1、高三数学寒假作业高三数学寒假作业 1818 一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知 为第四象限角， = 5 13，则 sin（ ） A 12 13 B 5 13 C 5 13 D12 13 2已知 x，yR，集合 = *1，2+， = *，+， = *1 2+，则 xy（ ） A1 B 1 2 C1 2 D1 3已知抛物线 x24y 的焦点为 F，点 P 在抛物线上且横坐标为 4，则|PF|（ ） A2 B3 C5 D6 4十项全能是由跑、跳、投等 10 个田径项目组成的综合性男子比赛项目，按
2、照国际田径联 合会制定的田径运动全能评分表计分， 然后将各个单项的得分相加， 总分多者为优胜 下 面是某次全能比赛中甲、乙两名运动员的各个单项得分的雷达图下列说法错误的是 （ ） A在 100 米项目中，甲的得分比乙高 B在跳高和标枪项目中，甲、乙的得分基本相同 C甲的各项得分比乙更均衡 D甲的总分高于乙的总分 5已知函数() = 2 + 2 1， 1 | 1|，1 ，若 f（a24）f（3a） ，则实数 a 的取值范围 是（ ） A （4，1） B （，4）（1，+） C （1，4） D （，1）（4，+） 6任何一个复数 za+bi（其中 a，bR，i 为虚数单位）都可以表示成 zr（co
3、s+isin） （其中 r0，R）的形式，通常称之为复数 z 的三角形式法国数学家棣莫弗发现： r（cos+isinnrn（cosn+isinn） （nN+） ，我们称这个结论为棣莫弗定理由棣莫弗 定理可知， “n 为偶数”是“复数( 4 + 4) 为纯虚数”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7已知点 A，B，C 均在半径为2的圆上，若|AB|2，则 的最大值为（ ） A3 + 22 B2 + 22 C4 D2 8在三棱锥 PABC 中，AB2，ACBC，若该三棱锥的体积为2 3，则其外接球表面积的 最小值为（ ） A5 B49 12 C64 9
4、 D25 4 二、多项选择题二、多项选择题. 9已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩 X 服从正态分布 N（100，100） ，其中 90 分为及格线，120 分为优秀线，下列说法正确的是（ ） 附：随机变量 服从正态分布 N（u，2） ，则 P（u+）0.6826，P（2 +2）0.9544，P（u3+3）0.9974 A该市学生数学成绩的期望为 100 B该市学生数学成绩的标准差为 100 C该市学生数学成绩及格率超过 0.8 D该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等 10已知圆锥的顶点为 P，母线长为 2，底面半径为3，A，B 为底面圆周上两个动点，则 下列说法正确的是（
5、 ） A圆锥的高为 1 B三角形 PAB 为等腰三角形 C三角形 PAB 面积的最大值为3 D直线 PA 与圆锥底面所成角的大小为 6 11已知实数 x，y，z 满足 = = 1 ，则下列关系式中可能成立的是（ ） Axyz Bxzy Czxy Dzyx 12已知函数 f（x）sin（x+） （其中，0，| 2） ，f（ 8）0，f（x）|( 3 8 )| 恒成立，且 f（x）区间( 12， 24)上单调，则下列说法正确的是（ ） A存在 ，使得 f（x）是偶函数 Bf（0）= (3 4 ) C 是奇数 D 的最大值为 3 三、填空题：三、填空题： 135G 指的是第五代移动通信技术，比第四代
6、移动通信技术的数据传输速率快数百倍，某 公司在研发 5G 项目时遇到一项技术难题，由甲、乙两个部门分别独立攻关，已知甲部门 攻克该技术难题的概率为 0.6，乙部门攻克该技术难题的概率为 0.5则该公司攻克这项 技术难题的概率为 14能够说明“若1 1 ，则 ab”是假命题的一组整数 a，b 的值依次为 15已知函数 f（x）exa（x+1） ，若 f（x）有两个零点，则实数 a 的取值范围是 16已知 F1，F2分别是双曲线 C： 2 2 2 2 = 1（a0，b0）的左，右焦点，过点 F1向 一条渐近线作垂线， 交双曲线右支于点 P， 直线 F2P 与 y 轴交于点 Q （P， Q 在 x
