1、高三数学寒假作业高三数学寒假作业 1 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1设 i 是虚数单位，则复数 12i+3i24i3等于（ ） A26i B2+2i C4+2i D46i 2已知集合 Ax|x240，Bx|x20，则（RA）B 等于（ ） A （，2） B2，2 C （2，2） D2，2） 3 “m3”是“函数 f（x）xm为实数集 R 上的奇函数”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分
2、又不必要条件 4在区间0，上随机取一个实数 x，使得 sinx0，1 2的概率为（ ） A1 B2 C1 3 D2 3 5将函数() = (2 + 3)的图象向右平移 个单位，得到的图象关于原点对称，则 的最小正值为（ ） A 6 B 3 C5 12 D7 12 6已知某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ） A12 B24 C36 D48 7直线 x+my+10 与不等式组 + 3 0 2 0 2 0 表示的平面区域有公共点，则实数 m 的取值 范围是（ ） A1 3， 4 3 B 4 3， 1 3 C3 4，3 D3， 3 4 8 （理）已知圆心为 O，半径为 1 的圆上有不同的三个点
3、A、B、C，其中 = 0，存 在实数 ， 满足 + + = 0 ，则实数 ， 的关系为（ ） A2+21 B1 + 1 = 1 C1 D+1 9已知抛物线 y28x 的准线与双曲线 2 2 2 2 =1（a0，b0）相交于 A、B 两点，双曲 线的一条渐近线方程是 y= 43 3 x，点 F 是抛物线的焦点，且FAB 是等边三角形，则该 双曲线的标准方程是（ ） A 2 36 2 6 =1 B 2 16 2 3 =1 C 2 6 2 32 =1 D 2 3 2 16 =1 10对于函数 f（x）aexx，若存在实数 m、n，使得 f（x）0 的解集为m，n（mn） ， 则实数 a 的取值范围是
4、（ ） A （，0）（0，1 ） B （，0）（0，1 C （0，1 ） D （0，1 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分，把答案填在题中横线上分，把答案填在题中横线上 11为了解某校教师使用多媒体辅助教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校 200 名授课教师中抽取 20 名教师，调查了解他们上学期使用多媒体辅助教学的次数，结果用 茎叶图表示（如图） ，据此可估计该校上学期 200 名教师中，使用多媒体辅助教学不少于 30 次的教师人数为 12执行如图所示的程序，则输出的结果为 13等差数列an中，a46，则 2a1a5+a1
5、1 14已知 a，b 为正实数，直线 x+y+a0 与圆（xb）2+（y1）22 相切，则 2 的取值 范围是 15对于函数 f（x）= 1+|，给出下列结论： 等式 f（x）+f（x）0 在 xR 时恒成立； 函数 f（x）的值域为（1，1） 函数 g（x）f（x）x 在 R 上有三个零点； 若 x1x2，则(1)(2) 12 0 若 x1x2，则(1)+(2) 2 (1+2 2 ) 其中所有正确结论的序号为 三、解答题：三、解答题： 16（12分） 在ABC中， 角A， B， C所对的边分别为a， b， c， f （x） sin2xcosB2cos2xsinB+sinB， xR，函数 f（
6、x）的图象关于直线 = 5 12对称 （）当 0， 2时，求函数 f（x）的最大值并求相应的 x 的值； （）若 b3 且 + = 23 3 ，求ABC 的面积 17 （12 分）PM2.5 是指空气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物） 为 了探究车流量与 PM2.5 的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量 与 PM2.5 的数据如下表： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 车流量 x（万辆） 50 51 54 57 58 PM2.5 的浓度 y（微克/立方米） 69 70 74 78 79 （）根据上表数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方
7、程 = + ； （）若周六同一时间段车流量是 25 万辆，试根据（）求出的线性回归方程预测，此 时 PM2.5 的浓度为多少（保留整数）？ （参考公式： = 5 =1 ()() 5 =1 ()2 ， = + ，参考数据： 5 =1 = 270， 5 =1 = 370） 18 （12 分）已知数列an和bn对任意的 nN*满足12= 3，若数列an是等比 数列，且 a11，b2b1+2 （）求数列an和bn的通项公式； （）设 cn= 1 1 ( )，求数列cn的前 n 项和 Sn 19 （13 分）如图，在多面体 ABCA1B1C1中，四边形 ABB1A1是正方形，A1CB 是等边 三角形，A
