1、61.1 函数的平均变化率 最新课程标准 1.理解函数平均变化率的概念， 会求函数的平均变化率 (重 点) 2理解函数平均变化率的几何意义和物理意义(重点) 3理解数学中“以直代曲”的思想. 教材要点教材要点 知识点一 函数的平均变化率 函数的平均变化率的定义 一般地， 已知函数 yf(x)， x1， x2是其定义域内不同的两点， 记 xx2x1，yy2y1f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)， 则当 x0 时，商_y x 称作函数 yf(x)在区间x1，x2(或x2，x1)的平均变化率 y2y1 x2x1 知识点二 函数的平均变化率的几何意义即割线的斜率已 知 yf(x)图像上两点 A
2、(x1，f(x1)，B(x1x，f(x1x)， 过 A，B 两点割线的斜率是_，即曲线割线 的斜率就是函数的平均变化率 知识点三 函数的平均变化率的物理意义即平均速度物体 在某段时间内的平均速度即函数的平均变化率 y x fx1xfx1 x 基础自测基础自测 1判断(正确的打“”，错误的打“”) (1)x 表示 x2x1，是相对于 x1的一个增量，x 的值可正可 负，但不可为零( ) (2)y 表示 f(x2)f(x1)， y 的值可正可负， 也可以为零 ( ) (3)y x表示曲线 yf(x)上两点(x1，f(x1)，(x2，f(x2)连线的斜 率( ) (4)平均速度是刻画某函数在区间x1
3、，x2上的变化快慢的物 理量( ) 2已知函数 yf(x)2x2的图像上点 P(1,2)及邻近点 Q(1 x,2y)，则割线 PQ 的斜率为( ) A4 B4x C42x2 D42x 解析：y x 21x2212 x 42x. 答案：D 3如图，函数 yf(x)在1,3上的平均变化率为( ) A1 B1 C2 D2 解析：y x f3f1 31 1. 答案：B 4如果质点 M 按规律 s3t2(s 的单位是 m，t 的单位是 s)运动，则在时间段2,2.1内质点 M 的平均速度等于( ) A3 m/s B4 m/s C4.1 m/s D0.41 m/s 解析： 平均速度 v s t 32.12
4、322 0.1 0.41 0.1 4.1(m/s)，故选 C. 答案：C 题型一 求函数的平均变化率 例 1 (1)已知函数 f(x)2x21 的图象上一点(1,1)及邻近一 点(1x,1y)，则y x等于( ) A4 B4x C42x D42(x)2 (2)已知函数 f(x)x1 x， 分别计算 f(x)在自变量 x 从 1 变到 2 和从 3 变到 5 时的平均变化率， 并判断在哪个区间上函数值变化 得较快 解析：(1)yf(1x)f(1)2(1x)2112(x)2 4x，y x2x4. (2)自变量 x 从 1 变到 2 时，函数 f(x)的平均变化率为 f2f1 21 21 211 1
5、 1 2； 自变量 x 从 3 变到 5 时，函数 f(x)的平均变化率为 f5f3 53 51 5 31 3 2 14 15. 因为1 2 14 15，所以函数 f(x)x 1 x在自变量 x 从 3 变到 5 时函 数值变化得较快 答案：(1)C (2)见解析 状元随笔 (1)由 yf(xx)f(x)f(1x)f(1)可得 (2)求xx2x1求yfx2fx1计算y x 方法归纳 1求函数平均变化率的三个步骤 第一步，求自变量的增量 xx2x1； 第二步，求函数值的增量 yf(x2)f(x1)； 第三步，求平均变化率y x fx2fx1 x2x1 . 2求平均变化率的一个关注点 求点 x1附
6、近的平均变化率，可用fx 1xfx1 x 的形式 跟踪训练 1 函数 yx21 在1,1x上的平均变化率是 ( ) A2 B2x C2x D2(x)2 解析：y(1x)21(121)2xx2， y x 2xx2 x 2x，故选 C. 答案：C 题型二 求物体在某段时间内的平均速度 例 2 质点运动规律 s1 2gt 2， 则在时间区间(3,3t)内的平 均速度等于_(g10 m/s2) 解析：s1 2g(3t) 21 2g3 21 2106t(t) 2 30t5(t)2， v s t305t. 答案：305t 方法归纳 求运动物体平均速度的两个步骤 1求时间改变量 t 和位移改变量 ss(t0
7、t)s(t0)； 2求平均速度 v s t 跟踪训练 2 一质点的运动方程为 s83t2， 其中 s 表示位 移，t 表示时间试求质点在1,1t这段时间内的平均速度 解析：s t 831t28312 t 63t. 题型三 平均变化率的几何意义 例 3 已知曲线 yx21 上两点 A(2,3)，B(2x,3y)， 当 x1 时，割线 AB 的斜率是_；当 x0.1 时，割线 AB 的斜率是_ 解 析 ： 当 x 1 时 ， 割 线 AB 的 斜 率 k1 y x 2x21221 x 21 222 1 5. 当 x0.1 时， 割线 AB 的斜率 k2y x 20.121221 0.1 4.1.