7、轴同侧） ， 连接 QF1，若PQF1的内切圆圆心恰好落在以 F1F2为直径的圆上，则F1PF2的大小 为 ；双曲线的离心率为 四、解答题：解答应写出文字说明证明过程或演算步骤四、解答题：解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 172020 年 4 月 21 日，习近平总书记到安康市平利县老县镇考察调研，在镇中心小学的课 堂上向孩子们发出了“文明其精神，野蛮其体魄”的期许某市教育部门为了了解全市 01 中学生疫情期间居家体育锻炼的情况，从全市随机抽 1000 名中学生进行调查，统计他们 每周参加体育锻炼的时长，如图是根据调查结果绘制的频率分布直方图 （1）已知样本中每周体育锻炼时长不足 4 小
8、时的体育锻炼的中学生有 100 人，求直方图 中 a，b 的值； （2） 为了更具体地了解全市中学生疫情期间的体育锻炼情况， 利用分层抽样的方法从10， 12）和12，14两组中共抽取了 6 名中学生参加线上座谈会，现从上述 6 名学生中随机抽 取 2 名在会上进行体育锻炼视频展示，求这 2 名学生来自不同组的概率 18已知ABC 中，三个内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c （1）证明 acosB+bcosAc； （2）在2 = ，ccosA2bcosAacosC，2a = 这三个条件 中任选一个补充在下面问题中，并解答若 a7，b5，_，求ABC 的周长 注：如果选择多个条件分别解
9、答，按第一个解答计分 19如图，三棱锥 PABC 中，平面 PAB平面 ABC，PABPBA45，ABC2 BAC60，D 是棱 AB 的中点，点 E 在棱 PB 上，点 G 是BCD 的重心 （1）若 E 是 PB 的中点，证明：GE面 PAC； （2）是否存在点 E，使二面角 ECDG 的大小为 30？若存在，求 的值；若不存 在，请说明理由 高三数学寒假作业高三数学寒假作业 1818（答案解析）（答案解析） 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要
10、求的一项是符合题目要求的 1已知 为第四象限角， = 5 13，则 sin（ ） A 12 13 B 5 13 C 5 13 D12 13 【解答】解： 为第四象限角， = 5 13， sin0 sin= 1 2 = 1 ( 5 13) 2 = 12 13， 故选：A 2已知 x，yR，集合 = *1，2+， = *，+， = *1 2+，则 xy（ ） A1 B 1 2 C1 2 D1 【解答】解：x，yR，集合 = *1，2+， = *，+， = *1 2+， 2= 1 2 = 1 2 ， 解得 x1，y= 1 2， xy1 1 2 = 1 2 故选：B 3已知抛物线 x24y 的焦点为
11、F，点 P 在抛物线上且横坐标为 4，则|PF|（ ） A2 B3 C5 D6 【解答】解：由题意知，p2，点 P 的坐标为（4，4） ， 由抛物线的定义可知，|PF|= + 2 =4+15 故选：C 4十项全能是由跑、跳、投等 10 个田径项目组成的综合性男子比赛项目，按照国际田径联 合会制定的田径运动全能评分表计分， 然后将各个单项的得分相加， 总分多者为优胜 下 面是某次全能比赛中甲、乙两名运动员的各个单项得分的雷达图下列说法错误的是 （ ） A在 100 米项目中，甲的得分比乙高 B在跳高和标枪项目中，甲、乙的得分基本相同 C甲的各项得分比乙更均衡 D甲的总分高于乙的总分 【解答】解：
