1、热点热点 1 1 坚持立德树人，倡导坚持立德树人，倡导“五育五育”并举并举 例 1 德育为先 立德树人 (2020 全国卷)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天 能完成 1 200 份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压为解决困难， 许多志愿者踊跃报名参加配货工作已知该超市某日积压 500 份订单未配货，预 计第二天的新订单超过 1 600 份的概率为 0.05.志愿者每人每天能完成 50 份订单的 配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于 0.95，则至少需 要志愿者( ) A10 名 B18 名 C24 名 D32 名 B 第二天的新订单超过 1 6
2、00 份的概率为 0.05，就按 1 600 份计算，第二天 完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于 0.95 就按 1 200 份计算，因为公司 可以完成配货 1 200 份订单，则至少需要志愿者为1 6005001 200 50 18 名，故 选 B 考法点津 本题以志愿者参加某超市的配货工作为背景设计试题， 试题的情 境具有时代性，对考生具有积极的教育意义，发挥了思想教育功能，体现了对德 育的渗透和引导以德育为背景的考题，多以民族精神、理想信念、道德品质、 文明行为、社会公德、遵纪守法、心理健康等生活内容为题材. 例 2 智育为核 提升能力 (2020 全国卷)如图，将钢琴上的 12
3、个键依次记为 a1，a2，a12，设 1ijk12.若 kj3 且 ji4，则称 ai，aj，ak为原位大三和弦；若 kj4 且 ji3，则称 ai，aj，ak为原位小三和弦用这 12 个键可以构成的原位大三和 弦与原位小三和弦的个数之和为( ) A5 B8 C10 D15 C 法一：由题意，知 ai，aj，ak构成原位大三和弦时，jk3，ij4，所 以 ai，aj，ak为原位大三和弦的情况有：k12，j9，i5；k11，j8，i4； k10，j7，i3；k9，j6，i2；k8，j5，i1，共 5 种ai，aj，ak构 成原位小三和弦时，jk4，ij3，所以 ai，aj，ak为原位小三和弦的情
4、况有： k12，j8，i5；k11，j7，i4；k10，j6，i3；k9，j5，i2； k8，j4，i1，共 5 种所以用这 12 个键可以构成的原位大三和弦与原位小 三和弦的个数之和为 10，故选 C 法二：由题意，知当 ai，aj，ak为原位大三和弦时，kj3 且 ji4，又 1ijk12，所以 5j9，所以这 12 个键可以构成的原位大三和弦的个数为 5. 当 ai， aj， ak为原位小三和弦时， kj4 且 ji3， 又 1ijk12， 所以 4j8， 所以这 12 个键可以构成的原位小三和弦的个数为 5.所以用这 12 个键可以构成的 原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为 10，
5、故选 C 考法点津 本题以钢琴上的 12 个键为背景，体现智育教育，解答本题有两 个关键步骤：一是根据条件推出 k 与 i 的数量关系；二是讨论时要按照一定的顺序 进行，防止重复与遗漏 例 3 体育为基 享乐强体 (2020 新高考全国卷)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有 96%的学生 喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足 球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( ) A62% B56% C46% D42% C 不妨设该校学生总人数为 100，既喜欢足球又喜欢游泳的学生人数为 x， 则 10096%10060%x10082%，所以 x46，所以既
6、喜欢足球又喜欢游 泳的学生数占该校学生总数的比例为 46%.故选 C 考法点津 本题以学生喜欢的体育项目为背景设计试题，情境贴近实际，倡 导学生积极参加体育锻炼，体现了数学抽象和数学运算等核心素养 例 4 美育为魂 陶养身心 (2020 全国卷)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为 一个正四棱锥以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角 形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( ) A 51 4 B 51 2 C 51 4 D 51 2 C 设正四棱锥的高为 h，底面边长为 a，侧面三角形底边上的高为 h， 则依题意有 h21 2ah， h2
