1、6.1.4 求导法则及其应用 最新课程标准 1.熟记基本初等函数的导数公式，并能运用这些公式求基本 初等函数的导数(重点) 2掌握导数的运算法则，并能运用法则求复杂函数的导 数(难点) 3掌握复合函数的求导法则，会求复合函数的导数(易混 点) 教材要点教材要点 知识点一 导数的运算法则 1和差的导数 f(x) g(x)_. 2积的导数 (1)f(x)g(x)_； (2)Cf(x)_. 3商的导数 fx gx _. f(x) g(x) f(x)g(x)f(x)g(x) Cf(x) gxfxfxgx g2x ， g(x)0， g(x)0 知识点二 复合函数的概念及求导法则 复合函 数的概 念 一般
2、地，对于两个函数 yf(u)和 ug(x)，如果通过变 量 u，y 可以表示成_，那么称这个函数为函数 yf(u)和 ug(x)的复合函数，记作_ 复合函 数的求 导法则 复合函数 yf(g(x)的导数和函数 yf(u)，ug(x)的导 数间的关系为dy dx_，即 y 对 x 的导数等于 _. x 的函数 yf(g(x) dy du du dx y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积 基础自测基础自测 1下列运算中正确的是( ) A若 f(x)2x，则 f(x)x2 B已知函数 y2sin xcos x，则 y2cos xsin x C已知函数 f(x)(x1)(x2)，则 f(x)
3、2x1 D. sin x x2 sin xx 2 x2 解析：A 项中，由 f(x)2x，则 f(x)x2c，错误；B 项 中，由 y2sin xcos x，则 y(2sin x)(cos x)2cos x sin x，正确；C 项中，由 f(x)(x1)(x2)x23x2，所以 f(x)2x3， 错误； D 项中， sin x x2 sin xx 2sin xx2 x22 ， 错误； 答案：B 2函数 f(x)xex的导数 f(x)( ) Aex(x1) B1ex Cx(1ex) Dex(x1) 解析：f(x)xexx(ex)exxexex(x1)，选 A. 答案：A 3若函数 f(x)ex
4、sin x，则此函数图像在点(4，f(4)处的切 线的倾斜角为( ) A. 2 B0 C钝角 D锐角 解析：f(x)exsin xexcos x， f(4)e4(sin 4cos 4) 43 2，sin 40，cos 40，f(4)0. 由导数的几何意义得，切线的倾斜角为钝角 答案：C 4函数 f(x)sin(x)的导函数 f(x)_. 解析：f(x)sin(x)cos(x)(x) cos x. 答案：cos x 题型一 导数四则运算法则的应用 例 1 求下列函数的导数 (1)yx 2x2； (2)y3xex2xe； (3)y ln x x21； (4)yx2sinx 2cos x 2. 解析
5、：(1)y2x2x 3. (2)y(ln 31) (3e)x2xln 2. (3)yx 212x2 ln x xx212 . (4)yx2sinx 2cos x 2x 21 2sin x， y2x1 2cos x. 方法归纳 1解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分 2对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初 等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进 行化简(恒等变形)，然后求导这样可以减少运算量，优化解题 过程 跟踪训练 1 已知 f(x)e x x ，若 f(x0)f(x0)0，则 x0的值 为_ 解析：f(x)e xxex x x2 e xx1 x2 (x
6、0) 由 f(x0)f(x0)0，得ex 0 x01 x2 0 ex0 x0 0， 解得 x01 2. 答案：1 2 题型二 复合函数的导数 例 2 求下列函数的导数 (1)ye2x 1；(2)y 1 2x13； (3)y5log2(1x)；(4)ysin3xsin 3x. 解析： (1)函数 ye2x 1 可看作函数 yeu和 u2x1 的复合 函数， yxyu ux(eu)(2x1)2eu2e2x 1. (2)函数y 1 2x13可看作函数yu 3 和u2x1的复合函 数， yxyu ux(u 3)(2x1)6u4 6(2x1) 4 6 2x14. (3)函数y5log2(1x)可看作函数
7、y5log2u和u1x的复 合函数， yxyu ux(5log2u) (1x) 5 uln 2 5 x1ln 2. (4)函数 ysin3x 可看作函数 yu3和 usin x 的复合函数， 函数 ysin 3x 可看作函数 ysin v 和 v3x 的复合函数 yx(u3) (sin x)(sin v) (3x) 3u2 cos x3cos v 3sin2x cos x3cos 3x. 状元随笔 先分析函数是怎样复合而成的， 找出中间变量， 分层求导 方法归纳 1解答此类问题常犯两个错误 (1)不能正确区分所给函数是否为复合函数； (2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数 复合
8、而成 2复合函数求导的步骤 跟踪训练 2 求下列函数的导数 (1)ycos(x3)； (2)y(2x1)3； (3)ye 2x1. 解析：(1)函数 ycos(x3)可以看作函数 ycos u 和 ux 3 的复合函数， 由复合函数的求导法则可得 yxyu ux(cos u) (x3) sin u 1sin usin(x3) (2)函数 y(2x1)3可以看作函数 yu3和 u2x1 的复合 函数， 由复合函数的求导法则可得 yxyu ux(u3) (2x1) 3u2 26u26(2x1)2. (3)ye 2x1 (2x1)2e2x1. 题型三 导数法则的综合应用 状元随笔 试说明复合函数 y
9、(3x 2)2的导函数是如何 得出的？ 提示 函数 y(3x 2)2可看作函数 yu2和 u3x 2 的复合函数， yxyu ux(u2) (3x 2) 6u6(3x 2) 例 3 已知函数 f(x)ax22ln(2x)(aR)，设曲线 yf(x) 在点(1，f(1)处的切线为 l，若直线 l 与圆 C：x2y21 4相切，求 实数 a 的值 解析：因为 f(1)a，f(x)2ax 2 x2(x2)， 所以 f(1)2a2， 所以切线 l 的方程为 2(a1)xy2a0. 因为直线 l 与圆相切，所以圆心到直线 l 的距离等于半径， 即 d |2a| 4a121 1 2，解得 a 11 8 .
10、 状元随笔 求出导数 f (1)， 写出切线方程， 由直线 l 与圆 C 相切，建立方程求解 方法归纳 关于复合函数导数的应用及其解决方法 1复合函数的导数应用主要有：求在某点处的切线方程， 已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用 2方法：先求出复合函数的导数，若已知切点则求出切线 斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线 斜率，再根据条件求切点坐标总之，在解决此类问题时切点起 着至关重要的作用 跟踪训练 3 (1)曲线 y3(x2x)ex在点(0,0)处的切线方程为_ (2)设 f(x)x3ax2bx1 的导数 f(x)满足 f(1)2a， f(2)b，其中常
11、数 a，bR.求曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的 切线方程 解析： (1)因为 y3(x2x)ex， 所以 y3(x23x1)ex， 所以 y|x03， 故曲线 y3(x2x)ex在点(0,0)处的切线方程为 y03(x0)，即 y3x. (2)因为 f(x)x3ax2bx1，所以 f(x)3x22axb. 令 x1，得 f(1)32ab，又 f(1)2a，所以 32ab2a，解 得 b3. 令 x2，得 f(2)124ab，又 f(2)b， 所以 124abb，解得 a3 2. 则 f(x)x33 2x 23x1，从而 f(1)5 2. 又 f(1)2 3 2 3，所以曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 y 5 2 3(x1)，即 6x2y10. 答案：(1)y3x (2)见解析