12、由某次全能比赛中甲、乙两名运动员的各个单项得分的雷达图知： 对于 A， 在 100 米项目中， 甲的得分是 1000 分， 乙的得分为 800 分， 故甲的得分比乙高， 故 A 正确； 对于 B，在跳高比赛中甲、乙的得分都是 800 分，在标枪比赛中，甲、乙的得分都是 600 分，故 B 正确； 对于 C，乙的各项得分比甲更均衡，故 C 错误； 对于 D，甲的总分高于乙的总分，故 D 正确 故选：C 5已知函数() = 2 + 2 1， 1 | 1|，1 ，若 f（a24）f（3a） ，则实数 a 的取值范围 是（ ） A （4，1） B （，4）（1，+） C （1，4） D （，1）（4，
13、+） 【解答】解：由分段函数的性质可知() = 2 + 2 1， 1 | 1|，1 ，f（x）在 R 上单调 递增， 若 f（a24）f（3a） ， 则 a243a， 解可得，a4 或 a1 故选：D 6任何一个复数 za+bi（其中 a，bR，i 为虚数单位）都可以表示成 zr（cos+isin） （其中 r0，R）的形式，通常称之为复数 z 的三角形式法国数学家棣莫弗发现： r（cos+isinnrn（cosn+isinn） （nN+） ，我们称这个结论为棣莫弗定理由棣莫弗 定理可知， “n 为偶数”是“复数( 4 + 4) 为纯虚数”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条
14、件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：复数( 4 + 4) = 4 +isin 4 为纯虚数 4 =0，sin 4 0 4 =k+ 2， （kN *） ，解得 n4k+2 为偶数 反之不成立，例如 n4 时，( 4 + 4) =cos+isin1 为实数，不为纯虚数 “n 为偶数”是“复数( 4 + 4) 为纯虚数”的必要不充分条件 故选：B 7已知点 A，B，C 均在半径为2的圆上，若|AB|2，则 的最大值为（ ） A3 + 22 B2 + 22 C4 D2 【解答】解：如图，A，B，C 是半径为2的圆上三点，|AB|2， 根据余弦定理，cosO= 2+22 2 = 2+24 222 =
15、0， 则 AB 边所对的圆心角为 2，则C= 4 根据正弦定理可知： = (3 4 ) = 2 4 ， AC22sinB，BC22sin（3 4 B） = = CA CB cosC 2 2 sinB 2 2 sin （ 3 4 B ） 2 2 =4sinBcosB+4sin2B2sin2B+2（1cos2B） 22sin（2B 4）+2， 则当 2B 4 = 2，即 B= 3 8 时，上式取最大值，此时最大值为 22 +2， 故选：B 8在三棱锥 PABC 中，AB2，ACBC，若该三棱锥的体积为2 3，则其外接球表面积的 最小值为（ ） A5 B49 12 C64 9 D25 4 【解答】解
16、：AB2，ACBC， 故底面三角形外接圆半径为 r1， = 1 2 1 4 (2+ 2) = 1， 当 = = 2 时等号成立， 故 = 1 3 = 2 3， 故 h2， 当 P 离平面 ABC 距离固定时， 若点 P 在平面 ABC 的投影为ABC 的外心时， 此时外接球半径最小， 此时，P 在平面 ABC 的投影为 AB 中点 O1， 设球心为 O，则 O 在 PO1上， 故 R2（hR）2+12， 化简得到 = 2 + 1 2， 双勾函数 = 2 + 1 2 在2，+） 上单调递增， 故 = 5 4， 故= 4 2 = 25 4 故选：D 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4
17、 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多分在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求全部选对的得项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩 X 服从正态分布 N（100，100） ，其中 90 分为及格线，120 分为优秀线，下列说法正确的是（ ） 附：随机变量 服从正态分布 N（u，2） ，则 P（u+）0.6826，P（2 +2）0.9544，P（u3+3）0.9974 A该市学生数学成绩的期望为 100 B该市学生数学成绩的标准