8、5 4.1 方法归纳 已知 yf(x)图像上两点 A(x1，f(x1)，B(x1x，f(x1x)， 过 A，B 两点割线的斜率是y x fx1xfx1 x ，即曲线割线的 斜率就是函数的平均变化率 跟踪训练 3 已知函数 yx21 的图像上一点 A(3,8)及邻近 一点 B(3x,8y)，则割线 AB 的斜率等于( ) A6 B6x C6(x)2 D6x 解析： 因为 y(3x)213216x(x)2，所以y x 6xx 2 x 6x，故选 B. 答案：B 6.1.2 导数及其几何意义 最新课程标准 1.理解瞬时变化率、导数的概念(难点、易混点) 2会用导数的定义求函数的导数 3理解导数的几何
9、意义(重点)能应用导数的几何意义解 决相关问题(难点) 教材要点教材要点 知识点一 瞬时变化率与导数 (1)物体运动的瞬时速度 设物体运动路程与时间的关系是 sf(t)，当_ 时，函数 f(t)在 t0到 t0t 之间的平均变化率_ 趋近于常数，我们把这个常数称为 t0时刻的瞬时速度 t 趋近于 0 ft0tft0 t (2)函数的瞬时变化率 设函数 yf(x)在 x0及其附近有定义， 当自变量在 xx0附近 改变量为 x 时，函数值相应地改变 yf(x0 x)f(x0)，如果 当 x 趋近于 0 时，平均变化率_趋近于一个常 数 k，那么常数 k 称为函数 f(x)在点 x0的瞬时变化率 记
10、作：当 x0 时，fx 0 xfx0 x k. 还可以说： 当 x0 时， 函数平均变化率的极限等于函数在 x0的瞬时变化率，记作lim x0 fx0 xfx0 x k. y x fx0 xfx0 x (3)函数 f(x)在 xx0处的导数 函数 yf(x)在点 x0的_， 通常称为 f(x)在点 x0 处的导数，并记作_，即 f(x0)_. 瞬时变化率 f(x0) li m x0 fx0 xfx0 x 知识点二 导数的几何意义 曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的导数 f(x0)的几何意义为 _ 曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率 知识点二 导数的几何意义 曲线 yf
11、(x)在点(x0，f(x0)处的导数 f(x0)的几何意义为 _ 曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率 基础自测基础自测 1函数 f(x)x2在 x1 处的瞬时变化率是_ 解析：f(x)x2， 函数 f(x)在 x1 处的瞬时变化率是 li m x0 y xli m x0 f1xf1 x li m x0 1x212 x li m x0 (2x)2. 答案：2 2函数 yf(x)的图像如图所示，下列不等关系正确的是 ( ) A0f(2)f(3)f(3)f(2) B0f(2)f(3)f(2)f(3) C0f(3)f(3)f(2)f(2) D0f(3)f(2)f(2)f(3) 解析：
12、 f(2)为函数 yf(x)的图像在点 B 处的切线的斜率， f(3)为函数 yf(x)的图像在点 A 处的切线的斜率，f(3)f(2) f3f2 32 ， 其几何意义为割线 AB 的斜率， 由图可知， 0f(3)f(3) f(2)0)垂直上抛的物体， t秒时的高度为s(t) v0t1 2gt 2，则物体在 t 0时刻的瞬时速度为_ 解析：sv0(t0t)1 2g(t0t) 2 v0t01 2gt 2 0 v0t gt0t1 2g(t) 2， s tv0gt0 1 2gt， li m t0 s tv0gt0， 即 t0时刻的瞬时速度为 v0gt0. 答案：v0gt0 状元随笔 先求出s t，再
13、求lim t0 s t. 方法归纳 1求运动物体瞬时速度的三个步骤 (1)求时间改变量 t 和位移改变量 ss(t0t)s(t0)； (2)求平均速度 v s t； (3)求瞬时速度，当 t 无限趋近于 0 时，s t无限趋近于常数 v，即为瞬时速度.2. 求y x(当 x 无限趋近于 0 时)的极限的方法 (1)在极限表达式中，可把 x 作为一个数来参与运算 (2)求出y x的表达式后，x 无限趋近于 0 就是令 x0，求 出结果即可 跟踪训练 1 一做直线运动的物体， 其位移 s 与时间 t 的关 系是 s3tt2(位移单位：m，时间单位：s) (1)求此物体的初速度； (2)求此物体在
