1、参数方程参数方程 考试要求 1.了解参数方程，了解参数的意义. 2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程 1曲线的参数方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y 都是某个变 数t的函数 xf t， ygt 并且对于t的每一个允许值， 由这个方程组所确定的点M(x， y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数 x，y 的变数 t 叫做参变数，简称参数 2常见曲线的参数方程和普通方程 点的 轨迹 普通方程 参数方程 直线 yy0tan (xx0) xx0tcos ， yy0tsin (t 为参数) 圆 x2y2r2 xrcos ， yr
2、sin ( 为参数) 椭圆 x2 a2 y2 b21(ab0) xacos ， ybsin ( 为参数) 常用结论 根据直线的参数方程的标准式中 t 的几何意义，有如下常用结论： 过定点 M0的直线与圆锥曲线相交，交点为 M1，M2，所对应的参数分别为 t1， t2. (1)弦长 l|t1t2|； (2)弦 M1M2的中点t1t20； (3)|M0M1|M0M2|t1t2|. 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)参数方程 xf t， ygt 中的 x，y 都是参数 t 的函数 ( ) (2)过 M0(x0，y0)，倾斜角为 的直线 l 的参数方程为 xx0tcos ， yy0
3、tsin (t 为参 数)参数 t 的几何意义表示：直线 l 上以定点 M0为起点，任一点 M(x，y)为终点 的有向线段M0M 的数量 ( ) (3)方程 x2cos ， y12sin 表示以点(0,1)为圆心，以 2 为半径的圆 ( ) (4)已知椭圆的参数方程 x2cos t， y4sin t (t 为参数)，点 M 在椭圆上，对应参数 t 3，点 O 为原点，则直线 OM 的斜率为 3. ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材习题衍生 1曲线 x1cos ， y2sin ( 为参数)的对称中心( ) A在直线 y2x 上 B在直线 y2x 上 C在直线 yx1 上 D在
4、直线 yx1 上 B 由 x1cos ， y2sin ， 得 cos x1， sin y2， 所以(x1)2(y2)21. 曲线是以(1,2)为圆心，1 为半径的圆， 所以对称中心为(1,2)，在直线 y2x 上 2直线 x11 2t， y3 3 3 2 t (t 为参数)和圆 x2y216 交于 A，B 两点，则线 段 AB 的中点坐标为( ) A(3，3) B( 3，3) C( 3，3) D(3， 3) D 将直线方程代入圆的方程，得 11 2t 2 3 3 3 2 t 2 16，整理，得 t2 8t120，则 t1t28， t1t2 2 4，故其中点坐标满足 x11 24， y3 3 3
5、 2 4， 解得 x3， y 3. 3曲线 C 的参数方程为 xsin ， ycos 21 ( 为参数)，则曲线 C 的普通方程 为 y22x2(1x1) 由 xsin ， ycos 21 ( 为参数)消去参数 ，得 y2 2x2(1x1) 4在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 l： xt， yta (t 为参数)过椭圆 C： x3cos ， y2sin ( 为参数)的右顶点，则 a . 3 直线 l 的普通方程为 xya0，椭圆 C 的普通方程为x 2 9 y2 41，椭 圆 C 的右顶点坐标为(3,0)，若直线 l 过(3,0)，则 3a0，a3. 考点一 参数方程与普通方程的互化 将参
6、数方程化为普通方程的方法 (1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消 参方法常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含 三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如 sin2cos21 等 (2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要出现增解 1将下列参数方程化为普通方程 (1) x1 t， y1 t t21 (t 为参数)； (2) x2sin2， y1cos 2 ( 为参数)； (3) x 2t2 1t2， y42t 2 1t2 (t 为参数) 解 (1) 1 t 2 1 t t21 2 1， x2y21. t210，
