A 4 （4 分） 记 Sn为等差数列an的前 n 项和 若 a4+a524， S648， 则an的公差为 （ ） A1 B2 C4 D8 【解答】解：Sn为等差数列an的前 n 项和，a4+a524，S648， 第 5 页（共 11 页） 1+ 3 + 1+ 4 = 24 61+ 65 2 = 48 ， 解得 a12，d4， an的公差为 4 故选：C 5 （4 分）已知函数 yf（x） ，其导函数 yf（x）的图象如图，则对于函数 yf（x）的描 述正确的是（ ） A在（，0）上为减
10、函数 B在 x0 处取得最大值 C在（4，+）上为减函数 D在 x2 处取得最小值 【解答】解：当 0 x2 或 x4 时，f（x）0，故函数 f（x）在（0，2） ， （4，+） 上单调递减， 当 2x4 或 x0 时，f（x）0，故函数 f（x）在（2，4） （，0）上单调递增， 当 x0 或 x4 时函数取的极大值， 函数 f（x）最大值为，maxf（0） ，f（4）， 无最小值， 故选：C 6 （4 分）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题： “远望巍巍塔七层，红光点点倍 加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且 相邻两层中的下一层灯数是上
11、一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（ ） A1 盏 B3 盏 C5 盏 D9 盏 【解答】解：设塔的顶层共有 a1盏灯， 则数列an公比为 2 的等比数列， S7= 1(127) 12 =381， 解得 a13 故选：B 第 6 页（共 11 页） 7 （4 分）函数 ye 2x+1cos（x2+x）的导数为（ ） Aye 2x+12sin（x2x）+（2x1）cos（x2x） Bye 2x+12cos（x2x）+（2x1）sin（x2x） Cye 2x+12sin（x2x）+（2x1）cos（x2x） Dye 2x+12cos（x2x）+（2x1）sin（x2x） 【解答】解：因为函数 y
12、e 2x+1cos（x2+x） ， 所以 y（e 2x+1）cos（x2+x）+e2x+1cos（x2+x） 2e 2x+1cos（x2+x）e2x+1sin（x2+x） （2x+1） e 2x+12cos（x2x）+（2x1）sin（x2x） 故选：B 8 （4 分）已知等比数列的首项为1，前 n 项和为 Sn，若10 5 = 31 32，则公比 q（ ） A1 2 B 1 2 C2 D2 【解答】解：an是等比数列，由数列前 n 项和的定义及等比数列通项公式得， S10（a1+a2+a5）+（a6+a7+a10）S5+q5（a1+a2+a5）（1+q5）S5， 10 5 = 1 + 5=
13、31 32， 解得 q= 1 2， 故选：B 9 （4 分）已知函数 f（x）= ，1 1 4 + 1， 1，g（x）ax，则方程 g（x）f（x）恰有两 个不同的实根时，实数 a 的取值范围是（ ） （注：e 为自然对数的底数） A(0， 1 ) B1 4 ， 1 ) C(0， 1 4 D(1 4，) 【解答】解：作出 f（x）与 g（x）的函数图象，如图所示： 设直线 yax 与 ylnx 相切，切点坐标为（x0，y0） ， 则 0= 0 0= 0 1 0 = ，解得 x0e，y01，a= 1 由图象可知当1 4 a 1 时，两图象有 2 个交点， 故选：B 第 7 页（共 11 页） 二
14、、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分.请将答案填在题中横线上请将答案填在题中横线上. 10 （5 分）在等差数列an中，Sn为其前 n 项的和，若 S412，S840，则 S16 144 【解答】解：在等差数列an中，Sn为其前 n 项的和，S412，S840， 由等比数列的性质得： S4，S8S4，S12S8，S16S12是等差数列， 且首项为 12，公差为 d（4012）1216， S12S8（4012）+1644，S1244+4084， S16S1244+1660， S1660+84144 故答案为：144 11 （5 分）函
15、数() = ，其导函数为函数 f（x） ，则 f（e） 0 【解答】解：f（x）= 1 2 = 1 2 ， f（e）= 1 2 = 0 故答案为：0 12 （5 分）已知数列an的通项公式= 1 2+，Sn 为其前 n 项的和，则 S99 99 100 【解答】解：数列an的通项公式= 1 2+ = 1 1 +1， 所以= 1 1 2 + 1 2 1 3 + + 1 1 +1 = 1 1 +1 = +1， 故99= 99 99+1 = 99 100 故答案为： 99 100 13 （5 分）函数 f（x）3xx3的单调增区间为 （1，1） 第 8 页（共 11 页） 【解答】解：函数 f（x）