14、t2 时的瞬时速度 解析：(1)初速度 v0li m t0 sts0 t li m t0 3tt2 t li m t0 (3t)3， 即物体的初速度为 3 m/s. (2)v瞬li m t0 s2ts2 t li m t0 32t2t2324 t li m t0 t2t t li m t0 (t1)1， 即物体在 t2 时的瞬时速度为 1 m/s，方向与初速度方向相反 题型二 求函数在某点处的导数 例 2 (1)曲线 y1 x在点 1 2，2 处的切线的斜率为( ) A2 B4 C3 D.1 4 (2)求函数 y3x2在 x1 处的导数 解析： (1)因为 yli m x0 y xli m x
15、0 1 xx 1 x x li m x0 1 x2xx 1 x2， 所以曲线在点 1 2，2 处的切线斜率为 k4，故选 B. (2)yf(1x)f(1)3(1x)236x3(x)2， y x63x， f(1)li m x0 y xli m x0 (63x)6. 答案：(1)B (2)见解析 状元随笔 求函数 f(x)在任意点处的导数都应先求平均变 化率，再求 f (x0) 方法归纳 1通过本例(1)进一步感受平均变化率与瞬时变化率的关 系，对于 y 与 x 的比值，感受和认识在 x 逐渐变小的过程中 趋近于一个固定的常数 k 这一现象 2用定义求函数在 xx0处的导数的步骤 (1)求函数的增
16、量 yf(x0 x)f(x0)； (2)求平均变化率y x； (3)求极限，得导数为 f(x0)li m x0 y x. 简记为：一差、二比、三趋近 跟踪训练 2 求函数 f(x)x1 x在 x1 处的导数 解析：y(1x) 1 1x 11 1 x1 1 1xx x 1x， y x x x 1x x 1 1 1x， f(1)li m x0 y xli m x0 1 1 1x 2. 题型三 求曲线在某点处切线的方程 例 3 已知曲线 C：yx3. (1)求曲线 C 在横坐标为 x1 的点处的切线方程； (2)第(1)小题中的切线与曲线 C 是否还有其他的公共点？ 解析： (1)将 x1 代入曲线
17、 C 的方程得 y1， 切点 P(1,1) yli m x0 y x li m x0 1x31 x li m x033x(x) 23. k3. 曲线在点 P(1,1)处的切线方程为 y13(x1)， 即 3xy20. (2)由 y3x2， yx3， 解得 x1， y1 或 x2， y8， 从而求得公共点为 P(1,1)或 M(2，8)， 即切线与曲线 C 的公共点除了切点外，还有另一公共点( 2，8) 状元随笔 (1)先求切点坐标，再求 y ，最后利用导数的 几何意义写出切线方程 (2)将切线方程与曲线 C 的方程联立求解 方法归纳 1利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤 (1)求出函数
18、f(x)在点 x0处的导数 f(x0)； (2)写出切线方程，即 yy0f(x0) (xx0) 特别注意：若在点(x0，y0)处切线的倾斜角为 2，此时所求的 切线平行于 y 轴，所以曲线的切线方程为 xx0. 2曲线的切线与曲线的交点可能不止一个 跟踪训练 3 若函数 f(x)在点 A(1,2)处的导数是1，那么过 点 A 的切线方程是_ 解析：切线的斜率为 k1. 点 A(1,2)处的切线方程为 y2(x1)， 即 xy30. 答案：xy30 题型四 求切点坐标 例 4 已知抛物线 y2x21.求： (1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为 45 ？ (2)抛物线上哪一点的切线平行于直线 4x
19、y20? 解析：设切点的坐标为(x0，y0)，则 y2(x0 x)212x2 014x0 x2(x) 2. y x4x02x. f(x0)li m x0 (4x02x)4x0. (1)抛物线的切线的倾斜角为 45 ， 斜率为 tan 45 1， 即 f(x0)4x01，得 x01 4，该点为 1 4， 9 8 . (2)抛物线的切线平行于直线 4xy20， 斜率为 4， 即 f(x0)4x04，得 x01，该点为(1,3) 状元随笔 设点的坐标求出在该点处的导数 利用条件建立方程求出点的坐标 跟踪训练 4 已知曲线 yx3在点 P 处的切线的斜率 k3， 则点 P 的坐标是( ) A(1,1)
