1、第十三章 轴对称 13.3等腰三角形 第4课时 1探索含30角的直角三角形的性质（重点） 2会运用含30角的直角三角形的性质进行有关的 证明和计算（难点） 学习目标 导入新课导入新课 问题引入 问题1 如图，将两个相同的含含30角的三角尺摆放在一起， 你能借助这个图形，找到RtABC的直角边BC与斜边AB之 间的数量关系吗？ 分离 拼接 A C B 问题2 将一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折， 如图所示，你有什么发现？ 讲授新课讲授新课 性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么 它所对的直角边等于斜边的一半. A B C D 如图，ADC是ABC的轴对称图形， 因此AB=AD,
2、BAD=230=60， 从而ABD是一个等边三角形. 再由ACBD, 可得BC=CD= AB. 1 2 你还能用其他方 法证明吗？ 含30角的直角三角形的性质 证法1 证明：在ABC 中， C =90，A =30, B =60 延长BC 到D，使BD =AB，连接AD， 则ABD 是等边三角形 又ACBD, A B C D 证明方法： 倍长法 已知：如图，在RtABC 中，C =90，A =30. 求证：BC = AB 2 1 BC = BD 1 2 BC = AB 1 2 E A B C 证明2： 在BA上截取BE=BC，连接EC. B= 60 ，BE=BC. BCE是等边三角形， BEC=
3、 60，BE=EC. A= 30， ECA=BEC-A=60-30 = 30. AE=EC， AE=BE=BC， AB=AE+BE=2BC. BC = AB 1 2 证明方法： 截半法 知识要点 含30角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那 么它所对的直角边等于斜边的一半. 应用格式： 在RtABC 中， C =90，A =30， A B C BC = AB 1 2 判断下列说法是否正确： 1）直角三角形中30角所对的直角边等于另一直角边 的一半 2）三角形中30角所对的边等于最长边的一半。 3）直角三角形中较短的直角边是斜边的一半。 4）直角三角形的斜边是30角所对直
4、角边的2倍 例1 如图，在RtABC中，ACB90，B30， CD是斜边AB上的高，AD3cm，则AB的长度是( ) A3cm B6cm C9cm D12cm 典例精析 注意：运用含30角的直角三角形的性质求线段长时，要 分清线段所在的直角三角形 D 解析：在RtABC中，CD是斜边AB上的高，ADC 90，ACDB30.在RtACD中，AC2AD6cm， 在RtABC中，AB2AC12cm.AB的长度是12cm.故选D. 例2 如图，AOPBOP15，PCOA交OB于 C，PDOA于D，若PC3，则PD等于( ) A3 B2 C.1.5 D1 解析：如图，过点P作PEOB于E，PCOA，AO
5、P CPO，PCEBOPCPOBOPAOP AOB30.又PC3，PE1.5.AOPBOP， PDOA，PDPE1.5.故选C. E C 方法总结：含30角的直角三角形与角平分线、垂 直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构 造含30角的直角三角形 例3 如图，在ABC中，C90，AD是BAC 的平分线，过点D作DEAB.DE恰好是ADB的平 分线CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由 解： 1 . 2 CDDB 理由如下：DEAB， AEDBED90. DE是ADB的平分线， ADEBDE. 又DEDE， AEDBED(ASA)， 在RtACD中，CAD30， ADBD，DAEB. BA
6、DCAD BAC， 1 2 BADCADB. BADCADB90， BBADCAD30. CD AD BD，即CD DB. 1 2 1 2 1 2 方法总结：含30角的直角三角形的性质是表示线 段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探 究线段倍分关系的结论时，要联想此性质 想一想： 图中BC、DE 分别是哪个直角三角形的直角边？ 它们所对的锐角分别是多少度？ 例4 如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的 中点，立柱BC，DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm， A =30，立柱BC、DE 要多长？ A B C D E A B C D E 解：DEAC,BC AC, A=30 ，
7、 BC= AB, DE= AD. 1 2 1 2 BC= AB= 7.4=3.7(m). 1 2 1 2 又AD= AB, 1 2 DE= AD= 3.7=1.85 (m). 1 2 1 2 答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m. 例5 已知:等腰三角形的底角为15 ,腰长为20.求腰上 的高. A C B D 15 15 解:过C作CDBA,交BA的延长线于点D. B=ACB=15 (已知), DAC= B+ ACB= 15+15=30， ) 1 2 1 2 CD= AC= 20=10. 方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构 造含30角的直角三角形来解决本题的关键是作 高
8、，而后利用等腰三角形及外角的性质，得出30 角，利用含30角的直角三角形的性质解决问题. 当堂练习当堂练习 1.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下 部分与地面成30角，这棵树在折断前的高度为( ) A6米 B9米 C12米 D15米 2.某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的ABC空地上种 植草皮以美化环境，已知A150，这种草皮每平方米售 价a元，则购买这种草皮至少需要( ) A300a元 B150a元 C450a元 D225a元 B B 4.在ABC中,A: B: C=1:2:3,若AB=10,则BC = . 5 5.如图，RtABC中，A= 30，AB+BC=12cm
9、，则AB=_. A C B 8 3.如图，在ABC 中，ACB =90，CD 是高，A =30， AB =4则BD = . B C D 1 第3题图 第5题图 6.在ABC中，C=90，B=15，DE是AB的 垂直平分线，BE=5，则求AC的长 解：连接AE， DE是AB的垂直平分线， BE=AE， EAB=B=15， AEC=EAB+B=30 C=90， AC= AE= BE=2.5 1 2 1 2 7.在 ABC中 ，AB=AC，BAC=120 ，D是 BC的中点，DEAB于E点，求证：BE=3EA. 证明：AB=AC，BAC=120， B=C=30. D是BC的中点，ADBC ADC=9
10、0，BAD=DAC=60. AB=2AD. DEAB，AED=90， ADE=30，AD=2AE. AB=4AE，BE=3AE. 8.如图，已知ABC是等边三角形，D,E分别为 BC、AC上的点，且CD=AE，AD、BE相交于点P， BQAD于点Q,求证:BP=2PQ. 拓展提升 ADCBEA. 证明：ABC为等边三角形， AC=BC=AB ,C=BAC=60， CD=AE， CAD=ABE. BAP+CAD=60， ABE+BAP=60. BPQ=60. 又 BQAD， BP=2PQ. PBQ=30， BQP=90， 课堂小结课堂小结 内 容 在直角三角形中，如果一个锐角等于30， 那么它所对的直角边等于斜边的一半 使 用 要 点 含 30 角 的 直 角 三 角 形 的 性 质 找准30 的角所对的直角边，点明斜边 注 意 前提条件：直角三角形中
