1、26.1 26.1 反比例函数反比例函数 人教版人教版 数学数学 九九年级年级 下册下册 26.1.2 26.1.2 反比例函数的图象和反比例函数的图象和性质性质 ( (第第2 2课时课时) ) 二、四二、四 象限象限 一、三一、三 象限象限 函数函数 正比例函数正比例函数 反比例函数反比例函数 解析式解析式 图象形图象形 状状 K0 K0 位位 置置 增增 减减 性性 位位 置置 增增 减减 性性 y=kx ( k0 ) 直线直线 双曲线双曲线 y随随x的增的增 大而增大大而增大 一、三一、三 象限象限 在每个象限，在每个象限， y随随x 的增大而减小的增大而减小 二、四二、四 象限象限 y
2、随随x的增的增 大而减小大而减小 在每个象限，在每个象限， y随随x 的增大而增大的增大而增大 正比正比 例函例函 数和数和 反比反比 例函例函 数的数的 区别区别 用对比的方法用对比的方法 去记忆效果如去记忆效果如 何？何？ 导入新知导入新知 y x o y x o o y x o y x (0) k yk x 3. 深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系， 体会体会数形结合数形结合及及转化转化的思想方法的思想方法. . 1. 理解反比例函数的理解反比例函数的系数系数 k 的几何意义，并的几何意义，并 将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算中将其灵活运用
3、于坐标系中图形的面积计算中. . 2.能解决反比例函数与一次函数的综合问题能解决反比例函数与一次函数的综合问题 素养目标素养目标 已知已知反比例函数的图象经过点反比例函数的图象经过点A( (2，6).). ( (1) )这个函数的图象分布在哪些象限这个函数的图象分布在哪些象限? ? y随随x的增大如何变化的增大如何变化? ? ( (2) )点点B( (3，4) )、C( ( ）和）和D（2，5）是否在这个）是否在这个 函数的图象上？函数的图象上？ 14 2 , 4 52 探究新知探究新知 知识点知识点 1 利用待定系数法确定反比例函数解析利用待定系数法确定反比例函数解析式式 解：解：（1 1）
4、因为点）因为点A（2, ,6）在第一象限，所以）在第一象限，所以这个函数这个函数 的图象在第的图象在第一一、第、第三三象限，在每个象限内，象限，在每个象限内，y随随x的增大的增大 而而减小减小. 解：解：（2 2）设这个反比例函数的解析式为）设这个反比例函数的解析式为 ， 因为点因为点A ( (2，6) )在其图象上，所以有在其图象上，所以有 ， 解得解得 k =12. . k y x 6 2 k 因为点因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点的坐标都满足该解析式，而点D的坐的坐 标不满足，所以点标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上
5、不在这个函数的图象上. 所以反比例函数的解析式为所以反比例函数的解析式为 . . 12 y x 探究新知探究新知 方法总结：方法总结：已知反比例函数图象上一点，可以根据坐标确定点已知反比例函数图象上一点，可以根据坐标确定点 所在的象限，然后确定反比例函数的性质所在的象限，然后确定反比例函数的性质. .或用或用待定系数法待定系数法求求 出反比例函数的解析式，再判断图象性质；要判断所给的点是出反比例函数的解析式，再判断图象性质；要判断所给的点是 否在该图象上，可以将其坐标代入求得的反比例函数解析式中，否在该图象上，可以将其坐标代入求得的反比例函数解析式中， 若满足左边右边，则在；若不满足左边右边，
