1、机密启用前 2021 年宜昌市高三年级二月联考年宜昌市高三年级二月联考 数学试卷数学试卷 本试卷共 4 页，22 题全卷满分 150 分考试用时 120 分钟 祝考试顺利 注意事项：注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑写在试卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 3非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内写在试卷、草稿纸和答题卡 上的非答题区域均无效 4考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交 一、 单
2、项选择题： 本题共一、 单项选择题： 本题共 8 小题， 每小题小题， 每小题 5 分， 共分， 共 40 分 在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合要求分 在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合要求 1设全集UR，集合0Mx x，集合 2 1Nx x，则 UM N （ ） A0,1 B1,0 C1, D, 1 2某校一次高三年级数学检测，经抽样分析，成绩占近似服从正态分布 2 95,N，且 (9195)0.25P若该校有 700 人参加此次检测，估计该校此次检测数学成绩不低于 99 分的人 数为（ ） A100 B125 C150 D175 3已知双曲线 22 22 1(0,0) xy
3、ab ab 的一条渐近线过点3,4，则该双曲线的离心率为（ ） A 5 4 B 5 3 C 4 3 D 3 5 4若两个非零向量a、b满足| | 2|ababa，则ab与b的夹角为（ ） A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 5已知 2 3 log 2 a ， 1 4 6 7 b ，sin1468c，则（ ） Abac Babc Cbca Dacb 6攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式宋代称为撮尖，清代称攒尖通常有圆形攒尖、三角攒尖、 四角攒尖、八角攒尖也有单檐和重檐之分多见于亭阁式建筑，园林建筑以四角攒尖为例，它的主要 部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥若此正四棱锥的侧面等腰三角形的底角
4、为，则侧棱长与底面外 接圆的半径的比为（ ） A 1 sin B 1 cos C 2 2sin D 2 2cos 7已知2a ，0b，直线 1: (2)10lxay ， 2:2 20lbxy，且 12 ll，则 11 22ab 的最 小值为（ ） A1 B2 C 1 4 D 9 8 8正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体，它们 被称为柏拉图多面体（Platonic solids） 某些病毒，如疱疹病毒就拥有正二十面体的外壳正二十面体是 由 20 个等边三角形所组成的正多面体已知多面体满足：顶点数-棱数+面数=2， ，则正二十面体的顶点 的个数为（
5、 ） A30 B20 C12 D10 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求全部选对得求全部选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 2 分，选错或不选得分，选错或不选得 0 分分 9下列命题中，正确的命题有（ ） A函数 f xx与 2 ( )g xx是同一个函数 B命题“ 0 0,1x， 2 00 1xx”的否定为“0,1x ， 2 1xx” C已知xR，则“0 x”是“|1| 1x”的充分不必要条件 D若函数 21,0 ( ) 2 ,0
6、 x xx f x x ，则(1)( 1)1ff 10已知函数 22 ( )(sincos )2cosf xxxx，则（ ） A( )f x的最小正周期是 B( )f x的图像可由函数( )2sin22g xx的图像向左平移 8 个单位而得到 C 4 x 是( )f x的一条对称轴 D( )f x的一个对称中心是,0 8 11已知 10210 01210 (2)(1)(1)(1)xaa xaxax，则下列结论正确的有（ ） A 0 1a B 6 210a C 31012 2310 1023 22221024 aaaa D 0246810 512aaaaaa 12 如图， 在边长为 2 的正方形
7、 ABCD 中， 点 E、F 分别在边 AB、BC 上 （不含端点） ， 且BEBF 将AED、 DCF分别沿 DEDF 折起，使 A、C 两点重合于点 A ，则下列结论正确的有（ ） AA DEF B当1BEBF时，三棱锥ADEF 的外接球的表面积为6 C当 1 2 BEBF时，三棱锥ADEF 的体积为 17 12 D当 1 2 BEBF时，点 A 到平面 DEF 的距离为 6 17 7 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13已知i是虚数单位，则 1 1 i i _ 14若函数log (1)8(01) a yxaa且的图像过定点