20、 B(1,1) C(1,1)或(1，1) D(2,8)或(2，8) 解析：因为 yx3，所以 yli m x0 xx3x3 x li m x03x 2 3xx(x)23x2. 由题意，知切线斜率 k3，令 3x23，得 x1 或 x1. 当 x1 时，y1；当 x1 时，y1. 故点 P 的坐标是(1,1)或(1，1)，故选 C. 答案：C 方法归纳 根据切线斜率求切点坐标的步骤 1设切点坐标(x0，y0)； 2求导函数 f(x)； 3求切线的斜率 f(x0)； 4由斜率间的关系列出关于 x0的方程，解方程求 x0； 5点(x0，y0)在曲线 f(x)上，将(x0，y0)代入求 y0，得切点坐
21、 标 61.3 基本初等函数的导数 最新课程标准 1.会用导数的定义求函数的导数 2能根据定义求函数 yc，yx，yx2，y1 x，y x的 导数(难点) 3 掌握基本初等函数的导数公式， 并能进行简单的应用 (重 点、易混点) 教材要点教材要点 知识点一 函数的导数 如果 f(x)在开区间(a，b)内每一点 x_的，则称 f(x)在 区间(a，b)可导这样，对开区间(a，b)内每个值 x，都对应一个 _于是，在区间(a，b)内，f(x)构成一个新 的函数，把这个函数称为函数 yf(x)的导函数记为 _ 都是可导 确定的导数 f(x) f(x)或 y(或 yx) 知识点二 几个常用函数的导数
22、原函数 导函数 f(x)c(c 为常数) f(x)_ f(x)x f(x)_ f(x)x2 f(x)_ f(x)1 x f(x)_ f(x) x f(x) 1 2 x 0 1 2x 1 x2 知识点三 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 yc y_ yxn(nN) y_，n 为正整数 yx(x0，0 且 Q) y_， 为有理数 yax(a0，a1) y_ yex y_ ylogax(a0，a1，x0) y_ yln x y_ ysin x y_ ycos x y_ 0 nxn 1 x 1 axln a ex 1 xln a 1 x cos x sin x 基础自基础自测测 1给出下列结论：
23、 若 y 1 x3，则 y 3 x4； 若 y3x，则 y1 3 3 x； 若 f(x)3x，则 f(1)3. 其中正确的个数是( ) A1 B2 C3 D0 解析：对于，y(x 3)3 x4 ，正确； 对于，y1 3x 1-1 3 1 3x 2 3 ，不正确； 对于，f(x)3，故 f(1)3，正确 答案：B 2给出下列命题： yln 2，则 y1 2；y 1 x2，则 y 2 x3； y2x，则 y2xln 2；ylog2x，则 y 1 xln 2. 其中正确命题的个数为( ) A1 B2 C3 D4 解析：对于，y0，故错；显然正确，故选 C. 答案：C 3若函数 f(x)10 x，则
24、f(1)等于( ) A. 1 10 B10 C10ln 10 D. 1 10ln 10 解析：f(x)10 xln 10， f(1)10ln 10. 答案：C 4已知 f(x)x(Q)，若 f(1)1 4，则 等于( ) A.1 3 B. 1 2 C. 1 8 D. 1 4 解析：f(x)x，f(x)x 1，f(1)1 4. 答案：D 题型一 利用导数公式求函数的导数 例 1 求下列函数的导数： (1)yx12；(2)y 1 x4；(3)y 5 x3；(4)y3x；(5)ylog5x. 解析：(1)y(x12)12x11. (2)y 1 x4 (x 4)4x54 x5. (3)y(5x3) 3
25、 5 x 3 5x 2 5 . (4)y(3x)3xln 3. (5)y(log5x) 1 xln 5. 方法归纳 1若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解 2对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再 求导”的基本原则，避免不必要的运算失误 3要特别注意“1 x与 ln x”，“a x 与 logax”，“sin x 与 cos x”的导数区别 跟踪训练 1 若 f(x)x3，g(x)log3x, 则 f(x)g(x) _. 解析：f(x)3x2，g(x) 1 xln 3， f(x)g(x)3x2 1 xln 3. 答案：3x2 1 xln 3 题型二 利用公式求函数在某点处的导数
