1、湖南省联考联合体湖南省联考联合体 2021 届高三上学期届高三上学期 12 月联考月联考 数学试卷数学试卷 考生注意：考生注意： 1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分考试时间 120 分钟 2请将各题答案填写在答题卡上 3本试卷主要考试内容：解答题按新高考范围，小题只考集合，函数，导数，三角函数，向量，不等 式，数列，立体几何 第卷第卷 一一、选择题：本大题共选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的要求的 1已知集合10Ax x ， 2
2、 280Bx xx，则 R AB （ ） A21xxvs B41xx C2x x D4x x 2棱长为 2 的正四面体的表面积是（ ） A3 B2 3 C3 3 D4 3 3已知函数 2 22,0 ( ) 1,0 x x f x xx ，若( )2f a ，则a（ ） A2 B1 C2 或1 D1 或1 4明朝早期，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海，形成了 一套先进航海技术“过洋牵星术” 简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运 行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断方位其采用的主要工具是牵星板，由 12 块正方形木板 组成，最小的一块边
3、长约 2 厘米（称一指） ，木板的长度从小到大依次成等差数列，最大的边长约 24 厘 米（称十二指）观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂伸直，眼睛到木板的距离大约为 72 厘米， 使牵星板与海平面垂直，让板的下缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰，依高低不同替换、调整 木板，当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可 以推算出船在海中的地理纬度 如图所示， 若在一次观测中， 所用的牵星板为六指板， 则tan2（ ） A 12 35 B 1 6 C 12 37 D 1 3 5已知abc，下列不等式不一定成立的是（ ） A 2 acbabbc B 22
4、 11 ab cc C 2 abcacbc D 2 bac 6在平行四边形 ABCD 中，点 E，F 分别为线段 BC，AB 的中点，直线 AE 与直线 DF 交于点 P，则 | | AP PE （ ） A 2 5 B 2 3 C 3 2 D 5 2 7已知等差数列 n a和 n b的前 n 项和分别为 n S和 n T，且 638 1 n n Sn Tn ，则使得 k k a b 为整数的正整数 k 的个数是（ ） A3 B4 C5 D6 8已知函数( )f x是定义在 R 上的奇函数，其导函数为( )fx，且对任意实数 x 都有( )( )1f xfx，则 不等式e( )e1 xx f x
5、 的解集为（ ） A(,0) B(0,) C(,1) D(1,) 二、 选择题： 本大题共二、 选择题： 本大题共 4 小题， 每小题小题， 每小题 5 分， 共分， 共 20 分 在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求 全分 在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求 全 部选对的得部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9下列函数中是奇函数，且值域为 R 的有（ ） A 3 ( )f xx B 1 ( )f xx x C( )sinf xxx D 5 ( )f xx 10设数列 n a的前 n 项和为 n S， 1 1a ，
6、且23 nn Sam，则（ ） A1m B n a是等差数列 C 1 3n n a D 31 2 n n S 11设函数 sin ( ) sin x f x xx ，则下列结论正确的有（ ） A( )f x的图象关于原点对称 B(1)f x的图象关于直线1x对称 C( )0f x D 1 ( ) 2 f x 12如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，点 E 在棱 1 DD上，且 1 2DEED，F 是线段 1 BB上一动点， 则下列结论正确的有（ ） AEFAC B存在一点 F，使得 1 /AE C F C三棱锥 1 DAEF的体积与点 F 的位置无关 D直线 1 AA与平面 AEF