8、 P，且点 P 在幂函数( )()f xxR 的图像 上，则 1 2 f _ 15若一个圆的圆心是抛物线 2 8xy的焦点，且该圆与直线320 xy相切，则该圆的标准方程为 _过点2, 2P 作该圆的两条切线 PAPB，切点分别为 AB，则直线 AB 的方程为 _ （第一个空 2 分，第二个空 3 分） 16某同学向王老师请教一题：若不等式 4 ln1 x x eaxx 对任意(1,)x恒成立，求实数 a 的取值 范围 王老师告诉该同学： “1 x ex恒成立， 当且仅当0 x时取等号， 且( )4lng xxx在(1,) 有零点” 根据王老师的提示，可求得该问题中 a 的取值范围是_ 四、解
9、答题：共四、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分） 设数列 n a的前 n 项和为 n S，且 2 3a ， 5 25S ， 11 2(2) nnn aaan （1）求数列 n a的通项公式 n a； （2）若 * 1 1 n nn bnN a a ，求数列 n b的前 n 项和 n T 18 （12 分） 在ABC中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，且41a ，2 sin5 sin 2 BC baB （1）求sin A； （2）如图，M 为边 AC 上一点，且2MCMB， 2 ABM ，求ABC的面积
10、19 （12 分） 在四棱锥PABCD中，PA 平面 ABCD，底面 ABCD 是直角梯形，其中AD BC，ADCD， 224PABCADCD，E 为 BC 的中点，设 Q 为 PC 上一点 （1）求证：DEPC； （2）若直线 EQ 与平面 PAC 所成的角的正切值为 2 2 ，求二面角EAQC的余弦值 20 （12 分） 某校高一年级组织“知识竞答”活动每位参赛者第一关需回答三个问题，第一个问题回答正确得 10 分，回答错误得 0 分；第二个问题回答正确得 20 分，回答错误得10分；第三个问题回答正确得 30 分， 回答错误得20分规定，每位参赛者回答这三个问题的总得分不低于 30 分就
11、算闯关成功若某位参赛者 回答前两个问题正确的概率都是 2 3 ，回答第三个问题正确的概率是 1 2 ，且各题回答正确与否相互之间没有 影响 （1）求这位参赛者仅回答正确两个问题的概率； （2）求这位参赛者回答这三个问题的总得分的分布列和期望； （3）求这位参赛者闯关成功的概率 21 （12 分） 已知点 A、B 坐标分别是( 2 2,0)，(2 2,0)，直线 AP、BP 相交于点 P，且它们斜率之积是 1 2 （1）试求点 P 的轨迹的方程； （2）已知直线:4l x，过点2,0F 的直线（不与 x 轴重合）与轨迹厂相交于 MN 两点，过点 M 作MDl于点 D求证：直线 ND 过定点，并求
12、出定点的坐标 22 （12 分） 已知函数 22 ( )1 lnf xxaxa x （1）当1a 时，求 f x的单调区间； （2）若0a，且(0,1)x，求证： 2 ( )2ln1 22 x f xx x ex 2021 年宜昌市高三年级二月联考年宜昌市高三年级二月联考 数学答案数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D B D A D A C BD AB ACD ABC 131 14 1 8 15 22 (2)4xy，220 xy 16(, 4 17 （1） 11 2(2) nnn aaan ， 11( 2) nnnn aaaan n a是等差数列，
13、设 n a的公差为d， 2 3a ， 5 25S ， 1 1 3 5 4 525 2 ad ad ，解得 1 1 2 a d ， 21 n an （2） 1111 (21)(21)2 2121 n b nnnn 12nn Tbbb 111 11111 1 232 352 2121nn 11 1 22121 n nn 18 （1）2 sin5 sin 2 BC baB ，2 sin5 sin 2 A baB ， 2sincos5sinsin 2 A BAB， 而sin0B， 2cos2 5sincos 222 AAA ，又cos0 2 A ， 5 sin 25 A ， 2 5 cos 25 A
14、， 4 sin2sincos 225 AA A （2）由（1）可得： 4 coscossin 25 BMCAA ， 3 sin 5 BMC， 在BMC中， 222 2cosBCMBMCMB MCBMC 即 222 441 41422 55 MBMBMBMBMB ， 5MB ， 4 sin 5 A ， 4 tan 3 MB A AB ， 3 5 4 AB ， 115 28 ABM SAB MB ， 1 sin3 2 BMC SMB MCBMC ， ABC的面积为15 39 3 88 19 （1）由题意得DEAC，又PA 平面 ABCD，PADE 又PAACA，DE 平面 PAC，DEPC （2）