26、 例 2 质点的运动方程是 ssin t，求质点在 t 3时的速度 解析：v(t)s(t)cos t，v 3 cos 3 1 2. 即质点在 t 3时的速度为 1 2. 状元随笔 先求 s (t)，再求 s 3 . 方法归纳 1速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数 2求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是： (1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应 的导数值 跟踪训练 2 (1)求函数 f(x) 1 3 x 在(1,1)处的导数； (2)求函数 f(x)cos x 在 4， 2 2 处的导数 解析：(1)f(x) 1 3 x 1 3 x 1 3 4
27、 x- 3 1 33x4 ， f(1) 1 331 1 3. (2)f(x)sin x， f 4 sin 4 2 2 . 题型三 求曲线过某点的切线方程 状元随笔 1若函数 yf(x)在点 x0处的导数存在，则曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线方程是什么？ 提示 根据直线的点斜式方程，得切线方程为 yf(x0)f (x0) (x x0) 2曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？ 提示 不一定，切线只是一个局部概念，是该点处的割线 的极限位置，在其他地方可能还有一个或多个公共点 3函数在某点处的导数与导函数有什么区别和联系？ 提示 区别：函数在某点处的导数是一个定值，导函数是
28、 一个函数 联系： 函数 f(x)在 x0处的导数就是导函数 f (x)在 x x0时 的函数值 例 3 已知曲线 f(x)1 x. (1)求曲线过点 A(1,0)的切线方程； (2)求满足斜率为1 3的曲线的切线方程 解析：(1)f(x) 1 x2. 设过点 A(1,0)的切线的切点为 P x0， 1 x0 ， 则 f(x0) 1 x2 0，即该切线的斜率为 k 1 x2 0. 因为点 A(1,0)，P x0， 1 x0 在切线上， 所以 1 x00 x01 1 x2 0， 解得 x01 2.故切线的斜率 k4. 故曲线过点 A(1,0)的切线方程为 y4(x1)， 即 4xy40. (2)
29、设斜率为1 3的切线的切点为 Q a，1 a ， 由(1)知，kf(a) 1 a2 1 3，得 a 3. 所以切点坐标为 3， 3 3 或 3， 3 3 . 故满足斜率为1 3的曲线的切线方程为 y 3 3 1 3(x 3)或 y 3 3 1 3(x 3)， 即 x3y2 30 或 x3y2 30. 状元随笔 (1)点 A 不在曲线上，设切点坐标，写出切线方 程，把 A(1,0)代入求出切点坐标，进而求出切线方程 (2)设出切点坐标，由该点斜率为1 3，求出切点，进而求出 切线方程 方法归纳 1求曲线过已知点的切线方程的步骤 2若已知切线的斜率，则可根据切点处的导数即为斜率求 得切点的坐标，根
30、据点斜式写出切线方程 跟踪训练 3 试求过点 P(3,5)且与曲线 yx2相切的直线方 程 解析：y2x. 设所求切线的切点为 A(x0，y0) 点 A 在曲线 yx2上， y0 x2 0，又A 是切点， 过点 A 的切线的斜率 k2x0， 所求切线过 P(3,5)和 A(x0，y0)两点， 其斜率为y 05 x03 x2 05 x03.2x0 x2 05 x03， 解得 x01 或 x05. 从而切点 A 的坐标为(1,1)或(5,25) 当切点为(1,1)时，切线的斜率为 k12x02； 当切点为(5,25)时，切线的斜率为 k22x010. 所求的切线有两条，方程分别为 y12(x1)和
31、 y25 10(x5)，即 y2x1 和 y10 x25. 题型四 导数公式的应用 状元随笔 点 P 是曲线 yex上的任意一点， 求点 P 到直线 yx 的最小距离 提示 如图，当曲线 yex在点 P(x0，y0)处的切线与直线 yx 平行时，点 P 到直线 yx 的距离最近， 则曲线 yex在点 P(x0，y0)处的切线斜率为 1，又 y (ex) ex， ex01，得 x00，代入 yex，得 y01，即 P(0,1) 利用点到直线的距离公式得最小距离为 2 2 . 例 4 (1)已知函数 ykx 是曲线 yln x 的一条切线，则 k _. (2)求过曲线 f(x)cos x 上一点