7、h2 a 2 2 ， 因此有h2 a 2 2 1 2ah4 h a 2 2 h a 10 h a 51 4 (负值 51 4 舍去)，故选 C 考法点津 本题以世界建筑奇迹之一的古埃及胡夫金字塔为背景， 设计了正 四棱锥的计算问题，试题将立体几何的基本知识与世界文化遗产有机结合，既考 查学生的分析问题能力和数学文化素养，又将美育教育融入数学教育，展示了数 学之美以美育为背景的考题，多以自然之美和创作之美等为题材. 例 5 劳育为本 习得技能 (2020 新高考全国卷)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截 面如图所示O 为圆孔及轮廓圆弧 AB 所在圆的圆心A 是圆弧 AB 与直线 AG
8、 的 切点，B 是圆弧 AB 与直线 BC 的切点，四边形 DEFG 为矩形，BCDG，垂足为 C，tanODC3 5，BHDG，EF12 cm，DE2 cm，A 到直线 DE 和 EF 的距离 均为 7 cm，圆孔半径为 1 cm，则图中阴影部分的面积为_cm2. 5 2 4 作 AM 垂直于 EF，交 OH，DG 于 S，N，垂足为 M，过点 O 作 OQ 垂直于 DG，垂足为 Q，A 到直线 DE 和 EF 的距离均为 7 cm，EMAM7， 又EF12，MNDE2，NGMF1275，ANAMNM72 5， AGD45 ，BHDG，AHO45 ， 由于 AG 是圆弧的切线，AGOA，AO
9、HACN45 ， 设大圆的半径为 R，则 ASOS R 2，OQSN5 R 2，DQDNQN7 R 2， tanODC3 5， 5 R 2 7 R 2 3 5，解得 R2 2， 图中阴影部分面积分为扇形 AOB 和直角AOH 的面积减去小半圆的面积， S阴影135 360(2 2) 21 22 22 2 1 21 5 24 cm 2. 考法点津 本题是以劳动教育为背景的考题， 再现了学生到工厂劳动实践的 场景，引导学生关注劳动、尊重劳动、参加劳动，体现了劳动教育的要求在考 查几何知识的同时，培养学生的数学应用意识，较好地发挥高考试题在培养劳动 观念中的引导作用. 以劳动教育为背景的考题，多以社
10、会实践、动手操作实验等为 题材 热点热点 2 关注社会热点关注社会热点，凸现时代特色凸现时代特色 例 6 战胜疫情 刻不容缓 (2020 全国卷)Logistic模型是常用数学模型之一， 可应用于流行病学领域 有 学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 I(t)(t 的单位：天)的 Logistic 模型：I(t) K 1e 0.23t53，其中 K 为最大确诊病例数当 I(t*)0.95K 时， 标志着已初步遏制疫情，则 t*约为(ln 193)( ) A60 B63 C66 D69 C 由已知可得 K 1e 0.23t*530.95K，解得 e 0.23(t*53) 1 19，
11、 两边取对数有0.23(t*53)ln 19，解得 t*66，故选 C 考法点津 本题以新冠肺炎疫情传播的动态研究为背景， 选择适合考生知识 水平的 Logistic 模型作为试题命制的基础， 考查考生对指数函数基本知识的理解和 掌握，使用数学模型解决实际问题的能力试题情境真实，素材取自于实际数据 的研究成果，相关具体参数真实可靠，试题的设定和提问有充分的科学依据，坚 持了命制应用性试题的基本原则，体现了科学性与时代性的结合 例 7 污水治理 大美河山 (2020 北京高考)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强 污水治理，排放未达标的企业要限期整改设企业的污水排放量 W 与时间
12、 t 的关 系为 Wf(t)，用fbfa ba 的大小评价在a，b这段时间内企业污水治理能力的 强弱已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示 给出下列四个结论： 在t1，t2这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； 在 t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； 在 t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标； 甲企业在0，t1，t1，t2，t2，t3这三段时间中，在0，t1的污水治理能 力最强 其中所有正确结论的序号是_ fbfa ba 表示在a，b上割线斜率的相反数，fbfa ba 越大，治 理能力越强 对于，在t1，t2这段时间内，甲企业对应图象的割线斜率的相反数大，
13、故甲 企业的污水治理能力比乙企业强，正确； 对于，要比较 t2时刻的污水治理能力，即看在 t2时刻两曲线的切线斜率， 切线斜率的相反数越大，污水治理能力越强，故在 t2时刻，甲企业的污水治理能 力比乙企业强，正确； 对于，在 t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下， 正确； 对于，甲在t1，t2这段时间内的污水治理能力最强，错误综上，正确的序 号为. 考法点津 本题以污水治理为背景，结合函数图象理解平均变化率、瞬时变 化率即导数的几何意义，要求学生具备敏锐的观察力、分析问题的能力，启迪学 生理解数学语言，用数学眼光认识世界，用数学的思维思考世界，体现了逻辑推 理、数据分析等核
