1、第第 3 3 课时课时 圆锥曲线中的证明、探索性问题圆锥曲线中的证明、探索性问题 技法阐释 1.圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等； 数量关系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等在熟悉圆锥曲 线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法. 2.“肯定顺推法”解决探索性问题，即先假设结论成立，用待定系数法列出相应参数的 方程，倘若相应方程有解，则探索的元素存在(或命题成立)，否则不存在(或不成立). 高考示例 思维过程 (2018 全国卷)已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C：x 2 4 y2 31 交于 A，B 两点
2、，线段 AB 的中点为 M(1，m)(m0). (1)证明：k0)， 直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标 轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M. (1)证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值； (2)若 l 过点 m 3，m ，延长线段 OM 与 C 交于点 P，四边形 OAPB 能否为平行 四边形？若能，求此时 l 的斜率；若不能，说明理由 思维流程 解 (1)证明：设直线 l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM， yM) 将 ykxb 代入 9x2y2m2，得(k29)x22kbxb2m20， 故 xMx 1x2 2
3、 kb k29，yMkxMb 9b k29. 于是直线 OM 的斜率 kOMyM xM 9 k，即 kOM k9. 所以直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值 (2)四边形 OAPB 能为平行四边形 因为直线 l 过点 m 3，m ， 所以 l 不过原点且与 C 有两个交点的充要条件是 k0， k3. 由(1)得 OM 的方程为 y9 kx. 设点 P 的横坐标为 xP. 由 y9 kx， 9x2y2m2， 得 x 2 P k2m2 9k281，即 xP km 3k29. 将点 m 3，m 的坐标代入直线 l 的方程得 b m3k 3 ， 因此 xMkk3m 3k29 . 四边形 OAP
4、B 为平行四边形，当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分，即 xP 2xM. 于是 km 3 k292 kk3m 3k29 ，解得 k14 7，k24 7. 因为 ki0，ki3，i1,2，所以当直线 l 的斜率为 4 7或 4 7时，四边形 OAPB 为平行四边形 点评：本例题干信息中涉及几何图形：平行四边形，把几何关系用数量关系 等价转化是求解此类问题的关键几种常见几何条件的转化如下： (1)平行四边形条件的转化 几何性质 代数实现 对边平行 斜率相等，或向量平行 对边相等 长度相等，横(纵)坐标差相等 对角线互相平分 中点重合 (2)圆条件的转化 几何性质 代数实现 点在圆上 点与直径端点向量数量积为零 点在圆外 点与直径端点向量数量积为正数 点在圆内 点与直径端点向量数量积为负数 (3)角条件的转化 几何性质 代数实现 锐角、直角、钝角 角的余弦(向量数量积)的符号 倍角、半角、平分角 角平分线性质、定理 等角(相等或相似) 比例线段或斜率