6、则不在若满足左边右边，则在；若不满足左边右边，则不在 【讨论讨论】已知反比例函数图象上的一点已知反比例函数图象上的一点, ,如何确定其图象的性如何确定其图象的性 质质? ?以及所给的点是否在该图象上以及所给的点是否在该图象上? ? 探究新知探究新知 已知已知反比例函数反比例函数 的图象经过的图象经过点点 A ( (2，3) ) ( (1) ) 求这个函数的表达式；求这个函数的表达式； k y x 解：解： 反比例函数反比例函数 的图象经过点的图象经过点 A( (2，3) )， 把点把点 A 的坐标代入表达式，得的坐标代入表达式，得 ， k y x 3 2 k 解得解得 k = 6. . 这个函
7、数的表达式为这个函数的表达式为 . . 6 y x 巩固练习巩固练习 ( (2) ) 判断点判断点 B ( (1，6) )，C( (3，2) ) 是否在这个函数的是否在这个函数的 图象上，并说明理由；图象上，并说明理由； 解：解：分别把点分别把点 B，C 的坐标代入反比例函数的解析式，的坐标代入反比例函数的解析式， 因为点因为点 B 的坐标不满足该解析式，点的坐标不满足该解析式，点C的坐标满足该的坐标满足该 解析式，所以解析式，所以点点 B 不在该函数的图象上，点不在该函数的图象上，点C 在该函在该函 数的图象上数的图象上 巩固练习巩固练习 ( (3) ) 当当 3 x 0， 当当 x 0 时
8、，时，y 随随 x 的的增大而减小增大而减小， 当当 3 x 1 时，时，6 y a，那，那 么么b和和b有怎有怎样的大小关系？样的大小关系？ 反比例函数的综合性反比例函数的综合性题目题目 （）m5，在这个函数图象的任一支上，在这个函数图象的任一支上，y随随x的的增大增大 而减小而减小， ， 当当aa时时，bb 【思考思考】根据反比例函数的部分图象，如何确定其完根据反比例函数的部分图象，如何确定其完 整图象的位置以及比例系数的取值范围整图象的位置以及比例系数的取值范围? ? 注：注：由于双曲线的两个分支在两个不同的象限内，因此由于双曲线的两个分支在两个不同的象限内，因此 函数函数y随随x的增减
9、性就不能连续的看，一定要强调“的增减性就不能连续的看，一定要强调“在每在每 一象限内一象限内”，否则，笼统说”，否则，笼统说k0时，时，y随随x的增大而增大，的增大而增大， 从而出现错误从而出现错误. 探究新知探究新知 如如图，是反比例函数图，是反比例函数 的图象的一个分支，对于的图象的一个分支，对于 给出的下列说法：给出的下列说法： 常数常数k的取值范围是的取值范围是 ； 另一个分支在第三象限；另一个分支在第三象限； 在函数图象上取点在函数图象上取点 和和 ， 当当 时，时， ； 在函数图象的某一个分支上取点在函数图象的某一个分支上取点 和和 ， 当当 时，时， 其中正确的是其中正确的是_（
10、在横线上填出正确的序号）（在横线上填出正确的序号） 2k 11 ,A a b 22 ,B a b 12 aa 12 bb 11 ,A a b 12 aa 12 bb 巩固练习巩固练习 22 ,B a b x k y 2 O x y 在反比例函数在反比例函数 的图象上分别取点的图象上分别取点P，Q 向向 x 轴、轴、y 轴作垂线，围成面积轴作垂线，围成面积分别分别为为S1，S2的矩的矩形，填写下形，填写下 页表格：页表格： 4 y x 知识点知识点 3 反比例函数中反比例函数中k的几何的几何意义意义 探究新知探究新知 5 1 2 3 4 1 5 x y O P S1 S2 P (2，2) Q (
11、4，1) S1的值的值 S2的值的值 S1与与S2 的关系的关系 猜想猜想 S1， S2 与与 k 的关系的关系 4 y x 4 4 S1=S2 S1=S2=k 5 4 3 2 1 4 3 2 3 2 4 5 1 Q 探究新知探究新知 S1的值的值 S2的值的值 S1与与S2 的关系的关系 猜想与猜想与k 的关系的关系 P (1，4) Q (2，2) 若在反比例函数若在反比例函数 中也用中也用 同样的方法分别取同样的方法分别取 P，Q 两点，填两点，填 写表格：写表格： 4 y x 4 y x 4 4 S1=S2 S1=S2=k y x O P Q S1 S2 探究新知探究新知 由前面的探究过
