1、27.2 27.2 相似三角形相似三角形 人教版人教版 数学数学 九九年级年级 下册下册 27.2.1 27.2.1 相似三角形相似三角形的的判定判定 ( (第第3 3课时课时) ) 1. 两个三角形全等有哪些判定方法？两个三角形全等有哪些判定方法？ 2. 我们学习过哪些判定三角形相似的方法？我们学习过哪些判定三角形相似的方法？ SSS、SAS、ASA、AAS、HL ( (1) )通过通过定义定义（三边对应成比例，三角分别相等（三边对应成比例，三角分别相等）; ; ( (2) )平行平行于三角形一边的于三角形一边的直线直线; ; ( (3) )三边对应成三边对应成比例比例. . 导入新知导入新
2、知 类似于判定三角形全等的类似于判定三角形全等的SAS方法，我们能不方法，我们能不 能通过两边和夹角来判断两个三角形相似呢？能通过两边和夹角来判断两个三角形相似呢？ 探究探究 导入新知导入新知 1. 探索探索“两边成比例且夹角相等两边成比例且夹角相等的两个三的两个三 角形相似角形相似”的判定定理并且会运用的判定定理并且会运用. . 2. 会运用“会运用“两边成比例且夹角相等两边成比例且夹角相等”判定”判定 两个三角形相似两个三角形相似，并进行相关计算与推理，并进行相关计算与推理. 素养目标素养目标 改变改变A或或k值的大小，再试一试，是否有同样的结论？值的大小，再试一试，是否有同样的结论？ 实
3、际上，我们有利用两边和夹角判定两个三角形相似的方法实际上，我们有利用两边和夹角判定两个三角形相似的方法. . 等于等于k B =B C =C 改变改变k的值具有相同的结论的值具有相同的结论 利用刻度尺和量角器画利用刻度尺和量角器画ABC和和ABC，使使AA， 量出它们第三组对应边量出它们第三组对应边BC和和BC的长，它们的比的长，它们的比 等于等于k吗？另外两组对应角吗？另外两组对应角B与与B，C与与C是否相等？是否相等？ ABAC k. A BAC 探究新知探究新知 知识点 两边成比例且夹角相等的两个三角形两边成比例且夹角相等的两个三角形相似相似 A B C A B C ABAC k A B
4、A C AA 如果两个三角形的两组如果两个三角形的两组对应边的比相等对应边的比相等，并且，并且相应的相应的 夹角相等夹角相等，那么这两个三角形相似，那么这两个三角形相似 类似于证明通过三边判定三角形相似的方法，我们试类似于证明通过三边判定三角形相似的方法，我们试 证明这个结论证明这个结论 ABC ABC 探究新知探究新知 已知：如图，已知：如图， ABC和和 ABC中中，A =A，AB：AB = AC：AC 求证：求证：ABC ABC 证明：证明：在在ABC 的边的边AB、AC（或它们的延长线）上分别截取（或它们的延长线）上分别截取AD AB，AEAC，连结连结DE，因因A =A，这样这样AB
5、C ADE ADAE ABAC DE/BC ADE ABC ABC ABC A BA C ABAC A B C A B C D E 探究新知探究新知 由此得到利用由此得到利用两边和夹角两边和夹角来判定来判定三角形相似的定理：三角形相似的定理： 两边成比例且夹角相等两边成比例且夹角相等的两个三角形相似的两个三角形相似 符号语言：符号语言： A=A， ABAC A BAC ， B A C B A C ABC ABC . 归纳：归纳： 探究新知探究新知 【思考思考】对于对于ABC和和 ABC，如果如果 AB : AB= AC : AC. C=C，这两个三角形一定会相似吗？这两个三角形一定会相似吗？
6、不一定，如下图，因为能构造符合条件的三角形有两个，不一定，如下图，因为能构造符合条件的三角形有两个， 其中一个和原三角形相似，另一个不相似其中一个和原三角形相似，另一个不相似. . A B C A B B C 探究新知探究新知 探究新知探究新知 归纳总结归纳总结 如果两个三角形两边对应成比例，但相等如果两个三角形两边对应成比例，但相等 的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形 不一定相似，相等的角一定要是不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的两条对应边的 夹角夹角. . 又又 AA ABCABC 已知已知A120，AB7cm，AC14cm，A120，A
7、B 3cm，AC 6cm，判断判断ABC与与 ABC是否相似是否相似， 并并说明理由说明理由. 例例1 探究新知探究新知 素养考点素养考点 1 利用利用两边成比例且夹角相等两边成比例且夹角相等识别三角形相似识别三角形相似 两三角形两三角形 的相似比的相似比 是多少？是多少？ ABCABC . 理由如下：理由如下： 解解： ABAC A BAC 已知已知A=40，AB=8，AC=15， A =40，AB =16， AC =30 ，判断判断ABC与与ABC是否相似，并说明理是否相似，并说明理 由由. 解：解： ABCABC. 巩固练习巩固练习 ABCABC . 理由如下：理由如下： . . A=A
8、, 又又 151 302 AC AC , , , 解：解： AE=1.5，AC=2， A C B E D 例例2 如图，如图，D，E分别是分别是 ABC 的边的边 AC，AB 上的点，上的点， AE=1.5，AC=2，BC=3，且，且 ，求，求 DE 的长的长. 3 4 AD AB 3 4 AEAD . ACAB 又又EAD=CAB， ADE ABC， 3 4 DEAD BCAB ， 39 44 DEBC. 探究新知探究新知 素养考点素养考点 2 利用三角形相似求线段的长度利用三角形相似求线段的长度 提示：提示：解题时要找准解题时要找准对应边对应边. . 巩固练习巩固练习 A B C D 解解