7、 所成角的正弦值的最小值为 3 10 10 第卷第卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上分把答案填在答题卡中的横线上 13已知向量( ,3)am，(1, 2)b ，且()abb，则m_ 14 在三棱柱 111 ABCABC中，BC 平面 11 ABB A，四边形 11 ABB A是正方形，且ABBC，E 在棱 1 AA 上，且 1 3AEAE，则异面直线 1 AC与 BE 所成角的余弦值为_ 15已知0a ，0b，且 12 1 ab ，则2abab的最小值是_ 16已知函数( )432 x f x ，若函
8、数 22 ( ) ( )2( )1g xf xmf xm有 4 个零点，则 m 的取值范围 是_ 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）在递增的等比数列 n a中， 3 9a ， 24 30aa （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 32 log nn ba，求数列 n b的前 n 项和 n S 18 （12 分）在(cossin)cAAb，sincos2cB bCb，sintancos2sinBCBA这三 个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答 问题：
9、 在ABC中， 角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 已知 3 cos 5 B ，ABC的面积是 56， 且_， 求ABC的周长 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 19 （12 分）随着社会经济的发展，人们生活水平的不断提高，越来越多的人选择投资“黄金”作为理财手 段 下面随机抽取了 100 名把黄金作为理财产品的投资人， 根据他们的年龄情况分为20,30)，30,40)， 40,50)，50,60)，60,70五组，得到如图所示的频率分布直方图 （1）估计把黄金作为理财产品的投资人年龄的中位数； （结果保留整数） （2） 为了进一步了解该 100 名投资人投资黄金的具体额
10、度情况， 按照分层抽样的方法从年龄在40,50) 和60,70)的投资人中随机抽取了 5 人，再从这 5 人中随机抽取 3 人进行调查，X 表示这 3 人中年 龄在40,50)的人数，求 X 的分布列及数学期望 20 （12 分） 菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 E，8BD，6AC ， 将A C D沿 AC 折到PAC 的 位置，使得4PD ，如图所示 （1）证明：PBAC； （2）求平面 PAB 与平面 PCD 所成锐二面角的余弦值 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，点 3 1, 2 P 在椭圆 C
11、 上， 且 12 PFF的面积为 3 2 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若椭圆 C 上存在 A，B 两点关于直线1xmy对称，求 m 的取值范围 22 （12 分）已知函数 2 ( )e2 ax f xxx的图象在点(0,1)处的切线方程为1y （1）证明： 2 ( )1f xx （ 2 ） 若 0 x是( )f x的 极 值 点 ， 且 0 0 x 若 12 f xf x， 且 21 0 xx 证 明 ： 120 ln2ln22xxx 高三数学试卷参考答案高三数学试卷参考答案 1A 因为24Bx xx或，所以 R 24Bxx 因为1Ax x，所以 R 21ABxx 2D 棱长为 2
12、的正四面体的表面积是 1 424 14 3 2 3C 当0a 时，( )222 a f a ，解得 2a； 当0a时， 2 ( )12f aa ，解得1a 综上，2a 或1a 4A 由题知六指为 12 厘米，则 121 tan 726 ， 则 2 1 2 2tan12 6 tan2 1 1tan35 1 36 5D 2 ()()()()()acbabbca cbb bcabcb 因为abc，所以0ab，0c b ， 所以()()0ab cb， 则 2 acbabbc一定成立，排除 A； 因为ab，且 2 10c ， 所以 22 11 ab cc 一定成立，排除 B； 因为 2 ()()()()