12、程，可以猜想：由前面的探究过程，可以猜想： 若点若点P是是 图象上的任意一点图象上的任意一点，作，作 PA 垂直垂直 于于 x 轴，作轴，作 PB 垂直于垂直于 y 轴，轴，矩形矩形AOBP 的面积与的面积与k 的关系是的关系是S矩形 矩形 AOBP=|k|. x k y 探究新知探究新知 y x O P S 我们就我们就 k 0 的情况给出证明：的情况给出证明： 设设点点 P 的坐标为的坐标为 ( (a，b) ) A B 点点 P ( (a，b) ) 在函数在函数 的图的图 象上，象上， k y x ，即即 ab=k. k b a S矩形 矩形 AOBP=PB PA= a b=ab=k； 若
13、若点点 P 在第二象限，则在第二象限，则 a0， 若点若点 P 在第四象限在第四象限，则则 a0，b0）的图象上，横坐标）的图象上，横坐标 是是1，过点，过点B分别向分别向x轴、轴、y轴作垂线，垂足为轴作垂线，垂足为A、C，则矩，则矩 形形OABC的面的面积为（积为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 B 巩固练习巩固练习 x y 2 例例1 如图，点如图，点A在反比例函数在反比例函数 的图象上，的图象上，AC垂直垂直 x 轴于点轴于点C，且，且 AOC 的面积为的面积为2，求该反比例函数的表，求该反比例函数的表 达式达式 x k y 解：解：设点设点 A 的坐标为的坐标为( (xA，yA)
14、 )， 点点A在反比例函数在反比例函数 的图象上，的图象上， xA yAk， 反比例函数的表达式为反比例函数的表达式为 k y x 4 .y x 探究新知探究新知 素养考点素养考点 1 通过图形面积确定通过图形面积确定k的值的值 1 2 2 AOC Sk ， k4， 巩固练习巩固练习 如如图所示，过反比例函数图所示，过反比例函数 （x0）的图象上一点）的图象上一点 A，作，作ABx轴于点轴于点B，连接，连接AO.若若S AOB=3,则 则k的的值为值为 （ ） A.4 B.5 C.6 D.7 C x k y 例例2 如图，如图，P，C是函数是函数 ( (x0) )图象上的任意两点，图象上的任意
15、两点， PA，CD 垂直于垂直于x 轴轴. 设设POA 的面积为的面积为S1，则，则 S1 = ； 梯形梯形CEAD 的面积为的面积为 S2，则，则 S1 与与 S2 的大小关系是的大小关系是 S1 S2； POE 的面积的面积 S3 和和 S2 的大小的大小 关系是关系是S2 S3. 4 y x 2 S1 S2 S3 探究新知探究新知 素养考点素养考点 2 利用利用k的性质判断图形面积的关系的性质判断图形面积的关系 A. SA SBSC B. SASBSC C. SA =SB=SC D. SASC0 b 0 k1 0 k2 0 b 0 x y O x y O 探究新知探究新知 知识点 4 一
16、次函数与反比例函数的组合图形一次函数与反比例函数的组合图形 k2 0 b 0 k1 0 k2 0 x y O k1 0 x y O 探究新知探究新知 在同一坐标系中，函数在同一坐标系中，函数 和和 y= k2 x+b 的图象的图象 大致如下，则大致如下，则 k1 、k2、b各应满足什么条件各应满足什么条件？ x k y 1 例例1 函函数数 y=kxk 与与 的图象大致是的图象大致是( )( ) )0(k x k y D. x y O C. y y A. x B. x y O D O O k0 k0 k0 k0 由一次函由一次函 数增减性数增减性 得得k0 由一次函数与由一次函数与y 轴交点知
17、轴交点知k0， 则则k0 x 提示：提示：可可 对对 k 的正的正 负性进行负性进行 分类讨论分类讨论. . 探究新知探究新知 素养考点素养考点 1 根据根据k的值识别函数的图形的值识别函数的图形 在在同一直角坐标系中，函数同一直角坐标系中，函数 与与 y = ax+1 ( (a0) ) 的图象可能是的图象可能是 ( )( ) a y x A. y x O B. y x O C. y x O D. y x O B 巩固练习巩固练习 例例2 如图是一次函数如图是一次函数 y1=kx+b 和反比例函数和反比例函数 的图象，观察图象，当的图象，观察图象，当 y1y2 时，时，x 的取值范围为的取值范