32、P 3， 1 2 且与曲线在这点的切 线垂直的直线方程 解析：(1)设切点为(x0，y0)，y1 x，k 1 x0， y 1 x0 x，又点(x0，y0)在曲线 yln x 上， y0ln x0，ln x0 x0 x0，x0e，k 1 e. (2)因为 f(x)cos x，所以 f(x)sin x，则曲线 f(x)cos x 在点 P 3， 1 2 的切线斜率为 f 3 sin 3 3 2 ， 所以所求直线的斜率为2 3 3 ， 所求直线方程为 y1 2 2 3 3 x 3 ， 即 y2 3 3 x2 3 9 1 2. 答案：(1)1 e (2)见解析 状元随笔 求导数f x0计算f 3 所求
33、直线斜率k 1 f 3 利用点斜式写出直线方程 方法归纳 求曲线方程或切线方程时，应注意： 1切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程 也满足切线方程； 2曲线在切点处的导数就是切线的斜率； 3必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点 跟综训练 4 已知直线 ykx 是曲线 y3x的切线，则 k 的 值为_ 解析：设切点为(x0，y0) 因为 y3xln 3， 所以 k3x0ln 3， 所以 y3x0ln 3 x， 又因为(x0，y0)在曲线 y3x上， 所以 3x0ln 3 x03x0， 所以 x0 1 ln 3log3 e. 所以 keln 3. 答案：eln 3 6.1.
34、4 求导法则及其应用 最新课程标准 1.熟记基本初等函数的导数公式，并能运用这些公式求基本 初等函数的导数(重点) 2掌握导数的运算法则，并能运用法则求复杂函数的导 数(难点) 3掌握复合函数的求导法则，会求复合函数的导数(易混 点) 教材要点教材要点 知识点一 导数的运算法则 1和差的导数 f(x) g(x)_. 2积的导数 (1)f(x)g(x)_； (2)Cf(x)_. 3商的导数 fx gx _. f(x) g(x) f(x)g(x)f(x)g(x) Cf(x) gxfxfxgx g2x ， g(x)0， g(x)0 知识点二 复合函数的概念及求导法则 复合函 数的概 念 一般地，对于
35、两个函数 yf(u)和 ug(x)，如果通过变 量 u，y 可以表示成_，那么称这个函数为函数 yf(u)和 ug(x)的复合函数，记作_ 复合函 数的求 导法则 复合函数 yf(g(x)的导数和函数 yf(u)，ug(x)的导 数间的关系为dy dx_，即 y 对 x 的导数等于 _. x 的函数 yf(g(x) dy du du dx y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积 基础自测基础自测 1下列运算中正确的是( ) A若 f(x)2x，则 f(x)x2 B已知函数 y2sin xcos x，则 y2cos xsin x C已知函数 f(x)(x1)(x2)，则 f(x)2x1
36、D. sin x x2 sin xx 2 x2 解析：A 项中，由 f(x)2x，则 f(x)x2c，错误；B 项 中，由 y2sin xcos x，则 y(2sin x)(cos x)2cos x sin x，正确；C 项中，由 f(x)(x1)(x2)x23x2，所以 f(x)2x3， 错误； D 项中， sin x x2 sin xx 2sin xx2 x22 ， 错误； 答案：B 2函数 f(x)xex的导数 f(x)( ) Aex(x1) B1ex Cx(1ex) Dex(x1) 解析：f(x)xexx(ex)exxexex(x1)，选 A. 答案：A 3若函数 f(x)exsin
37、x，则此函数图像在点(4，f(4)处的切 线的倾斜角为( ) A. 2 B0 C钝角 D锐角 解析：f(x)exsin xexcos x， f(4)e4(sin 4cos 4) 43 2，sin 40，cos 40，f(4)0. 由导数的几何意义得，切线的倾斜角为钝角 答案：C 4函数 f(x)sin(x)的导函数 f(x)_. 解析：f(x)sin(x)cos(x)(x) cos x. 答案：cos x 题型一 导数四则运算法则的应用 例 1 求下列函数的导数 (1)yx 2x2； (2)y3xex2xe； (3)y ln x x21； (4)yx2sinx 2cos x 2. 解析：(1)