13、()0abcacbcb acc caac bc， 所以 2 abcacbc一定成立，排除 C； 当3a ， 5 2 b ，1c 时， 2 bac； 当3a ， 3 2 b ，1c 时， 2 bac， 则 2 bac不一定成立 6B 如图，因为 P，D，F 三点共线， 所以 1 (1)(1) 2 APAFADABAD 因为点 E 为线段 BC 的中点，所以 11 22 BEBCAD， 则 1 2 AEABBEABAD 因为 A，P，E 三点共线，所以AEkAP， 所以 1 1 2 1 (1) 2 k k ，解得 5 2 k ， 故 |2 |3 AP PE 7C 因为 121 2 k k aa a
14、 ，所以 21 21 k k S a k 同理可得 21 21 k k T b k ，则 21 21 6(21)3816 6 (21) 1 kk kk aSk bTkk 当1,2,4,8,16k 时， k k a b 为整数，即满足条件的 k 的个数为 5 8B 设( )e ( ) 1 x g xf x，则( )e( )e( )e xxx g xf xfx 因为( )( )1f xfx，所以e( )e( )e xxx f xfx， 即e( )e( )e0 xxx f xfx，故( )g x在 R 上单调递增 因为( )f x是定义在 R 上的奇函数， 所以(0)0f，所以(0)1g ， 不等式
15、e( )e1 xx f x ，即( )(0)g xg，则0 x 9AC 由题意可得 3 ( )f xx和( )sinf xxx都是奇函数， 且值域为 R， 1 ( )f xx x 是奇函数， 但值域为(, 22,) ， 5 ( )f xx是奇函数， 但值域为(,0)(0,) 10ACD 当1n 时， 111 223Saam 因为 1 1a ，所以1m，则231 nn Sa 当2n时， 11 231 nn Sa ， 所以 111 222323233 nnnnnnn aSSaaaa ， 即 1 3 nn aa ，即 1 3 n n a a ， 则数列 n a是首项为 1，公比为 3 的等比数列，
16、故 1 3n n a ， 31 2 n n S 11BD 因为 sin ( ) sin x f x xx ， 所以 sin()sin ()( ) sin()sin xx fxf x xxxx ，所以( )f x为偶函数， 则( )f x的图象关于 y 轴对称，故 A 错误 因为( )f x的图象关于 y 轴对称， 所以(1)f x的图象关于直线1x对称，故 B 正确 当 3 2 x 时，sin10 x ， 所以sin0 xx，则( )0f x ，故 C 错误 设( )sin (0)g xxx x，则( )1 cos0g xx ， 从而( )g x在(0,)上单调递增 因为(0)0g，所以( )
17、0g x ， 即sinxx，所以sin2sinxxx 当0 x时，,sin0 xx，所以 sin1 sin2 x xx 因为( )f x是偶函数，所以 1 ( ) 2 f x ，故 D 正确 12ABC 如图，连接 BD 易证AC 平面 BDEF，则ACEF，故 A 正确 在 1 AA上取一点 H，使得 1 2AHAH， 连接 1 EC，EH， 1 HB，易证四边形 11 BC EH为平行四边形， 则 11 /C E B H， 11 C EB H 若 1 2BFB F，易证四边形 1 AHB F为平行四边形， 则 1 /AF B H， 1 AFB H， 从而 1 /AF C E， 1 AFC
18、E， 故四边形 1 AEC F为平行四边形， 于是 1 /AE C F，故 B 正确 设ABa，三棱锥 1 DAEF的体积与三棱锥 1 FAD E的体积相等， 则 11 3 112 3239 DAEFFAD E aa VVa a ， 即三棱锥 1 DAEF的体积与正方体的棱长有关，与点 F 的位置无关，故 C 正确 以 1 C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 1 Cxyz， 设3AB，则(3,3,3)A， 1(3,3,0) A，(3,0,2)E，(0,3, )Ft， 从而1(0,0, 3)AA ，(0, 3, 1)AE ，( 3,0,3)AFt 设平面 AEF 的法向量( , , )nx