18、围为 . . 2 3 y x 0 2 x 3 2 m y x 解析：解析：y1y2 即一次函数图象处于即一次函数图象处于 反比例函数图象的上方时反比例函数图象的上方时. 观察右观察右 图，图， 探究新知探究新知 素养考点素养考点 2 通过函数图形确定字母的取值范围通过函数图形确定字母的取值范围 方法总结：方法总结：对于一些题目，借助对于一些题目，借助函数图象函数图象比较大小更加简洁明了比较大小更加简洁明了. . 可知可知2 x 3. . 1x5 巩固练习巩固练习 如如图，直线图，直线y=k1x+b与双曲线与双曲线 交于交于A、B两点，两点， 其横坐标分别为其横坐标分别为1和和5，则不等式，则不
19、等式 的解集的解集 是是_ 2 1 k k xb x 2 k y x 例例3 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点 P ( (3，4).). 试求出它们的解析式，并画出图象试求出它们的解析式，并画出图象. . 由于这两个函数的图象交于点由于这两个函数的图象交于点 P ( (3，4) )， 则点则点P 的坐标分的坐标分 别满足这两个解析式别满足这两个解析式. . 解：解：设设 y=k1x 和和 . . 2 k y x 所以所以 ， . . 1 43k 2 4 3 k 解得解得 . . 1 4 3 k 2 12k 探究新知探究新知 素养考点素
20、养考点 3 利用函数的交点解答问题利用函数的交点解答问题 则这两个函数的解析式分别为则这两个函数的解析式分别为 和和 ， 它们的图象如图所示它们的图象如图所示. . 4 3 yx 12 y x 这两个图象有何共同这两个图象有何共同 特点？你能求出另外特点？你能求出另外 一个交点的坐标吗？一个交点的坐标吗？ 说说你发现了什么？说说你发现了什么？ 【想一想想一想】 探究新知探究新知 反比例反比例函数函数 的图象与正比例函数的图象与正比例函数 y = 3x 的图象的的图象的 交点坐标为交点坐标为 12 y x (2，6)，(2，6) 解析：解析：联立两个函数解析式解方程得：联立两个函数解析式解方程得
21、： 巩固练习巩固练习 12 3 y x yx 1 1 2 6 x y 6 2 2 2 y x 解得：解得： 连接中考连接中考 1.如图如图，矩形矩形OABC的顶点的顶点B在在反比例函数反比例函数 （x0）的）的图图 象象上上 S矩形 矩形OABC 6，则，则k x k y y x O 6 A B C 2.如图如图，某反比例函数图象的一支经过点，某反比例函数图象的一支经过点A（2，3）和点）和点B（点（点B 在点在点A的右侧的右侧），作），作BCy轴，垂足为点轴，垂足为点C，连结，连结AB，AC （1）求该反比例函数的解析式；）求该反比例函数的解析式； （2）若）若ABC的面积为的面积为6，求直
22、线，求直线AB的表达式的表达式 连接中考连接中考 解：解：（1）由题意得，）由题意得，k=xy=23=6，反比例函数的解析式为反比例函数的解析式为 （2）设）设B点坐标为（点坐标为（a，b），如图，作），如图，作ADBC于于D，则，则D（2，b） 反比例函数反比例函数 的图象经过点的图象经过点B（a，b），）， S ABC . . 设设AB的解析式为的解析式为y=kx+b， 将将A（2，3），），B（6，1）代入函数解析式，得）代入函数解析式，得 解得解得 ， 6 y x x y 6 a b 6 a AD 6 3 6) 6 3( 2 1 2 1 a aADBC 1 6 a b . 16 , 3
23、2 bk bk 4 2 1 b k1 4 2 yx ， 解得解得a=6， B（6，1） 直线直线AB的解析式的解析式为为 . D 连接中考连接中考 课堂检测课堂检测 D 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 1.已知已知点点P（a，m），），Q（b，n）都在反比例函数）都在反比例函数 的图象上，且的图象上，且a0b，则下列结论一定正确的是（，则下列结论一定正确的是（ ） Am+n0 Bm+n0 Cmn Dmn x y 2 y1y2 课堂检测课堂检测 2. 已知已知A（4，y1），），B（1，y2）是反比例函数）是反比例函数 图象上的两个点图象上的两个点，则，则y1与与y2的大小关系为的大小关系