38、y2x2x 3. (2)y(ln 31) (3e)x2xln 2. (3)yx 212x2 ln x xx212 . (4)yx2sinx 2cos x 2x 21 2sin x， y2x1 2cos x. 方法归纳 1解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分 2对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初 等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进 行化简(恒等变形)，然后求导这样可以减少运算量，优化解题 过程 跟踪训练 1 已知 f(x)e x x ，若 f(x0)f(x0)0，则 x0的值 为_ 解析：f(x)e xxex x x2 e xx1 x2 (x0) 由
39、 f(x0)f(x0)0，得ex 0 x01 x2 0 ex0 x0 0， 解得 x01 2. 答案：1 2 题型二 复合函数的导数 例 2 求下列函数的导数 (1)ye2x 1；(2)y 1 2x13； (3)y5log2(1x)；(4)ysin3xsin 3x. 解析： (1)函数 ye2x 1 可看作函数 yeu和 u2x1 的复合 函数， yxyu ux(eu)(2x1)2eu2e2x 1. (2)函数y 1 2x13可看作函数yu 3 和u2x1的复合函 数， yxyu ux(u 3)(2x1)6u4 6(2x1) 4 6 2x14. (3)函数y5log2(1x)可看作函数y5lo
40、g2u和u1x的复 合函数， yxyu ux(5log2u) (1x) 5 uln 2 5 x1ln 2. (4)函数 ysin3x 可看作函数 yu3和 usin x 的复合函数， 函数 ysin 3x 可看作函数 ysin v 和 v3x 的复合函数 yx(u3) (sin x)(sin v) (3x) 3u2 cos x3cos v 3sin2x cos x3cos 3x. 状元随笔 先分析函数是怎样复合而成的， 找出中间变量， 分层求导 方法归纳 1解答此类问题常犯两个错误 (1)不能正确区分所给函数是否为复合函数； (2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数 复合而成 2
41、复合函数求导的步骤 跟踪训练 2 求下列函数的导数 (1)ycos(x3)； (2)y(2x1)3； (3)ye 2x1. 解析：(1)函数 ycos(x3)可以看作函数 ycos u 和 ux 3 的复合函数， 由复合函数的求导法则可得 yxyu ux(cos u) (x3) sin u 1sin usin(x3) (2)函数 y(2x1)3可以看作函数 yu3和 u2x1 的复合 函数， 由复合函数的求导法则可得 yxyu ux(u3) (2x1) 3u2 26u26(2x1)2. (3)ye 2x1 (2x1)2e2x1. 题型三 导数法则的综合应用 状元随笔 试说明复合函数 y(3x
42、2)2的导函数是如何 得出的？ 提示 函数 y(3x 2)2可看作函数 yu2和 u3x 2 的复合函数， yxyu ux(u2) (3x 2) 6u6(3x 2) 例 3 已知函数 f(x)ax22ln(2x)(aR)，设曲线 yf(x) 在点(1，f(1)处的切线为 l，若直线 l 与圆 C：x2y21 4相切，求 实数 a 的值 解析：因为 f(1)a，f(x)2ax 2 x2(x0 f(x)0 Bf(3)0 Cf(3)0 Df(3)的正负不确定 解析：由图像可知，函数 f(x)在(1,5)上单调递减，则在(1,5) 上有 f(x)0，故 f(3)0，解得 x1， 故 f(x)的单调递增
43、区间是(1，) 答案：(1，) 题型一 函数单调性与导数的正负的关系 例 1 (1)函数 yf(x)的图像如图所示，给出以下说法： 函数 yf(x)的定义域是1,5； 函数 yf(x)的值域是(，02,4； 函数 yf(x)在定义域内是增函数； 函数 yf(x)在定义域内的导数 f(x)0. 其中正确的序号是( ) A B C D A (2)设函数 f(x)在定义域内可导，yf(x)的图像如图所示，则 导函数 yf(x)的图像可能为( ) D (3)已知函数 f(x)的导函数 f(x)的图像如图所示， 则函数 f(x) 的图像只可能是所给选项中的( ) C 解析：(1)由图像可知，函数的定义域