18、差为 100 C该市学生数学成绩及格率超过 0.8 D该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等 【解答】解：由题意，正态分布曲线的对称轴为 x100，10 该市学生数学成绩的期望为 100，故 A 正确； 该市学生数学成绩的标准差为 10，故 B 错误； P（90 x110）0.6826，P（80 x120）0.9544， P（x90）0.5+ 1 2 0.6826 = 0.8413，故 C 正确； P（x90）P（x110）= 1 21P（90 x110）0.1587， P（x120）0.5+ 1 2 0.95440.9772，则 P（x120）10.97720.00228 该市学生
19、数学成绩不及格的人数远大于优秀的人数，故 D 错误 故选：AC 10已知圆锥的顶点为 P，母线长为 2，底面半径为3，A，B 为底面圆周上两个动点，则 下列说法正确的是（ ） A圆锥的高为 1 B三角形 PAB 为等腰三角形 C三角形 PAB 面积的最大值为3 D直线 PA 与圆锥底面所成角的大小为 6 【解答】解：圆锥的顶点为 P，母线长为 2，底面半径为3， 如图所示： 所以圆锥的高为 h=(2)2 (3)2= 1故选项 A 正确 由于 A 和 B 为底面圆周上两个动点，由于满足 PAPB，所以PAB 为等腰三角形，故选 项 B 正确 由于= 1 2 2 2 ， 当 sinAPB1 时，
20、三角形 PAB 面积的最大值为 2 直线 PA 与圆锥底面所成角为直线 PA 和 AO 所成的角，即PAO， 在APO 中，sin = = 1 2，所以 = 6故选项 D 正确 故选：ABD 11已知实数 x，y，z 满足 = = 1 ，则下列关系式中可能成立的是（ ） Axyz Bxzy Czxy Dzyx 【解答】解：实数 x，y，z 满足 = = 1 ， 画出图象，分别作出与 x 轴平行且与三个函数图象相交的直线 由最下面的直线与函数图象的交点可得：zxy； 由中间的直线与函数图象的交点可得：xzy； 由最上面的直线与函数图象的交点可得：xyz 则下列关系式中可能成立的是 ABC 故选：
21、ABC 12已知函数 f（x）sin（x+） （其中，0，| 2） ，f（ 8）0，f（x）|( 3 8 )| 恒成立，且 f（x）区间( 12， 24)上单调，则下列说法正确的是（ ） A存在 ，使得 f（x）是偶函数 Bf（0）= (3 4 ) C 是奇数 D 的最大值为 3 【解答】解：已知函数 f（x）sin（x+） （其中，0，| 2） ，f（ 8）0，f（x） |(3 8 )|恒成立， 所以 ( 8) = 0 (3 8 ) = 1 ，整理得 8 + = 1 3 8 + = 2 + 2 解得：1+2k，= 8 + 31+2 4 故选项 A 错误 由于 x= 3 8 为函数的对称轴，所
22、以 f（0）f（3 4 ）故选项 B 正确 由于 1+2k，故选项 C 正确 当 f（x）区间( 12， 24)上单调递增时，即 2 + 2 4 2 + 2（kZ） ， 整理得， 4 + 2 2 + 3 4（kZ） ， 故： 4 + 2 12 24 2 + 3 4（kZ） ， 所以 4 + 2 12 24 2 + 3 4 ，整理得 3 由于 0，所以 03即最大值为 3 故选：BCD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 135G 指的是第五代移动通信技术，比第四代移动通信技术的数据传输速率快数百倍，某 公司在研发 5G 项目时遇到