14、心素养 例 8 结合生活 相得益彰 (2020 潍坊模拟)近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为 厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民 生活垃圾的分类投放情况， 现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1 000 t 生活垃圾， 经分拣以后统计数据如下表(单位：t)根据样本估计本市生活垃圾的分类投放情 况，则下列说法不正确的是( ) “厨余 垃 圾”箱 “可回 收 物”箱 “其他 垃 圾”箱 厨余垃400 100 100 圾 可回收 物 30 240 30 其他垃 圾 20 20 60 A厨余垃圾投放正确的概率为2 3 B生活垃圾投放错误的概率为 3
15、10 C该市三类垃圾中投放正确的概率最高的是“可回收物” D厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量 的方差为 18 000 D 由表格可得：厨余垃圾投放正确的概率为 400 400100100 2 3，可回收物 投放正确的概率为 240 2403030 4 5，其他垃圾投放正确的概率为 60 202060 3 5. 对于 A，厨余垃圾投放正确的概率为2 3，故 A 正确； 对于 B，生活垃圾投放错误的有 10010030302020300(t)，故生活 垃圾投放错误的概率为 300 1 000 3 10，故 B 正确； 对于 C，该市三类垃圾中投放正确的概率最高的是“
16、可回收物”，故 C 正确； 对于 D，厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的 投放量的平均数 x 400100100 3 200，可得方差 s21 3(400200) 2(100 200)2(100200)220 000，故 D 错误故选 D 考法点津 破解以生产、生活实际为背景的概率与方差相交汇试题的关键： 一是认真读题，读懂题意；二是会观察图表，会利用数据；三是会利用频率估计 概率，会利用方差的公式求方差 例 9 时政热点 精准扶贫 (2020 广东茂名二模)为实施精准扶贫计划，使困难群众脱贫致富，某贫困县 对贫困户实行购买饲料优惠政策 (1)若购买饲料不超过 2 00
17、0 元，则不给予优惠； (2)若购买饲料超过 2 000 元但不超过 5 000 元，则按原价给予 9 折优惠； (3)若购买饲料超过 5 000 元，不超过 5 000 元的部分按原价给予 9 折优惠，超 过 5 000 元的部分按原价给予 7 折优惠 某贫困户欲购买一批饲料，有如下两种方案 方案一：分两次付款购买，实际付款分别为 2 880 元和 4 850 元 方案二：一次性付款购买 若采取方案二购买此批饲料，则比方案一节省( ) A540 元 B620 元 C640 元 D800 元 C 方案一：第一次付款 2 880 元， 因为 2 8802 000，所以其原价为2 880 0.9
18、3 200(元)； 第二次付款 4 850 元，因为 4 8504 500，所以其原价为4 8504 500 0.7 5 000 5 500(元) 所以此批饲料的原价为 3 2005 5008 700(元) 方案二：若一次性付款，则应付款为(8 7005 000)0.75 0000.97 090(元) 所以方案二比方案一节省(2 8804 850)7 090640(元)故选 C 考法点津 本题以“精准扶贫”为背景，考查数学模型及其应用等知识破 解此类题的关键是读懂题意，将实际问题转化为数学问题求解 热点热点 3 融入其他学科融入其他学科，突出数学本质突出数学本质 例 10 数物结合考建模 (2
19、020 广东南海中学模拟)若光线通过一块玻璃，强度损失 10%.设光线原来的 强度为 k，通过 x 块这样的玻璃后强度变为 y，则经过 x 块这样的玻璃后光线强度 为 yk 0.9x，若要光线强度能减弱到原来的1 4以下，那么光线通过这样的玻璃的块 数至少为(lg 30.477 1，lg 20.301 0)( ) A12 B13 C14 D15 C 由题意知光线经过 x 块这样的玻璃后，强度变为 y0.9xk.则 0.9xkk 4，即 0.9x1 4， 两边同时取对数，可得 xlg 0.9lg 1 4， 因为 lg 0.9lg 10，所以 x lg 1 4 lg 0.9 2lg 2 2lg 3
20、1 0.602 0 0.954 2113.1， 又 xN*， 所以至少通过 14 块这样的玻璃， 光线强度能减弱到原来的1 4以下 故 选 C 考法点津 本题是以物理中的光线强度减弱为背景创设的， 考查解指数不等 式的实际应用题破解此类题的关键：一是认真读题，构建相应的模型；二是解 模 例 11 数地结合考想象 (2020 新高考全国卷)日晷是中国古代用来测定时间的仪器， 利用与晷面垂 直的晷针投射到晷面的影子来测定时间把地球看成一个球(球心记为 O)，地球 上一点 A 的纬度是指 OA 与地球赤道所在平面所成角， 点 A 处的水平面是指过点 A 且与 OA 垂直的平面在点 A 处放置一个日晷
