1、直接证明与间接证明、数学归纳法直接证明与间接证明、数学归纳法 考试要求 1.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法； 了解分析 法和综合法的思考过程和特点. 2.了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程和特点. 3.了解数学归纳法的原理. 4.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 1直接证明 (1)综合法 定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论 证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法 (2)分析法 定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把 要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等) 为止的证
2、明方法 2间接证明反证法 一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的 推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明 方法叫做反证法 3数学归纳法 一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)归纳奠基：证明当 n 取第一个值 n0(n0N*)时命题成立； (2)归纳递推：假设 nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当 nk1 时命题也 成立 只要完成这两个步骤， 就可以断定命题对从 n0开始的所有正整数 n 都成立 上 述证明方法叫做数学归纳法 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)用数学归纳法证明问题
3、时，第一步是验证当 n1 时结论成立( ) (2)综合法是直接证明，分析法是间接证明 ( ) (3)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件( ) (4)用反证法证明结论“ab”时，应假设“aQ BPQ CPQ，只需 P2Q2，即 2a132a6a72a13 2 a8a5，只需 a213a42a213a40.因为 4240 成立，所以 PQ 成 立故选 A 4已知数列an满足 an1a 2 nnan1，nN*，且 a12，则 a2 ， a3 ，a4 ，猜想 an . 3 4 5 n1 易得 a23，a34，a45，故猜想 ann1. 考点一 综合法的应用 掌握综合法证明问题的思
4、路 (1)综合法是“由因导果”的证明方法， 它是一种从已知到未知(从题设到结论) 的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系 列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性 (2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理 典例 1 设 a，b，c 均为正数，且 abc1. 证明：(1)abbcac1 3； (2)a 2 b b 2 c c 2 a1. 证明 (1)由 a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac， 得 a2b2c2abbcca， 由题设得(abc)21， 即 a2b2c22ab2bc2ca1， 所以 3(abbcca)1， 即 abbcca1 3. (2
5、)因为 a，b，c 均为正数， a2 b b2a，b 2 c c2b，c 2 aa2c， 故a 2 b b 2 c c 2 a(abc)2(abc)， 即a 2 b b 2 c c 2 aabc， 所以a 2 b b 2 c c 2 a1. 母题变迁 本例的条件不变，证明 a2b2c21 3. 证明 因为 abc1， 所以 1(abc)2a2b2c22ab2bc2ac， 因为 2aba2b2,2bcb2c2,2aca2c2， 所以 2ab2bc2ac2(a2b2c2)， 所以 1a2b2c22(a2b2c2)， 即 a2b2c21 3. 点评：(1)不等式的证明常借助基本不等式，注意其使用的前
6、提条件“一正、 二定、三相等”；(2) 应用重要不等式 a2b22ab 放缩时要注意待证不等式的方 向性 跟进训练 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin Asin Bsin Bsin C cos 2B1. (1)求证：a，b，c 成等差数列； (2)若 C2 3 ，求证：5a3b. 证明 (1)由已知得 sin Asin Bsin Bsin C2sin2B， 因为 sin B0，所以 sin Asin C2sin B， 由正弦定理，得 ac2b，即 a，b，c 成等差数列 (2)由 C2 3 ，c2ba 及余弦定理得 (2ba)2a2b2ab，即有 5ab3b2
7、0， 即 5a3b. 考点二 分析法的应用 分析法证明问题的思路及适用范围 利用分析法证明问题，先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分 条件；当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知 识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等 式，常考虑用分析法 典例 2 已知ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，A，B，C 的对边分 别为 a，b，c. 求证： 1 ab 1 bc 3 abc. 证明 要证 1 ab 1 bc 3 abc， 即证abc ab abc bc 3， 也就是 c ab a bc1， 只需证 c(bc)a(ab)(ab