23、一项技术难题，由甲、乙两个部门分别独立攻关，已知甲部门 攻克该技术难题的概率为 0.6，乙部门攻克该技术难题的概率为 0.5则该公司攻克这项 技术难题的概率为 0.8 【解答】解：某公司在研发 5G 项目时遇到一项技术难题，由甲、乙两个部门分别独立攻 关， 甲部门攻克该技术难题的概率为 0.6，乙部门攻克该技术难题的概率为 0.5 设事件 A 表示”甲部门攻克该技术难题“，事件 B 表示“乙部门攻克该技术难题” ， 则 P（A）0.6，P（B）0.5， 该公司攻克这项技术难题的概率为： P1P（）1（10.6） （10.5）0.8 故答案为：0.8 14能够说明“若1 1 ，则 ab”是假命题
24、的一组整数 a，b 的值依次为 2，1 【解答】解：1 1 ，则 ab， 取 a2，b1 时，可得出1 1 ，当时 ab 不成立，即该命题为假命题 故答案为：2，1 15已知函数 f（x）exa（x+1） ，若 f（x）有两个零点，则实数 a 的取值范围是 （1， +） 【解答】解：由题知：f（x）exa，xR当 a0 时，f（x）0，f（x）单调 递增，至多有一个零点，不合题意； 当 a0 时，令 f（x）0 xlna，易知 f（x）在（，lna）单调递减，在（lna， +）单调递增，故 f（x）的最小值为 f（lna）aa（lna+1）alna f（x）有两个零点，当 x时，f（x）+，
25、f（lna）0lna0，解得 a1 故答案为： （1，+） 16已知 F1，F2分别是双曲线 C： 2 2 2 2 = 1（a0，b0）的左，右焦点，过点 F1向 一条渐近线作垂线， 交双曲线右支于点 P， 直线 F2P 与 y 轴交于点 Q （P， Q 在 x 轴同侧） ， 连接 QF1， 若PQF1的内切圆圆心恰好落在以 F1F2为直径的圆上， 则F1PF2的大小为 2 ；双曲线的离心率为 5 【解答】解：设 F1（c，0） ，F2（c，0） ， 如图可得QF1F2为等腰三角形，则PQF1的内切圆圆心 I 在 y 轴上，又 I 恰好落在以 F1F2为直径的圆上， 可设 I（0，c） ，双曲
26、线的一条渐近线方程设为 bx+ay0， 则直线 PF1的方程设为 axby+ac0， 则 I 到直线 PF1的距离为| 2+2 =|ab|， 由图象可得 ab，则|ab|ba， 设 Q（0，t） ，且 tc，则直线 QF2的方程为 txcy+tc0， 由内心的性质可得 I 到直线 QF2的距离为 ba， 即有| 2| 2+2 =ba，化简可得 abt2tc3+abc20，由c64a2b2c2c2（a2b2）2， 解得 t= 或 c（舍去） ， 则 Q（0， ） ，直线 QF2的斜率为 = ， 可得直线 QF2与渐近线 OM：bx+ay0 平行，可得F1PF2= 2， 由 F1到渐近线 OM 的
27、距离为 | 2+2 =b，|OM|= 2 2=a， 由 OM 为PF1F2的中位线，可得|PF2|2|OM|2a，|PF1|2|MF1|2b， 又|PF1|PF2|2a，则 b2a，e= =1 + 2 2 = 5 故答案为： 2，5 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题共小题共 70 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 172020 年 4 月 21 日，习近平总书记到安康市平利县老县镇考察调研，在镇中心小学的课 堂上向孩子们发出了“文明其精神，野蛮其体魄”的期许某市教育部门为了了解全市 01 中学生疫情期间居家体育锻炼的情况，从全市随机抽
28、 1000 名中学生进行调查，统计他们 每周参加体育锻炼的时长，如图是根据调查结果绘制的频率分布直方图 （1）已知样本中每周体育锻炼时长不足 4 小时的体育锻炼的中学生有 100 人，求直方图 中 a，b 的值； （2） 为了更具体地了解全市中学生疫情期间的体育锻炼情况， 利用分层抽样的方法从10， 12）和12，14两组中共抽取了 6 名中学生参加线上座谈会，现从上述 6 名学生中随机抽 取 2 名在会上进行体育锻炼视频展示，求这 2 名学生来自不同组的概率 【解答】解： （1）由题意得 100 1000 = 2， （b+2a+0.075+0.1+0.2）21， a0.05，b0.025 （