8、CAB1，B1C1BC，BC2B1C1 （）求证：AB1平面 A1C1C （）求多面体 ABCA1B1C1的体积 高三数学寒假作业高三数学寒假作业 1（答案解析）（答案解析） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1设 i 是虚数单位，则复数 12i+3i24i3等于（ ） A26i B2+2i C4+2i D46i 【解答】解：复数 12i+3i24i3复数 12i3+4i2+2i 故选：B 2已知集合 Ax|x240，Bx
9、|x20，则（RA）B 等于（ ） A （，2） B2，2 C （2，2） D2，2） 【解答】解：由 A 中的不等式得：x240，得到 x2 或 x2， A（，2）（2，+） ， 由 x20，解得 x2， B（，2） ， 全集 UR， UA2，2， （UA）B2，2） 故选：D 3 “m3”是“函数 f（x）xm为实数集 R 上的奇函数”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 【解答】解：当 m3 时，函数 f（x）x3为奇函数，满足条件 当 m1 时，函数 f（x）x 为奇函数，但 m3 不成立， 故“m3”是“函数 f（x）xm为实数集 R 上的
10、奇函数”的充分不必要条件， 故选：A 4在区间0，上随机取一个实数 x，使得 sinx0，1 2的概率为（ ） A1 B2 C1 3 D2 3 【解答】解：在区间0，上，当 0， 6 5 6 ，时， 0， 1 2，由几何概型 知，符合条件的概率为 6+ 6 = 1 3 故选：C 5将函数() = (2 + 3)的图象向右平移 个单位，得到的图象关于原点对称，则 的最小正值为（ ） A 6 B 3 C5 12 D7 12 【解答】解：将函数() = (2 + 3)的图象向右平移 个单位，得到的图象对应的函 数解析式为 ysin2（x）+ 3sin（2x+ 3 2） ， 再根据所得函数的图象关于原
11、点对称，可得 3 2k，kz，即 = 6 2 ，则 的最 小正值为 6， 故选：A 6已知某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ） A12 B24 C36 D48 【解答】解：三视图复原的几何体是底面为边长 4、3 的矩形，高为 3 的棱锥，高所在棱 垂直底面矩形的一个得到， 所以棱锥的体积为：1 3 4 3 3 =12 故选：A 7直线 x+my+10 与不等式组 + 3 0 2 0 2 0 表示的平面区域有公共点，则实数 m 的取值 范围是（ ） A1 3， 4 3 B 4 3， 1 3 C3 4，3 D3， 3 4 【解答】解：即直线 x+my+10 过定点 D（1，0） 作出不等式组
12、对应的平面区域如图： 当 m0 时，直线为 x1，此时直线和平面区域没有公共点， 故 m0，x+my+10 的斜截式方程为 y= 1 x 1 ， 斜率 k= 1 ， 要使直线和平面区域有公共点，则直线 x+my+10 的斜率 k0， 即 k= 1 0，即 m0，满足 kCDkkAB， 此时 AB 的斜率 kAB2， 由 + 3 = 0 2 = 0 解得 = 2 = 1，即 C（2，1） ， CD 的斜率 kCD= 01 12 = 1 3， 由2 = 0 2 = 0 ，解得 = 2 = 4，即 A（2，4） ， AD 的斜率 kAD= 40 2(1) = 4 3， 即4 3 k 1 3， 则4
13、3 1 1 3， 解得3m 3 4， 故选：D 8 （理）已知圆心为 O，半径为 1 的圆上有不同的三个点 A、B、C，其中 = 0，存 在实数 ， 满足 + + = 0 ，则实数 ， 的关系为（ ） A2+21 B1 + 1 = 1 C1 D+1 【解答】解：由题意可得| | | |1，且 = 0 + + = 0 ，即 = ，平方可得 12+2， 故选：A 9已知抛物线 y28x 的准线与双曲线 2 2 2 2 =1（a0，b0）相交于 A、B 两点，双曲 线的一条渐近线方程是 y= 43 3 x，点 F 是抛物线的焦点，且FAB 是等边三角形，则该 双曲线的标准方程是（ ） A 2 36
14、2 6 =1 B 2 16 2 3 =1 C 2 6 2 32 =1 D 2 3 2 16 =1 【解答】解：由题意可得抛物线 y28x 的准线为 x2，焦点坐标是（2，0） ， 又抛物线 y28x 的准线与双曲线 2 2 2 2 =1 相交于 A， B 两点， 又FAB 是等边三角形， 则有 A，B 两点关于 x 轴对称，横坐标是2，纵坐标是 4tan30与4tan30， 将坐标（2，43 3 ）代入双曲线方程得 4 2 16 32 =1， 又双曲线的一条渐近线方程是 y= 43 3 x，得 = 43 3 ， 由解得 a= 3，b4 所以双曲线的方程是 2 3 2 16 =1 故选：D 10