9、：（1）CD :CBBC :AC . （2）设）设CDx,则则CAx2 当当CBDCAB，且且AD2， , 有有CD:CBBC:AC，即即 , 所以所以x 2x30解得解得x 1，x 3 但但x 3不符合题意不符合题意,应舍去应舍去 所以所以CD1 如如图，在图，在ABC 中，中，ACBC，D 是边是边AC 上一点，连接上一点，连接BD （1）要使）要使CBDCAB，还需要补充一个条件是还需要补充一个条件是 ;（只要求填一个（只要求填一个） （2）若若CBDCAB，且且AD2， ,求求CD 的长的长 3BC 3BC : 33 :2xx（ ） 证明：证明： CD 是边是边 AB 上的高上的高，
10、ADC =CDB =90. ADC CDB， ACD =B， ACB =ACD +BCD =B +BCD = 90. A B C D 例例3 如图，如图，在在 ABC 中中，CD 是边是边 AB 上的高上的高，且且 ， 求证求证 ：ACB=90 = ADCD CDBD AD CD CDBD ， 探究新知探究新知 素养考点素养考点 3 利用三角形相似求利用三角形相似求角角度度 方法总结：方法总结：解题时需注意解题时需注意隐含条件隐含条件，如垂直关系，三角形的高等，如垂直关系，三角形的高等. . 如如图，已知在图，已知在ABC 中，中，C90，D、E 分别是分别是 AB、AC 上的点，上的点，AE
11、：ADAB：AC 试问试问:DE 与与AB 垂直吗垂直吗? 为什么为什么? A B C D E 证明：证明：DEAB理由如下理由如下: AE：ADAB：AC, 又又 AA, ABCAED ADEC90 DE 与与AB 垂直垂直 = AEAD ABAC 巩固练习巩固练习 如图如图，已知，已知：BAC=EAD，AB=20.4，AC=48，AE=17， AD=40 求证：求证：ABCAED 连接中考连接中考 证明：证明：AB=20.4，AC=48，AE=17，AD=40 BAC=EAD，ABCAED 20.4 1.2 17 AB AE 48 1.2 40 AC AD AD AC AE AB ， ，
12、， 1. 如图如图，D 是是 ABC 一边一边 BC 上一点，连接上一点，连接 AD， 使使ABC DBA的条件是的条件是 （ ） A. AC : BC=AD : BD B. AC : BC=AB : AD C. AB2 = CD BC D. AB2 = BD BC D A B C D ABBC BDAB 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 2. 在在 ABC 和和 DEF 中中，C =F=70，AC = 3.5 cm， BC = 2.5 cm，DF =2.1 cm，EF =1.5 cm. 求证求证：DEFABC. . A C B F E D 证明：证明： AC = 3.5
13、 cm，BC = 2.5 cm， DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm， 又又 C =F = 70， DEF ABC. 3 5 DFEF . ACBC 课堂检测课堂检测 3. 如图如图，ABC 与与 ADE 都是等腰三角形都是等腰三角形，AD=AE， AB=AC， DAB=CAE. 求证：求证：ABC ADE. 证明：证明： AD =AE，AB = AC， ADAE . ABAC 又又 DAB = CAE， DAB +BAE = CAE +BAE， 即即 DAE =BAC，ABC ADE. A B C D E 课堂检测课堂检测 A B C D 解：解：AB=6，BC=4，AC=5，
14、， 4 5 ABBC . CDAC 又又B=ACD， ABC DCA， 4 5 ACBC ADAC ， 25 4 AD. 课堂检测课堂检测 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 2 1 7CD 如如图，在四边形图，在四边形 ABCD 中中，已知已知 B =ACD， AB=6，BC=4， AC=5， ，求求 AD 的长的长 2 1 7CD 如如图，在图，在ABC中，中，D，E分别是分别是AB，AC上的点，上的点，AB=7.8 ，BD=4.8，AC=6，AE=3.9，试判断，试判断ADE与与ABC是否相是否相 似，某同学的解答如下：似，某同学的解答如下： 解：解：AB=AD+BD，而而AB=7.8
15、，BD=4.8， AD=7.8-4.8=3. 这两个三角形不相似这两个三角形不相似. . 你同意他的判断吗？请说明理由你同意他的判断吗？请说明理由. . 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 课堂检测课堂检测 AC AE AB AD 解：解：他的判断是错误的他的判断是错误的. . AB=AD+BD，而而AB=7.8，BD=4.8， AD=7.8-4.8=3. ， ， 又又A=A， ADEACB 课堂检测课堂检测 31 62 AD AC 2 1 8 . 7 9 . 3 AB AE AB AE AC AD 两边成两边成 比例且比例且 夹角相夹角相 等的两等的两 个三角个三角 形相似形相似 利用利用两边及夹角两边及夹角判定三角形相似判定三角形相似 相似三角形的判定定理的相似三角形的判定定理的运用运用 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习