44、为1,5，值域为( ，02,4，故正确，选 A. (2)由函数的图像可知：当 x0 时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正， 对照选项，应选 D. (3)导数的正负确定了函数的单调性， 从函数 f(x)的图像可知，令 f(x)0， 得 x0 或 xa(a0)， 函数在(，0)上单调递减，在(0，a)上单调递增，在(a， )上单调递减，故选 C. 答案：(1)A (2)D (3)C 状元随笔 研究一个函数的图像与其导函数图像之间的关 系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图像在 哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数， 则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间
45、内小于零， 并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致. 方法归纳 1利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简 单的多，只需判断导数在该区间内的正负即可 2通过图像研究函数单调性的方法 (1)观察原函数的图像重在找出“上升”“下降”产生变化 的点，分析函数值的变化趋势； (2)观察导函数的图像重在找出导函数图像与 x 轴的交点， 分 析导数的正负 跟踪训练 1 (1)函数 yf(x)的图像如图所示，则其导函数 y f(x)的图像可能是( ) A (2)函数 yf(x)在定义域 R 上可导，其导函数的图像如图所 示，则函数 yf(x)的单调递增区间为_ (2，1)，(1,3)，(4，) 解
46、析： (1)由函数 yf(x)的图像可知其单调性从左向右依次 为单调递增、单调递减、单调递增、单调递减，所以其导函数 y f(x)的图像从左向右依次在 x 轴上方、下方、上方、下方通 过观察可知，只有选项 A 符合题意 (2)函数 yf(x)的单调递增区间为其导函数的图像在 x 轴上 方的部分对应的区间， 观察图像知， 函数 yf(x)的单调递增区间 为(2，1)，(1,3)，(4，) 答案：(1)A (2)(2，1)，(1,3)，(4，) 题型二 利用导数求函数的单调区间 例 2 (1)求函数 f(x)2x39x212x1 的单调减区间 (2)求函数 f(x)xa x(a0)的单调区间 解析
47、：(1)f(x)6x218x12，令 f(x)0，即 6x218x 120，解得 1x2.f(x)的单调减区间为(1,2) (2)f(x)xa x的定义域是(，0)(0，)，f(x)1 a x2. 当 a0 时，令 f(x)1 a x20，解得 x a或 x a； 令 f(x)1 a x20，解得 ax0 或 0 x a；当 a0 恒成立， 所以当 a0 时，f(x)的单调递增区间为(， a)和( a， )；单调递减区间为( a，0)和(0， a) 当 a0 和 a0 求得单调增区间，由 f (x)0(或 f(x)0 时，f(x)在相应的区间上是增函数；当 f(x)0，可得 x1. 即函数 f
48、(x)exex，xR 的单调增区间为 (1，)，故选 D. (2)函数的定义域为(0，)，又 f(x)1 x1， 由 f(x)1 x10，得 0 x1，所以 3x23. 所以 a3，即 a 的取值范围是(，3 (2)令 y0，得 x2a 3. 若 a0，则 x2a 3恒成立，即 y0 恒成立， 此时，函数 yx3axb 在 R 上是增函数，与题意不符 若 a0，令 y0，得 x a 3或 x0，函数在(1，)上单调递增， 不符合题意 当 a0 时，函数 y 在(1，)上不单调，即 y3x2a 0 在区间(1，)上有根由 3x2a0 可得 x a 3或 x a 3(舍去) 依题意，有 a 31，a3， 所以 a 的取值范围是(3，) 6.2.2 导数与函数的极值、最值 最新课程标准 1.理解极值、 极值点的概念， 明确极值存在的条件 (易混点) 2会求函数的极值(重点) 3会求函数在闭区间上的最值 4能利用导数解决与函数极值、最值相关的综合问题(难