15、对于函数 f（x）aexx，若存在实数 m、n，使得 f（x）0 的解集为m，n（mn） ， 则实数 a 的取值范围是（ ） A （，0）（0，1 ） B （，0）（0，1 C （0，1 ） D （0，1 【解答】解：aexx（e 是自然对数的底数） ，转化为 a ， 令 y= ， 则 y= 2 ，令 y0，可得 x1， 当 x1 时，y0，函数 y 递减；当 x1 时，y0，函数 y 递增 则当 x1 时函数 y 取得最大值1 ， 由于存在实数 m、n，使得 f（x）0 的解集为m，n， 则由右边函数 y= 的图象可得 a 的取值范围为（0， 1 ） 故选：C 二、填空题：本大题共二、填空题
16、：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分，把答案填在题中横线上分，把答案填在题中横线上 11为了解某校教师使用多媒体辅助教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校 200 名授课教师中抽取 20 名教师，调查了解他们上学期使用多媒体辅助教学的次数，结果用 茎叶图表示（如图） ，据此可估计该校上学期 200 名教师中，使用多媒体辅助教学不少于 30 次的教师人数为 90 【解答】解：根据题意，得； 样本容量为 20 时，使用多媒体辅助教学不少于 30 次的教师人数为 9，频率为 9 20； 由此估计该校上学期 200 名教师中，使用多媒体辅助教学不少于 30 次的教师
17、人数为 200 9 20 =90 故答案为：90 12执行如图所示的程序，则输出的结果为 24 【解答】解：第一次执行循环体后，z2，满足继续循环的条件，x2，y4； 再次执行循环体后，z6，满足继续循环的条件，x5，y7； 再次执行循环体后，z12，满足继续循环的条件，x8，y10； 再次执行循环体后，z18，满足继续循环的条件，x11，y13； 再次执行循环体后，z24，不满足继续循环的条件， 故输出的结果为：24， 故答案为：24 13等差数列an中，a46，则 2a1a5+a11 12 【解答】解：等差数列an中，a46， a1+3d6， 则 2a1a5+a112a1（a1+4d）+a
18、1+10d2（a1+3d）12 故填 12 14已知 a，b 为正实数，直线 x+y+a0 与圆（xb）2+（y1）22 相切，则 2 的取值 范围是 （0，+） 【解答】解：直线 x+y+a0 与圆（xb）2+（y1）22 相切， 圆心到直线的距离 d= |+1+| 2 = 2， 即|a+b+1|2， a+b1，或 a+b3 a，b 为正实数 a+b3（舍去） ， 即 b1a， 0a1，0b1， 2 = 2 1， 构造函数 f（a）= 2 1， （0a1） ， 则 f（a）= 2(1)+2 (1)2 = 22 (1)2， 当 0a1 时，2aa20，即 f（a）0， f（a）在（0，1）上是
19、增函数， 0f（a）1， 则 2 的取值范围是（0，+） 故答案为： （0，+） 15对于函数 f（x）= 1+|，给出下列结论： 等式 f（x）+f（x）0 在 xR 时恒成立； 函数 f（x）的值域为（1，1） 函数 g（x）f（x）x 在 R 上有三个零点； 若 x1x2，则(1)(2) 12 0 若 x1x2，则(1)+(2) 2 (1+2 2 ) 其中所有正确结论的序号为 【解答】解：f（x）= 1+|，f（x）= 1+|； 故等式 f（x）+f（x）0 在 xR 时恒成立，故成立； f（x）= 1+| = 1 1 1+， 0 1 + 1 1，0 ， 故1f（x）1， 故函数 f（x
20、）的值域为（1，1） ，故成立； g（x）f（x）x= 2 1+， 0 2 1，0 ， 故函数 g（x）f（x）x 在 R 上有一个零点，故不成立； f（x）= 1+| = 1 1 1+， 0 1 + 1 1，0 ， 故可判断 f（x）在 R 上是增函数， 故若 x1x2，则(1)(2) 12 0， 故成立； 作函数 f（x）= 1+| = 1 1 1+， 0 1 + 1 1，0 的图象如下， 若 0 x1x2，则(1)+(2) 2 (1+2 2 )， 若 x1x20，则(1)+(2) 2 f（1+2 2 ） 故不成立 故答案为： 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共
21、 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16（12分） 在ABC中， 角A， B， C所对的边分别为a， b， c， f （x） sin2xcosB2cos2xsinB+sinB， xR，函数 f（x）的图象关于直线 = 5 12对称 （）当 0， 2时，求函数 f（x）的最大值并求相应的 x 的值； （）若 b3 且 + = 23 3 ，求ABC 的面积 【解答】解：f（x）sin2xcosB2cos2xsinB+sinBsin2xcosB（1+cos2x）sinB+sinB sin（2xB） （） 由函数 f （x） 的图象关于直线 =