7、t1 或 t1. 又 x1 t，x0. 当 t1 时，0 x1； 当 t1 时，1x0， 所求普通方程为 x2y21， 其中 0 x1， 0y1 或 1x0， 1y0. (2)y1cos 2112sin22sin2， sin2x2， y2x4， 2xy40. 0sin21， 0 x21，2x3， 所求的普通方程为 2xy40(2x3) (3)因为 x 2t2 1t2， y42t 2 1t2 41t 26t2 1t2 43 2t2 1t243x. 又 x 2t2 1t2 21t22 1t2 2 2 1t20,2)， 所以所求的普通方程为 3xy40(x0,2) 2(2020 全国卷)在直角坐标系
8、 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 xcoskt， ysinkt (t 为参数)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐 标方程为 4cos 16sin 30. (1)当 k1 时，C1是什么曲线？ (2)当 k4 时，求 C1与 C2的公共点的直角坐标 解 (1)当 k1 时，C1： xcos t， ysin t， 消去参数 t 得 x2y21，故曲线 C1是 圆心为坐标原点，半径为 1 的圆 (2)当 k4 时，C1： xcos4 t， ysin4 t， 消去参数 t 得 C1的普通方程为 x y1. C2的直角坐标方程为 4x16y30. 由 x y1， 4x
9、16y30， 解得 x1 4， y1 4. 故 C1与 C2的公共点的直角坐标为 1 4， 1 4 . 点评： 将参数方程化为普通方程时， 要注意防止变量 x 和 y 取值范围的扩大或 缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数 f (t)和 g(t)的值域，即 x 和 y 的取值范 围 考点二 参数方程的应用 1.直线的参数方程中 t 的几何意义 经过点 P0(x0， y0)， 倾斜角为 的直线 l 的参数方程为 xx0tcos ， yy0tsin (t 为参 数)，其中 t 的几何意义是：|t|表示以点 P0(x0，y0)为起点，P(x，y)为终点的有向线 段P0P 的长度，即|t|P0P |
10、.当 t0 时，P0P 的方向向上；当 t0 时，P0P 的方向向下； 当 t0 时，点 P 与点 P0重合 2直线的参数方程中 t 的应用 经过点 P(x0，y0)，倾斜角为 的直线 l 的参数方程为 xx0tcos ， yy0tsin (t 为参 数)若 A，B 为直线 l 上的两点，对应的参数分别为 tA，tB，线段 AB 的中点为 M， 点 M 所对应的参数为 tM，则有 (1)tMt AtB 2 ； (2)|AB|tAtB|tAtB24tAtB； (3)|PA| |PB|tA| |tB|； (4)|PM| |tM| tAtB 2 ；(5)若定点 P 是线段 AB 的中点，则 tAtB
11、0；(6)|PA|PB|tA| |tB|. 解决此类题的关键如下： 统一，将曲线的方程统一为直角坐标系下的方程或者极坐标系下的方程； 联立，联立直线的参数方程和曲线的普通方程； 求值，根据 t 的几何意义求解 典例 1 (1)(2019 全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 x1t 2 1t2， y 4t 1t2 (t 为参数)，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐 标系，直线 l 的极坐标方程为 2cos 3sin 110. 求 C 和 l 的直角坐标方程； 求 C 上的点到 l 距离的最小值 (2)在平面直角坐标系 xOy 中，O 的参数方程为 xcos
12、 ， ysin ( 为参数)，过 点(0， 2)且倾斜角为 的直线 l 与O 交于 A，B 两点 求 的取值范围； 求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程 解 (1)因为11t 2 1t21，且 x 2 y 2 2 1t2 1t2 2 4t2 ()1t2 21， 所以 C 的直角坐标方程为 x2y 2 41(x1) l 的直角坐标方程为 2x 3y110. 由可设 C 的参数方程为 xcos ， y2sin ( 为参数，) C 上的点到 l 的距离为|2cos 2 3sin 11| 7 4cos 3 11 7 . 当 2 3 时，4cos 3 11 取得最小值 7，故 C 上的点到 l 距离的最
13、小值 为 7. (2)O 的直角坐标方程为 x2y21. 当 2时，l 与O 交于两点 当 2时，记 tan k，则 l 的方程为 ykx 2.l 与O 交于两点当且仅当 2 1k2 1， 解得 k1 或 k1， 即 4， 2 或 2， 3 4 . 综上， 的取值范围是 4， 3 4 . l 的参数方程为 xtcos ， y 2tsin (t 为参数， 4 3 4 ) 设 A，B，P 对应的参数分别为 tA，tB，tP， 则 tPt AtB 2 ， 且 tA，tB满足 t22 2tsin 10. 于是 tAtB2 2sin ，tP 2sin . 又点 P 的坐标(x，y)满足 xtPcos ，