19、y z， 则 30 3(3)0 n AEyz n AFxtz ， 令3z ，得(3, 1, 3) nt， 从而 1 1 2 1 3 cos, |(3)10 AA n AA n AAnt ， 即直线 1 AA与平面 AEF 所成角的正弦值为 2 3 (3)10t 因为03t ，所以 2 10(3)1019t， 所以 2 3 1933 10 1910 (3)10t ，故 D 错误 131 由题意可得(1,1)abm 因为()abb，所以1 20m ，解得1m 14 3 15 如图，取 11 AC的四等分点 F（点 F 靠近 1 A） ， 连接 EF，BF易证 1/ / ACEF， 则BEF为异面直
20、线 1 AC与 BE 所成的角 设 11 4AB ，则5BE ，3EF ，26BF ， 故 325263 cos 152 53 BEF 1516 因为 12 1 ab ，所以2abab， 所以22242ababababab 1228 (42 )816 ba ab abab ， 当且仅当2a ，4b时，等号成立 16(3,4) 22 ( ) ( )2( )10g xf xmf xm ， 即 ( )(1) ( )(1)0f xmf xm， 解得( )1f xm或( )1f xm 由( )f x的图象（图略）可得 215 215 m m ， 解得34m，即 m 的取值范围是(3,4) 17解： （1
21、）由题意可得 2 31 3 2411 9 30 1 aa q aaa qa q q ， 解得 1 1a ，3q 故 11 1 3 nn n aa q （2）由（1）可得 21 2 3 n n a ，则 32 log21 nn ban， 故 2 (121) 1 3521 2 n nn Snn 18解：若选，因为(cossin)cAAb， 所以sin(cossin)sinCAAB， 又ABC，所以sinsin()BAC， 所以sincossinsinsincoscossinCACAACAC， 即sinsinsincosCAAC 因为sin0A，所以sincosCC， 即tan1C ，因为0C，所以
22、 4 C 因为 3 cos 5 B ，所以 4 sin 5 B ， 所以 42327 2 sinsin() 525210 ABC， 所以: :sin:sin:sin7:4 2:5a b cABC， 不妨设7at，4 2bt，5ct， 则ABC的面积为 12 74 256 22 tt，解得2t ， 从而14a ，8 2b ，10c ， 故ABC的周长为14 8 2 1024 8 2abc 若选，因为sincos2cBbCb， 所以sinsinsincos2sinCBBCB， 因为0B，所以sin0B， 所以sincos2CC， 所以2sin2 4 C ，即sin1 4 C 因为0C，所以 5 4
23、44 C ，所以 4 C 以下步骤同 若选， 因为sintancos2sinBCBA， 所以sincossincos2sincosBCCBAC， 所以sin()2sincosBCAC 因为ABC，所以BCA， 所以sin()sin2sincosBCAAC， 因为0A，所以sin0A，所以 2 cos 2 C 因为0C，所以 4 C 以下步骤同 19解： （1）因为(0.0070.018) 100.250.5， (0.0070.00180.030) 100.550.5， 所以年龄的中位数在40,50)内 设中位数为 m，则 40 0.30.250.5 10 m ， 解得48m （2）由题意可知，
24、100 名投资人中，年龄在40,50)的有 30 名，年龄在60,70)的有 20 名， 则利用分层抽样抽取的 5 人中，年龄在40,50)的有 3 名，在60,70)的有 2 名， 则 X 的可能取值为 1，2，3， 12 32 3 5 3 (1) 10 C C P X C ， 21 32 3 5 3 (2) 5 C C P X C ， 30 32 3 5 1 (3) 10 C C P X C ， X 的分布列为 X 1 2 3 P 3 10 3 5 1 10 故 3319 ()123 105105 E X 20 （1）证明：因为 ABCD 是菱形，所以ACBD， 则BEAC，PEAC， 因
25、为BE 平面 PBE，PE 平面 PBE， 且BEPEE，所以AC 平面 PBE 因为PB 平面 PBE，所以PBAC （2）解：取 DE 的中点 O，连接 OP，取 CD 的中点 F，连接 OF， 因为8BD，所以4DEPE 因为4PD ，所以PDPE，所以PODE， 由（1）可知AC 平面 PBE， 所以平面PBD 平面 ABCD，则PO平面 ABCD 故以 O 为坐标原点，以OF，OD，OP的方向分别为 x，y，z 轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz 由题中数据可得( 3, 2,0)A ，(0, 6,0)B，(3, 2,0)C，(0,2,0)D，(0,0,2 3)P，