29、2） =2， 6 名学生中有 4 名来自于10，20组，有 2 名来自于12，14组， 记事件 A 为： ”这 2 名学生来自不同组“， 则 P（A）= 4 1 2 1 6 2 = 8 15 18已知ABC 中，三个内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c （1）证明 acosB+bcosAc； （2）在2 = ，ccosA2bcosAacosC，2a = 这三个条件 中任选一个补充在下面问题中，并解答若 a7，b5，_，求ABC 的周长 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 【解答】解： （1）证明：由余弦定理可得：acosB+bcosAa 2+22 2 +b 2+22 2 =
30、 2+22+2+22 2 =c， 即 acosB+bcosAc，证毕 （2）第一步：求 A 选： 2 = ， 2ccosAbcosA+acosB， 由（1）中所证结论可得：2ccosAc，可得 cosA= 1 2， A（0，） ， A= 3 选： ccosA2bcosAacosC， 2bcosAacosC+ccosA， 由（1）中的证明同理可得：acosC+ccosAb， 2bcoAb，可得 cosA= 1 2， A（0，） ， A= 3 选： 2a = ， 2acosAbcosC+ccosB， 由（1）中的证明过程同理可得 bcosC+ccosBa， 2acoAa，可得 cosA= 1 2，
31、 A（0，） ， A= 3 第二步：求 c 在ABC 中，由余弦定理可得：a2b2+c22bccosA25+c210c 1 2 =49，即 c25c24 0，解得 c8，或 c3（舍去） ， 所以 a+b+c7+5+820，即ABC 的周长为 20 19如图，三棱锥 PABC 中，平面 PAB平面 ABC，PABPBA45，ABC2 BAC60，D 是棱 AB 的中点，点 E 在棱 PB 上，点 G 是BCD 的重心 （1）若 E 是 PB 的中点，证明：GE面 PAC； （2）是否存在点 E，使二面角 ECDG 的大小为 30？若存在，求 的值；若不存 在，请说明理由 【解答】 （1）证明：
32、延长 DG 交 BC 于 F，连接 EF， 点 G 是BCD 的重心，F 为 BC 的中点， D、E 分别为 AB、BP 的中点，DFAC，DEAP 又DFDED，平面 DEF平面 APC， 又 GE平面 DEF，GE平面 PAC； （2）解：连接 PD，PABPBA45， PAPB，又 D 是 AB 的中点， PDAB， 平面 PAB平面 ABC，而平面 PAB平面 ABCAB，PD平面 PAB， PD平面 ABC 如图，以 D 为坐标原点，以 DB、DP 所在直线分别为 y、z 轴建立空间直角坐标系 设 PAPB2，则 AB= 22，PDCD= 2 D（0，0，0） ，B（0，2，0） ，
33、C（ 6 2 ， 2 2 ，0） ， G（ 6 6 ， 2 2 ，0） ，P（0，0，2） ， 假设存在点 E，使二面角 ECDG 的大小为 30，设 = ，（0，1 则 = + = + = (0，2，0) + (0， 2，2) = （0， 2(1 )， 2） E（0，2(1 )，2） 又 = ( 6 2 ， 2 2 ，0)， 设平面 ECD 的法向量为 = (，)， 由 = 6 2 + 2 2 = 0 = 2(1 ) + 2 = 0 ， 令 x1，得 = (1， 3， 3(1) )； 又平面 ABC 的一个法向量为 = (0，0，1)， 而二面角 ECDG 的大小为 30， |cos ， |=| | | |= 3 2 ， 即| 3(1) 12+(3)2+(3(1) )21 |= 3 2 ，解得 = 1 3 存在点 E，使二面角 ECDG 的大小为 30，此时 = 1 3