14、 y 2tPsin ， 所以点 P 的轨迹的参数方程是 x 2 2 sin 2， y 2 2 2 2 cos 2 为参数， 4 3 4 . 点评：(1)对于形如 xx0at， yy0bt (t 为参数)，当 a2b21 时，应先化为标准 形式后才能利用 t 的几何意义解题；(2)椭圆的参数方程实质是三角代换求点到直 线距离的最大值，一般利用曲线的参数方程及点到直线的距离公式把距离最值转 化为三角函数求最大值 跟进训练 1(2020 广州市调研检测)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 xm 1 m ym 1 m (m 为参数)以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标
15、系，直线 l 的极坐标方程为 3sin cos 30. (1)求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； (2)已知点 P(0,1)，直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求 1 |PA| 1 |PB|的值 解 (1)因为 xm 1 m ym 1 m ， 所以 x2 m 1 m 2 m2 1 m22 y2 m 1 m 2 m2 1 m22 ，所以 x2y24. 所以曲线 C 的普通方程为 x2y24. 因为 cos x，sin y， 所以 3yx 30. 所以直线 l 的直角坐标方程为 x 3y 30. (2)法一：由 x 3y 30 x2y24 ， 不妨取 A 31 11 2 ，
16、3 11 2 ，B 31 11 2 ，3 11 2 . 因为点 P(0,1)， 所以|PA| 111，|PB| 111. 所以 1 |PA| 1 |PB| 1 111 1 111 11 5 . 法二：因为点 P(0,1)在直线 l 上，所以直线 l 的参数方程为 x 3 2 t y11 2t (t 为 参数)， 设 A，B 对应的参数分别为 t1，t2， 将 x 3 2 t， y11 2t 代入 x2y24， 得 t22t100， (2)241(10)440， 所以 t1t22，t1 t2100. 因为|PA|t1|，|PB|t2|， 所以 1 |PA| 1 |PB| 1 |t1| 1 |t2
17、| |t1t2| |t1t2| t1t224t1t2 |t1t2| 440 10 11 5 ， 所以 1 |PA| 1 |PB| 11 5 . 2(2020 江西五校联考)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 x43cos y3sin ( 为参数)，直线 l 的参数方程为 xtcos ytsin (t 为参数，0)， 以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 (1)求曲线 C 的极坐标方程； (2)已知直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，且|OA|OB|2 5，求 . 解 (1)由曲线 C 的参数方程可得普通方程为(x4)2y29， 即 x2y28x70
18、， 又 x2y22，xcos ，所以曲线 C 的极坐标方程为 28cos 70. (2)由直线 l 的参数方程可得直线 l 的极坐标方程为 (R)，因为直线 l 与 曲线 C 相交于 A， B 两点， 所以设 A(1， )， B(2， )， 联立得 28cos 70 ， 可得 28cos 70， 因为 64cos2280，所以 cos2 7 16，128cos ，127， 所以|OA|OB|12| 122412 64cos2282 5， 解得 cos 3 2 ，所以 6或 5 6 . 考点三 极坐标、参数方程的综合应用 处理极坐标、参数方程综合问题的方法 (1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题
19、，求解的一般方法是分别化为普通方 程和直角坐标方程后求解当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程 (2)数形结合的应用， 即充分利用参数方程中参数的几何意义， 或者利用 和 的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的 典例 2 (1)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1： xtcos ， ytsin (t 为参数，t0)， 其中 0，在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：2sin ，曲线 C3：2 3cos . 求 C2与 C3交点的直角坐标； 若 C1与 C2相交于点 A，C1与 C3相交于点 B，求 AB 的最大值 (2)在直角坐标系 xOy 中，直线 l1