26、 则(3, 4,0)ABDC，(0,6,2 3)BP ，(0, 2,2 3)DP ， 设平面 PAB 的法向量为 111 ,mx y z， 则 11 11 340 62 30 m ABxy m BPyz ， 令4x，得(4,3, 3 3)m 设平面 PCD 的法向量为 222 ,nxy z， 则 22 22 340 22 30 n DCxy n DPyz ， 令4x，得(4,3, 3)n ， 设平面 PAB 与平面 PCD 所成的锐二面角为， 则 222222 4 43 3 3 334 91 cos |91 43( 3 3)43( 3) m n m n 21解： （1）由题意可得 22 222
27、 13 1 4 33 22 ab c cab ，解得2a ，1b 故椭圆 C 的标准方程为 2 2 1 4 x y （2）设 11 ,A x y， 22 ,B x y，线段 AB 的中点为 00 ,M xy， 因为直线1xmy过定点(1,0)， 所以 22 22 1122 11xyxy 因为 A，B 在椭圆上，所以 2 2 1 1 1 4 x y， 2 2 2 2 1 4 x y， 所以 22 22 12 12 1111 44 xx xx ， 整理得 22 12 1212 2 4 xx xxxx ， 所以 12 8 3 xx，所以 0 4 3 x 因为点 M 在直线1xmy上， 所以 00 1
28、xmy，则 0 1 3 y m 由 2 2 1 4 4 3 x y x ，得 5 3 y ， 则 51 0 33m 或 15 0 33m ， 解得 5 5 m 或 5 5 m 故 m 的取值范围为 55 , 55 22证明： （1）因为 2 ( )e2 ax f xxx， 所以( )e22 ax fxax，则(0)20fa， 解得2a ，故 22 ( )e2 x f xxx 令 22 ( )( )e2 x g xf xxx，则 2 ( )2e2 x g x 由( )0g x，得1x ；由( )0g x，得1x ( )g x在(,0)上单调递减，在(0,)上单调递增， 故( )(0)1g xg，
29、即 2 ( )1f xx （2）由（1）可知 22 ( )e2 x f xxx， 则 2 ( )2e22 x fxx 设 2 ( )( )2e22 x h xfxx，则 2 ( )4e2 x h x 由( )0h x，得 ln2 2 x ； 由( )0h x，得 ln2 2 x ( )h x在 ln2 , 2 上单调递减，在 ln2 , 2 上单调递增， 即( )fx在 ln2 , 2 上单调递减，在 ln2 , 2 上单调递增， min ln2 ( )ln2 1 2 fxf 因为 2 2 ( 1)0 e f， ln2 ln2 10 2 f ， 所以 0 ln2 1, 2 x ，使得 0 0f
30、x，即 0 2 0 e1 x x 因为(0)0 f ，所以由( )0fx， 得 0 0 xx，则( )f x在 0,0 x上单调递减 设 0 ( )2( )xfxxf x 0 2422 000 ee4444 xxx x xxxx ， 则 0 242 0 ( )2e2e44 xxx xx 设 0 242 0 ( )( )2e2e44 xxx m xxx ， 则 0 242 ( )4e4e xxx m x ， 因为 0 0m x，且( )m x是减函数， 所以当 0 xx时，( )0m x， 当 0 xx时，( )0m x， 所以( )m x在 0 ,x上单调递增，在 0,0 x上单调递减， 即(
31、 )x在 0 ,x上单调递增，在 0,0 x上单调递减 因为 0 2 0000 4e4441440 x xxxx， 所以( )0 x，则( )x在(,0)上单调递减， 因为 0 0 x，所以 1 0 x， 即 011 20fxxf x，即 011 2fxxf x 因为 12 f xf x，所以 012 2fxxf x 因为 201 0 xxx，所以 010 2xxx， 20 xx， 且( )f x在 0 ,x上单调递增， 所以 012 2xxx，即 012 2xxx， 因为 0 2 00 2e220 x fxx， 所以 0 2 0 2e22 x x，所以 0 2 12 2e2 x xx， 所以 120 ln2ln22xxx