8、)(bc)， 需证 c2a2acb2， 又ABC 三内角 A，B，C 成等差数列，故 B60 ， 由余弦定理，得 b2c2a22accos 60 ， 即 b2c2a2ac，故 c2a2acb2成立 于是原等式成立 点评：(1)用分析法证明时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲 证)”“即证”“只需证”等，逐步分析，直到一个明显成立的结论 (2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，如本例中，通过分析法找 出与结论等价(或充分)的中间结论“c2a2acb2”，然后通过综合法证明这个 中间结论，从而使原命题得证 跟进训练 若 a，b(1，)，证明 ab 1ab. 证明 要证 ab 1ab
9、， 只需证( ab)2( 1ab)2， 只需证 ab1ab0， 即证(a1)(1b)0. 因为 a1，b1，所以 a10,1b0， 即(a1)(1b)0 成立， 所以原不等式成立 考点三 反证法的应用 用反证法证明问题的步骤 典例 3 设 a0，b0，且 ab1 a 1 b. 证明：(1)ab2； (2)a2a2 与 b2b0，b0，得 ab1. (1)由基本不等式及 ab1， 有 ab2 ab2，即 ab2. (2)假设 a2a2 与 b2b2 同时成立，则由 a2a0，得 0a1； 同理，0b1，从而 ab1，这与 ab1 矛盾 故 a2a2 与 b2b2 不可能同时成立 点评：(1)当一
10、个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出 现时，宜用反证法来证 (2)在使用反证法证明数学命题时，反设必须恰当，如“都是”的否定是“不 都是”“至少一个”的否定是“不存在”等 跟进训练 等差数列an的前 n 项和为 Sn，a11 2，S393 2. (1)求数列an的通项公式 an与前 n 项和 Sn； (2)设 bnSn n (nN*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数 列 解 (1)设等差数列an的公差为 d. 由已知得 a1 21， 3a13d93 2， 所以 d2，故 an2n1 2，Snn(n 2)(nN*) (2)证明：由(1)得 bnSn n n 2
11、， 假设数列bn中存在三项 bp，bq，br(p，q，rN*，且互不相等)成等比数列， 则 b 2 qbpbr. 即(q 2)2(p 2)(r 2)， 所以(q2pr) 2(2qpr)0， 因为 p，q，rN*，所以 q2pr0， 2qpr0， 所以 pr 2 2 pr，(pr)20， 所以 pr，与 pr 矛盾， 所以数列bn中任意不同的三项都不可能成等比数列 考点四 数学归纳法的应用 1应用数学归纳法证明不等式应注意的问题 (1)当遇到与正整数 n 有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考 虑应用数学归纳法 (2)用数学归纳法证明不等式的关键是由 nk 成立，推证 nk1 时也成立
12、， 证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法、构 造函数法等证明方法 2利用数学归纳法可以探索与正整数 n 有关的未知问题、存在性问题，其基 本模式是“归纳猜想证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理论 证结论的正确性 典例 4 (2019 浙江高考)设等差数列an的前 n 项和为 Sn，a34，a4S3.数 列bn满足：对每个 nN*，Snbn，Sn1bn，Sn2bn成等比数列 (1)求数列an，bn的通项公式； (2)记 cn an 2bn，nN *，证明：c1c2cn2 n，nN*. 解 (1)设数列an的公差为 d， 由题意得 a12d4， a13d
13、3a13d， 解得 a10，d2， an2n2，nN*. Snn2n，nN*. 数列bn满足：对每个 nN*，Snbn，Sn1bn，Sn2bn成等比数列， (Sn1bn)2(Snbn)(Sn2bn)， 解得 bn1 d(S 2 n1SnSn2)， 即 bnn2n，nN*. (2)证明：cn an 2bn 2n2 2nn1 n1 nn1，nN *， 用数学归纳法证明： 当 n1 时，c102，不等式成立； 假设当 nk(kN*)时不等式成立， 即 c1c2ck2 k， 则当 nk1 时， c1c2ckck12k k k1k2 2k 1 k1 2k 2 k1 k2 k2( k1 k)2 k1， 即
14、 nk1 时，不等式也成立 由得 c1c2cn2 n，nN*. 点评：用数学归纳法证明与 n 有关的不等式，在归纳假设使用后可运用比较 法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用均值不等式、不等式的性 质等放缩技巧，使问题得以简化 跟进训练 已知 f (n)1 1 23 1 33 1 43 1 n3，g(n) 3 2 1 2n2，nN *. (1)当 n1,2,3 时，试比较 f (n)与 g(n)的大小关系； (2)猜想 f (n)与 g(n)的大小关系，并给出证明 解 (1)当 n1 时，f (1)1，g(1)1， 所以 f (1)g(1)； 当 n2 时，f (2)9 8，g(2)
15、 11 8 ，所以 f (2)g(2)； 当 n3 时，f (3)251 216，g(3) 312 216， 所以 f (3)g(3) (2)由(1)猜想，f (n)g(n)，用数学归纳法证明 当 n1,2,3 时，不等式显然成立 假设当 nk(k3，kN*)时不等式成立， 即 1 1 23 1 33 1 43 1 k3 3 2 1 2k2， 则当 nk1 时， f (k1)f (k) 1 k13 3 2 1 2k2 1 k13. 因为 1 2k12 1 2k2 1 k13 k3 2k13 1 2k2 3k1 2k13k20， 所以 f (k1)3 2 1 2k12g(k1) 由可知，对一切 nN*，都有 f (n)g(n)成立