21、，若晷面与赤道所在平面平行， 点 A 处的纬度为北纬 40 ，则晷针与点 A 处的水平面所成角为( ) A20 B40 C50 D90 B 过球心 O、点 A 以及晷针的轴截面如图所示，其中 CD 为晷面，GF 为晷 针所在直线，EF 为点 A 处的水平面，GFCD，CDOB，AOB40 ， OAEOAF90 ，所以GFACAOAOB40 .故选 B 考法点津 本题以“日晷”为背景， 以地理学科为载体考查空间线面位置关 系及空间线面角等知识，反映了数学知识和方法在其他学科的应用常见的命题 结合点还有数学与物理、数学与化学、数学与生物学等学科的交汇命题，此命题 方式体现了数学的应用价值，提升数学
22、素养，对学生的素质教育有很好的导向和 促进作用. 热点热点 1 1 关注教材中的例题、习题关注教材中的例题、习题 例 12(2020 新高考全国卷)斜率为 3的直线过抛物线 C：y24x 的焦点， 且与 C 交于 A，B 两点，则|AB|_. 16 3 因为抛物线 C 的方程为 y24x， 所以抛物线 C 的焦点为 F(1,0)， 又直线 AB 过焦点 F 且斜率为 3，所以直线 AB 的方程为 y 3(x1) 将其代入抛物线方程，消去 y 并化简得 3x210 x30，设 A(x1，y1)，B(x2， y2)，x1x2. 法一：(两点间距离公式法)解方程 3x210 x30， 可得 x11
23、3，x23. 所以 y1 3 1 31 2 3 3 ， y2 3(31)2 3. 故 A 1 3， 2 3 3 ，B(3,2 3) 所以|AB| 1 33 2 2 3 3 2 3 2 16 3 . 法二：(弦长公式法)由根与系数的关系得 x1x210 3 ，x1x21. 又直线 AB 的斜率 k 3， 所以|AB|1k2|x1x2|13 10 3 2 4116 3 . 法三：(定义转化法)由根与系数的关系知 x1x210 3 ， 过 A，B 分别作准线 x1 的垂线，设垂足分别为 C，D，如图所示 则|AB|AF|BF|AC|BD|x11x21x1x2216 3 . 秒杀解：(抛物线的焦点弦长
24、公式法)由已知得直线 AB 的斜率 k 3，所以直 线 AB 的倾斜角 3. 则弦长|AB| 2p sin2 4 sin2 3 4 3 2 216 3 . 探源教材 该题源于人教 A 版教材选修 21第 69 页例 4：斜率为 1 的 直线 l 经过抛物线 y24x 的焦点 F，且与抛物线相交于 A，B 两点，求线段 AB 的 长 知识拓展 若倾斜角为 2 的直线 l 经过抛物线 y22px(p0)的焦点， 且与抛物线相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则 |AB|x1x22y1y22(两点间距离公式) 1tan2|x1x2|(弦长公式) x1x2p(定义应用，课本例题中的解法)
25、2p sin2(抛物线的焦点弦长公式) 热点热点 2 关注教材中的阅读材料关注教材中的阅读材料 例 13(2020 北京高考)2020 年 3 月 14 日是全球首个国际圆周率日( Day) 历 史上，求圆周率 的方法有多种，与中国传统数学的“割圆术”相似数学家阿 尔 卡西的方法是：当正整数 n 充分大时，计算单位圆的内接正 6n 边形的周长和外 切正 6n 边形(各边均与圆相切的正 6n 边形)的周长，将它们的算术平均数作为 2 的近似值按照阿尔 卡西的方法， 的近似值的表达式是( ) A3n sin 30 n tan 30 n B6n sin 30 n tan 30 n C3n sin 6
26、0 n tan 60 n D6n sin 60 n tan 60 n 思路点拨 先计算出单位圆的内接正 6n 边形和外切正 6n 边形的周长， 再将 它们的算术平均数作为 2 的近似值，即可得出结果 A 单位圆的内接正 6n 边形的每条边所对应的圆周角为360 n6 60 n ，边长为 2sin 30 n ，所以单位圆的内接正 6n 边形的周长为 12nsin 30 n . 单位圆的外切正 6n 边形的边长为 2tan 30 n ，其周长为 12ntan 30 n ， 所以 2 12nsin 30 n 12ntan 30 n 2 6n sin 30 n tan 30 n ， 则 3n sin
27、30 n tan 30 n . 故选 A 探源教材 本题源于人教 A 版教材必修 3第 45 页“阅读与思考”、人 教 A 版教材必修 5第 20 页【习题 1.2】A 组第 12 题，本题将面积变为周长， 综合考查圆内接正多边形和圆外切正多边形的几何特征以及解三角形问题 通过上述命题案例，我们不难发现：教材是学习数学基础知识，形成基本技 能的“源泉”，是高考试题的重要知识载体. 课本题的深层属性承载着选拔题试题库的节点， 本图书以最新的高考改革理 念为纲， 以教材的例题、 习题为素材， 本着“固基 提能”的理念， 力求在“变式” 上下功夫，对每节知识的核心要点、重要习题都做了深入浅出、举一反三地类比、 延伸和拓展.相信同学们通过一轮复习，定会对数学知识、学科素养等达到融会贯 通，理性思维上升到一个全新的高度.