20、的参数方程为 x2t， ykt (t 为参数)，直线 l2的参数方程为 x2m， ym k (m 为参数)设 l1与 l2的交点为 P，当 k 变化时， P 的轨迹为曲线 C 写出 C 的普通方程； 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 l3：(cos sin ) 20，M 为 l3与 C 的交点，求 M 的极径 解 (1)曲线 C2的直角坐标方程为 x2y22y0， 曲线 C3的直角坐标方程 为 x2y22 3x0. 联立 x2y22y0， x2y22 3x0， 解得 x0， y0 或 x 3 2 ， y3 2. 所以 C2与 C3交点的直角坐标为(0,0)和 3 2 ，3
21、2 . 曲线 C1的极坐标为方程 (R，0)，其中 0. 因此 A 的极坐标为(2sin ，)，B 的极坐标为(2 3cos ，)， 所以 AB|2sin 2 3cos |4 sin 3 . 当 5 6 时，AB 取得最大值，最大值为 4. (2)消去参数 t，得 l1的普通方程 l1：yk(x2)； 消去参数 m，得 l2的普通方程 l2：y1 k(x2) 设 P(x，y)，由题设得 ykx2， y1 kx2， 消去 k 得 x2y24(y0)， 所以 C 的普通方程为 x2y24(y0) C 的极坐标方程为 2(cos2sin2)4(02，)， 联立 2cos2sin24， cos sin
22、 20 得 cos sin 2(cos sin ) 故 tan 1 3，从而 cos 29 10，sin 21 10. 代入 2(cos2sin2)4 得 25， 所以交点 M 的极径为 5. 点评：(1)求交点坐标、距离、线段长可先求出直角坐标方程，然后求解； (2)判断位置关系先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断；(3)求参数方程 与极坐标综合的问题一般是先将方程化为直角坐标方程，利用直角坐标方程来 研究问题 跟进训练 1(2020 郑州市第一次质量预测)在平面直角坐标系 xOy 中 ，已知曲线 E 经 过点 P 1，3 2 ，其参数方程为 xacos y 3sin ( 为参数)，以原
23、点 O 为极点，x 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系 (1)求曲线 E 的极坐标方程； (2)若直线 l 交曲线 E 于点 A，B，且 OAOB，求证： 1 |OA|2 1 |OB|2为定值，并 求出这个定值 解 (1)将点 P 1，3 2 代入曲线 E 的参数方程， 得 1acos 3 2 3sin ，解得 a24， 所以曲线 E 的普通方程为x 2 4 y2 31， 极坐标方程为 2 1 4cos 21 3sin 2 1. (2)不妨设 A(1，)，B 2， 2 ，10，20， 则 1 4 2 1cos21 3 2 1sin21 1 4 2 2cos2 2 1 3 2 2sin2 2 1 ，
24、 即 1 21 1 4cos 21 3sin 2 1 22 1 4sin 21 3cos 2 ， 1 21 1 22 1 4 1 3 7 12，即 1 |OA|2 1 |OB|2 7 12，为定值 2(2020 长沙市统一模拟考试)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1的参数方程 为 xt 3 ykt (t 为参数)，直线 l2的参数方程为 x 3m y m 3k (m 为参数)设直线 l1与 l2的交点为 P，当 k 变化时点 P 的轨迹为曲线 C1. (1)求出曲线 C1的普通方程； (2)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 C2的极坐标 方程为 sin 4 3 2
25、，点 Q 为曲线 C1上的动点，求点 Q 到直线 C2的距离的最 大值 解 (1)分别消去 l1，l2的参数方程中的参数，得 l1，l2的普通方程为 l1：yk(x 3)， l2：y 1 3k( 3x)， 两式相乘消去 k 可得x 2 3y 21， 因为 k0，所以 y0，所以曲线 C1的普通方程为x 2 3y 21(y0) (2)因为 sin 4 3 2，所以 sin cos 6， 将 xcos ，ysin 代入上式，得直线 C2的直角坐标方程为 xy60. 结合(1)知曲线 C1与直线 C2无公共点 曲线 C1的参数方程为 x 3cos ysin ( 为参数，k，kZ)， 所以曲线 C1上的点 Q( 3cos ，sin )到直线 xy60 的距离 d| 3cos sin 6| 2 |2sin 3 6| 2 ， 所以当 sin 3 1 时，d 取得最大值，为 4 2.