15、设ACDEO，连接 OQ，由（1）得：DE 平面 PAC， EQO为 EQ 与平面 PAC 所成的角， 2 tan 2 OE EQO OQ ，2EO ，2OQ ， Q 为 PC 的中点 以 A 为原点，AE，AD，AP 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， (0,0,0)A，(2,0,0)E，(2,2,0)C，(0,0,4)P，(1,1,2)Q，(0,2,0)D， 设平面 AEQ 的一个法向量为( , , )nx y z， 0 0 n AE n AQ ， 20 20 x xyz ， 令1z ，2y ，0 x，(0,2, 1)n 易得平面 ACQ 的一个法向量为(2, 2
16、,0)DE ， 10 cos, 5| | DE n DE n DEn ， 二面角EAQC的余弦值为 10 5 20 （1）设事件 i A这位参赛者回答对第 i 个问题1,2,3i 123123123 PP A A AP A A AP A A A 2 2 12 1 11 2 14 3 3 23 3 23 3 29 （2）30, 20,0,10,20,30,50,60 123 1 (30) 18 PP A A A ， 123 1 (20) 9 PP A A A ， 123 1 (0) 9 PP A A A， 123 2 (10) 9 PP A A A， 123 1 (20) 18 PP A A A
17、， 123 1 (30) 9 PP A A A， 123 1 (50) 9 PP A A A， 123 2 (60) 9 PP A A A， 的分布列为： 30 20 0 10 20 30 50 60 P 1 18 1 9 1 9 2 9 1 18 1 9 1 9 2 9 195 ( ) 9 E （3）由（2）得这位参赛者闯关成功的概率为 4 (30)(50)(60) 9 PPPP 21 （1）设,P x y，由题意得： 1 2 PAPB kk 1 22 22 2 yy xx ，化简得 22 1 84 xy 又2 2x ， 点 P 的轨迹方程为 22 1(2 2) 84 xy x （2）方法一
18、：由椭圆的对称性知，直线 ND 过的定点必在 x 轴上， 由题意得直线 MN 的斜率不为 0，设:2MN xmy， 与 22 1 84 xy 联立消去 x 得： 22 2440mymy， 2 3210m 恒成立， 设 11 ,M x y， 22 ,N x y，则 1 4,Dy， 12 2 4 2 m yy m ， 12 2 4 2 y y m ， 1212 my yyy， 21 1 2 :(4) 4 yy ND yxy x ，令0y ， 1212 2121 42 4 yxy my x yyyy 121 121 2121 22 1 yyymy yy yyyy ， 3x， 直线 ND 过定点3,0
19、 方法二：由题意可得直线 MN 的斜率不为 0，设:2MN xmy， 与 22 1 84 xy 联立消去 x 得： 22 2440mymy， 2 3210m 恒成立， 设 11 ,M x y， 22 ,N x y，则 1 4,Dy， 12 2 4 2 m yy m ， 12 2 4 2 y y m ， 2 1 2 44 21 22 mm y m ， 2 2 2 44 21 22 mm y m ， 21121 21 1 22 (4)2 :(4) 42 yyxmy yyyy ND yxy xmy 22 222 2 4 21444 21 (4) 222 2 mmmm x mmm my 22 2 22
20、 22 4 214 21 (4) 4 21(3) 22 22 mm x mx mm mymy 3x时0y ， 直线 ND 过定点3,0， 22 （1）当1a 时， 2 ( )1 lnf xxxx ， 1(1)(21) ( )1 2 xx fxx xx ， 令 0fx，得01x；令 0fx，得1x ， f x的单调递增区间为0,1，单调递减区间为1,) （2）当0a时，( )1 lnf xx ， 22 ( )2ln11 ln1 2222 xx f xxx xx exex ， 即 3 (1 ln )221 (01) x xxexxx， 令( )(1 ln )(01)g xxxx，( )ln0g x
21、x ， g x在0,1上单调递增， 11g xg 令 3 ( )221 x h xexx， 32 ( )2623 x h xexxx， 令 32 ( )2623xxxx ， 2 ( )6122xxx 在0,1上递减， 又(0)20，(1)160 ， 0 (0,1)x使 0 0 x，且 0 0,xx时，( )0 x，( )x递增， 0,1 xx时，( )0 x，( )x递减， 而(0)30，(1)30 ， 1 (0,1)x 使 1 0 x，即 1 0h x， 1 0,xx时( )0h x，( )h x单调递增， 1,1 xx时( )0h x，( )h x单调递减， 而(0)1h，(1)he，( )1h x 恒成立， ( )( )g xh x，即 3 (1 ln )221 (01) x xxexxx， 即 2 ( )2ln1 22 x f xx x ex