22、 5 12对称， 知2 5 12 = + 2， 解得 Bk+ 3 （kZ） ， 又 B（0，） ，当 k0 时，B= 3； 当 0， 2时， 3 2 3 2 3 ， 于是当2 3 = 2，即 x= 5 12时，函数 f（x）的最大值为 1； （）由正弦定理得 = = = + + = 3 3 2 = 23， 又 + = 23 3 ，得 + = 23 23 3 = 4， 由余弦定理得 b2a2+c22accosBa2+c2ac（a+c）23ac， 解得 ac= 7 3， 于是ABC 的面积为1 2 = 1 2 7 3 3 2 = 73 12 17 （12 分）PM2.5 是指空气中直径小于或等于
23、2.5 微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物） 为 了探究车流量与 PM2.5 的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量 与 PM2.5 的数据如下表： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 车流量 x（万辆） 50 51 54 57 58 PM2.5 的浓度 y（微克/立方米） 69 70 74 78 79 （）根据上表数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 = + ； （）若周六同一时间段车流量是 25 万辆，试根据（）求出的线性回归方程预测，此 时 PM2.5 的浓度为多少（保留整数）？ （参考公式： = 5 =1 ()() 5 =1 ()2 ， = + ，参考数据
24、： 5 =1 = 270， 5 =1 = 370） 【解答】 解： （） 由条件可知 = 1 5 （50+51+54+57+58） 54， = 1 5 （69+70+74+78+79） 74 5 =1 ( )( ) =45+34+34+4564， 5 =1 ( )2=50， = 64 50 =1.28， =741.28544.88， 故 y 关于 x 的线性回归方程是： =1.28x+4.88； （）当 x25 时， =1.2825+4.8836.8837， 可以预测此时 PM2.5 的浓度约为 37 18 （12 分）已知数列an和bn对任意的 nN*满足12= 3，若数列an是等比 数列，
25、且 a11，b2b1+2 （）求数列an和bn的通项公式； （）设 cn= 1 1 ( )，求数列cn的前 n 项和 Sn 【解答】解： （）由条件可知1= 311=1，解得 b11， b2b1+23 a1a2= 322=3，解得 a23， 又数列an是等比数列，则公比为2 1 =3， 于是 an3n 1， 又12= 3=30+1+2+ +（n1）= 3(1) 2 ， bnn= (1) 2 ， 解得 bn= (+1) 2 （）由题意得 cn= 1 1 = 1 31 2 (+1) = 1 31 2(1 1 +1)， Sn= 1 1 31 11 3 2(1 1 2) + ( 1 2 1 3) +
26、+ ( 1 1 +1) = 3 2 (1 1 3) 2(1 1 +1) = 2 +1 1 231 1 2 19 （13 分）如图，在多面体 ABCA1B1C1中，四边形 ABB1A1是正方形，A1CB 是等边 三角形，ACAB1，B1C1BC，BC2B1C1 （）求证：AB1平面 A1C1C （）求多面体 ABCA1B1C1的体积 【解答】 （）证明：取 BC 的中点 E，连接 AE，C1E，B1E B1C1BC，B1C1= 1 2BC，B1C1EC，B1C1EC 四边形 CEB1C1为平行四边形，B1EC1C C1C面 A1C1C，B1E面 A1C1C，B1E面 A1C1C B1C1BC，B
27、1C1= 1 2BC，B1C1BE，B1C1BE 四边形 BB1C1E 为平行四边形，B1BC1E，且 B1BC1E 又ABB1A1是正方形，A1AC1E，且 A1AC1E AEC1A1为平行四边形，AEA1C1， A1C1面 A1C1C，AE面 A1C1C，AE面 A1C1C AEB1EE，面 B1AE面 A1C1C AB1面 B1AE，AB1面 A1C1C； （）在正方形 ABB1A1中，AB1= 2，又A1BC 是等边三角形， A1CBC= 2， AC2+AA12A1C2，AB2+AC2BC2， 于是 AA1AC，ACAB， 又 AA1AB，AA1平面 ABC， AA1CE， 又 CEAE，AEAA1A， CE平面 AEC1A1， 于是多面体 ABCA1B1C1是由直三棱柱 ABEA1B1C1和四棱锥 CAEC1A1组成的 又直三棱柱 ABEA1B1C1的体积为1 2 (1 2 1 1) 1 = 1 4， 四棱锥 CAEC1A1的体积为1 3 2 2 1 2 2 = 1 6， 故多面体 ABCA1B1C1的体积为1 4 + 1 6 = 5 12