16、3xx3的导数为 f（x）33x2， 令 f（x）0，即有 x21， 解得，1x1 则增区间为（1，1） 故答案为： （1，1） 14 （5 分）已知数列an的通项公式为= 3 217，前 n 项和为 Sn，则 Sn 取得最小值时 n 的值为 8 【解答】解：数列an的通项公式为= 3 217， 根据数列的通项公式， 当 n1， 2， ， 8， 9 时， 1= 2 15 = 2 15， 2 = 1 13 = 1 13， a30， 4 = 1 9， ， 8 = 5 1 = 5， a96， 所以，数列的各项的特点呈现先减后增， 故当 n8 时，S8取得最小值 故答案为：8 15 （5 分）将一个边
17、长为 6 的正方形铁片的四角截去四个边长为 x 的小正方形，做成一个 无盖方盒当方盒的容积 V 取得最大值时，x 的值为 1 【解答】解：设无盖方盒的底面边长为 a，则 a62x， 则无盖方盒的容积为：V（x）x（62x）2， 得 V（x）12x248x+36， 令 V（x）12x248x+360， 解得 x1 或 x3； 令 V（x）12x248x+360，解得 1x3， 函数 V（x）的定义域为 x（0，3） ， 函数 V（x）的单调增区间是： （0，1） ， 函数 V（x）的单调减区间是： （1，3） ， 令 V（x）12x248x+360， 得 x1 或 x3（舍） ，并求得 V（1）
18、16， 由 V（x）的单调性知，16 为 V（x）的最大值， 故截去的小正方形的边长 x 为 1m 时，无盖方盒的容积最大， 第 9 页（共 11 页） 故答案为：1 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 3 小题，共小题，共 34 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16已知函数 f（x）= 1 3x 34x+4 （1）求函数 f（x）的极值； （2）求函数 f（x）在0，3上的最大值和最小值 【解答】解： （1）依题意，得 f（x）x24，2 令 f（x）0，得 x2，或 x24 当 x2 或 x2 时，f（x）0，当2x2 时，f（x
19、）0， f（x）在（，2）和（2，+）上是增函数，在（2，2）上是减函数， 8 f（x）在 x2 处取得极大值，并且极大值为 f（2）= 28 3 ，在 x2 处取得极小值， 并且极小值为 f（2）= 4 310 （2）由（1）可知，f（x）在0，3上，当 x2 时，f（x）有极小值 4 3， 11 又f（0）4，f（3）1，12 函数 f（x）在0，3上的最大值是 4，最小值是 4 3 14 17已知函数 f（x）exln（x+2） （1）求 f（x）在（0，f（0） ）处的切线方程； （2）求证：f（x）0 【解答】解： （1）f（x）exln（x+2） ， f（x）ex 1 +2，f（0
20、）= 1 2，f（0）1ln2， 故切线方程是：y1+ln2= 1 2x， 即 y= 1 2x+1ln2； （2）证明：函数 f（x）的定义域是（2，+） ， f（x）ex 1 +2，f（x）e x+1 (+2)2 0， 故 f（x）在（2，+）单调递增， 第 10 页（共 11 页） 而 f（0）= 1 2，f（1）= 1 10， 故存在 x0（1，0） ，使得 f（x0）0， 故0= 1 0+2，x0ln（x0+2） ， 故 f（x）在（2，x0）递减，在（x0，+）递增， 故 f（x）minf（x0）= 0ln（x0+2）= 1 0+2 +x0+22220， 故原命题得证 18对于数列a
21、n、bn，Sn为数列an的前 n 项和，且 Sn+1（n+1）Sn+an+n，a1b1 1，bn+13bn+2，nN* （1）求数列an、bn的通项公式； （2）令 cn= 2(+) (+1)，求数列cn的前 n 项和 Tn 【解答】解： （1）由 Sn+1（n+1）Sn+an+n， Sn+1Snan+2n+1， an+1an2n+1， a2a121+1， a3a222+1， a4a323+1， anan12（n1）+1，n2， 以上各式相加可得：ana12（1+2+3+n1）+（n1） ， an2 (1+1)(1) 2 +（n1）+1n2，n2， ann2，n2， 当 n1 时，a11 显然
22、成立，故 ann2，nN*； bn+13bn+2，即 bn+1+13（bn+1） ， b1+12， 数列bn+1是以 2 为首项，以 3 为公比的等比数列， bn+123n 1， bn23n 11； 第 11 页（共 11 页） （2）由（1）可知：cn= 2(+) (+1) = 2(2+1) (2311+1) = +1 31， Tnc1+c2+cn= 2 30 + 3 31 + 4 32 + + +1 31， 1 3Tn= 2 3 + 3 32 + 4 33 + + +1 3 ， 2 3Tn2+ 1 3 + 1 32 + 1 33 + + 1 31 +1 3 ， 2+ 1 3 1 3 11 3 +1 3 ， = 5 2 2+5 23， Tn= 15 4 2+5 431， 数列cn的前 n 项和 Tn，Tn= 15 4 2+5 431
