1、变量间的相关关系、统计案例变量间的相关关系、统计案例 考试要求 1.会做两个有关联变量的数据的散点图， 并利用散点图认识变量 间的相关关系. 2.了解最小二乘法的思想， 能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归 方程(线性回归系数公式不要求记忆). 3.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用. 4.了解独立性检验(只要求 22 列联表)的思想、方法及其初步应用 1两个变量的线性相关 (1)正相关 在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关 关系，我们将它称为正相关 (2)负相关 在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系 称为负相关 (3)
2、线性相关关系、回归直线 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之 间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线 2回归方程 (1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫 做最小二乘法 (2)回归方程：方程y bxa是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1， y1)，(x2，y2)，(xn，yn)的回归方程，其中a ，b是待定参数 3回归分析 (1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法 (2)样本点的中心 对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中( x ， y )称为样本点的中心，
3、即回归直线经过点( x ， y ) (3)相关系数 当 r0 时，表明两个变量正相关； 当 r0 时，表明两个变量负相关 r 的绝对值越接近于 1，表明两个变量的线性相关性越强r 的绝对值越接近 于 0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系通常|r|大于 0.75 时，认为两个 变量有很强的线性相关性 4独立性检验 (1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为 分类变量 (2)列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表假设有两个分类变量 X 和 Y，它们的可能取值分别为x1，x2和y1，y2，其样本频数列联表(称为 22 列 联表)为 22 列联表 y1 y2 总
4、计 x1 a b ab x2 c d cd 总计 ac bd abcd 构造一个随机变量 K2 nadbc2 abacbdcd， 其中 nabcd 为样本 容量 常用结论 1回归直线必过样本点的中心( x ， y ) 2当两个变量的相关系数|r|1 时，两个变量呈函数关系 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系 ( ) (2)通过回归直线方程y bxa可以估计预报变量的取值和变化趋势( ) (3)因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没有必要进行 相关性检验 ( ) (4)事件 X，Y 关系越密切，则由
5、观测数据计算得到的 K2的观测值越大 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材习题衍生 1在两个变量 y 与 x 的回归模型中，分别选择了 4 个不同模型，它们的相关 指数 R2如下，其中拟合效果最好的是( ) A模型 1 的相关指数 R2为 0.98 B模型 2 的相关指数 R2为 0.80 C模型 3 的相关指数 R2为 0.50 D模型 4 的相关指数 R2为 0.25 A R2越接近于 1，其拟合效果越好 2下面是 22 列联表： y1 y2 总计 x1 a 21 73 x2 22 25 47 总计 b 46 120 则表中 a，b 的值分别为( ) A94,72 B52
6、,50 C52,74 D74,52 C a2173，a52.又 a22b，b74. 3为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取 50 名 学生，得到如下 22 列联表： 理科 文科 男 13 10 女 7 20 已知 P(K23.841)0.05，P(K25.024)0.025. 根据表中数据，得到 K2的观测值 k501320107 2 23272030 4.844.则认为选 修文科与性别有关系出错的可能性约为 5% K2的观测值 k4.844，这表明小概率事件发生根据独立性检验，应 该断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立，并且这种判断出错的可能性约 为 5%. 4某同
7、学家里开了一个小卖部，为了研究气温对某种冷饮销售量的影响，他 收集了一段时间内这种冷饮每天的销售量 y(杯)与当天最高气温 x()的有关数据， 通过描绘散点图，发现 y 和 x 呈线性相关关系，并求得其回归方程y 2x60.如果 气象预报某天的最高气温为 34 ，则可以预测该天这种饮料的销售量为 杯 128 由题意 x34 时，该小卖部大约能卖出冷饮的杯数y 2 3460128 杯 考点一 相关关系的判断 判定两个变量正、负相关的方法 (1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左 上角到右下角，两个变量负相关 (2)相关系数：r0 时，正相关；r0 时，负相关 (3)
8、线性回归直线方程中：b 0 时，正相关；b400 空气质量好 空气质量不好 附：K2 nadbc2 abcdacbd， P(K2k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 . 解 (1)由所给数据，该市一天的空气质量等级为 1,2,3,4 的概率的估计值如 表： 空气质量等级 1 2 3 4 概率的估计值 0.43 0.27 0.21 0.09 (2)一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为 1 100(100203003550045)350. (3)根据所给数据，可得 22 列联表： 人次400 人次400 空气质量好 33 37 空气质量不好 22 8
9、 根据列联表得 K21003382237 2 55457030 5.820. 由于 5.8203.841， 故有 95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当 天的空气质量有关 点评：独立性检验是判断两个分类变量之间是否有关系的一种方法在判断 两个分类变量之间是否有关系时，作出等高条形图只能近似地判断两个分类变量 是否有关系，而独立性检验可以精确地得到可靠的结论 跟进训练 1 党的十九大报告明确提出： 在共享经济等领域培育增长点、 形成新动能 共 享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现 象为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门 进行
10、共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图， 最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是( ) A B C D D 根据四个选项中的等高条形图可知，选项 D 中共享与不共享的企业经济 活跃度的差异较大，且最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果，故选 D 2(2020 新高考全国卷)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对 某市空气质量进行调研，随机抽查了 100 天空气中的 PM2.5 和 SO2浓度(单位： g/m3)，得下表： SO2 PM2.5 0,50 (50,150 (150,475 0,35 32 18 4 (35,75 6 8 12 (75,1
11、15 3 7 10 (1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75， 且SO2浓度不超过150” 的概率； (2)根据所给数据，完成下面的 22 列联表： SO2 PM2.5 0,150 (150,475 0,75 (75,115 (3)根据(2)中的列联表，判断是否有 99%的把握认为该市一天空气中 PM2.5 浓 度与 SO2浓度有关？ 附：K2 nadbc2 abcdacbd， 解 (1)根据抽查数据，该市 100 天空气中的 PM2.5 浓度不超过 75，且 SO2 浓度不超过 150 的天数为 32186864，因此，该市一天空气中 PM2.5 浓度 不超过 75，且 SO2浓度不超过 150 的概率的估计值为 64 1000.64. (2)根据抽查数据，可得 22 列联表： SO2 PM2.5 0,150 (150,475 0,75 64 16 (75,115 10 10 (3)根据(2)的列联表得 K210064101610 2 80207426 7.484. 由于 7.4846.635，故有 99%的把握认为该市一天空气中 PM2.5 浓度与 SO2浓 度有关