24、为_ x y 4 k9 3. 在在反比例函数反比例函数 图象的图象的每一支曲线上，每一支曲线上，y都随都随 x的增大而减小的增大而减小，则，则k的取值范的取值范围是围是_ 9k y x 1.如图，正比例函数如图，正比例函数 与反比例函数与反比例函数 的图的图象象 交交于点于点A（2，3） （1）求）求k、m的的值；值； （2）写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量）写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围的取值范围 (0)ykx x(0) m yx x （2）由图象可知，正比例函数值大于反比例函数值时：）由图象可知，正比例函数值大于反比例函数值时：x2. . 能 力 提 升 题能
25、 力 提 升 题 课堂检测课堂检测 解：解：（1）将）将A（2，3）分别代入）分别代入 y=kx 和和 可得：可得：3=2k 和和 解得：解得： ， m=6. . x m y 3 2 m 3 2 k 课堂检测课堂检测 k y x 2. 如图如图，已知反比例函数，已知反比例函数 （x0）的图象与一次函数）的图象与一次函数 的图象交于的图象交于A和和B（6，n）两点）两点 （1）求）求 k和和n的值；的值； （2）若点）若点C（x，y）也在反比例函数）也在反比例函数 （x0）的图象上）的图象上， 求当求当2 x 6时，函数值时，函数值 y的取值范围的取值范围 k y x 1 4 2 yx 课堂检测
26、课堂检测 解：解：（1）当）当x=6时，时， ， 点点B的坐标为（的坐标为（6，1） 反比例函数反比例函数 过点过点B（6，1），）， k=61=6 （2）k=60， 当当x0时，时，y随随x值增大而值增大而减小减小， 当当2 x 6时，时，1 y 3 146 2 1 n k y x A y O B x 如如图，反比例函数图，反比例函数 与与一次函一次函数数 y =x + 2 的图象交的图象交 于于 A，B 两点两点. ( (1) ) 求求 A，B 两点的坐标；两点的坐标； 8 y x 解：解： y=x + 2 ， 解得解得 x = 4， y =2 所以所以A(2，4)，B(4，2). 或或
27、x = 2， y = 4. 课堂检测课堂检测 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 作作ACx轴于轴于C，BDx轴于轴于D， 则则AC=4，BD=2. ( (2) ) 求求AOB的面积的面积. . 解：解：一次函数与一次函数与x轴的交点为轴的交点为M (2，0)， OM=2. O A y B x M C D S OMB=OM BD 2=222=2， S OMA=OM AC 2=242=4， S AOB=SOMB+SOMA=2+4=6. 课堂检测课堂检测 面积问题面积问题 与一次函与一次函 数的综合数的综合 反 比 例 函 数 图 象 和 反 比 例 函 数 图 象 和 性 质 的 综 合 运 用 性 质 的 综 合 运 用 课堂小结课堂小结 面积不变性面积不变性 反比例函数的图象是一个以原点为反比例函数的图象是一个以原点为 对称中心的中心对称图形，其与正对称中心的中心对称图形，其与正 比例函数的交点比例函数的交点关于原点中心对称关于原点中心对称 判断反比例函数和一次函数在同一直判断反比例函数和一次函数在同一直 角坐标系中的图象，要对系数进行角坐标系中的图象，要对系数进行分分 类讨论类讨论，并注意，并注意b 的正负的正负 课后作业课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习
