1、舟舟山市山市 20202020 学学年第一学期期末检测年第一学期期末检测 高高二数学试题卷二数学试题卷 参考参考公式：公式： 球球的表面积公式的表面积公式 2 4SR 锥体锥体的体积公式的体积公式 1 3 VSh（其中其中S表示表示锥体的底面积，锥体的底面积，h表示锥体表示锥体的高）的高） 球球的体积公式的体积公式 3 4 3 VR（其中其中R表示球表示球的的半径半径） 台台体的体积公式体的体积公式 1122 1 3 Vh SS SS（其中其中 12 ,S S分别分别表示台体的上、下底面积，表示台体的上、下底面积，h表示表示台体的高）台体的高） 柱柱体的体积公式体的体积公式VSh（其中其中S表
2、示表示柱体的底面柱体的底面积积，h表示表示柱体的高）柱体的高） 第第卷卷 选择选择题部分题部分（共（共 4 40 0 分）分） 一、一、选择题：本大题共选择题：本大题共 1 10 0 个小题个小题, ,每小题每小题 4 4 分分, ,共共 4 40 0 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的要求的. . 1. 直线20 x的倾斜角是（ ） A不存在 B 0 C90 D 180 2. 椭圆 22 1 43 xy 的焦点坐标为（ ） A0, 1 B1,0 C 0,7 D 7,0 3. 若直线l与平面不平行，且直线l也不在平面内，则
3、 （ ） A内不存在与l异面的直线 B内存在与l平行的直线 C内存在唯一的直线与l相交 D 内存在无数条与l垂直的直线 4. 已知圆锥的正视图是边长为 2 的等边三角形，则它的表面积是（ ） A2 B3 C. 4 D5 5. 在空间中，设mn、是不同的直线，、表示不同的平面，则下列命题正确的是 （ ） A若/ / ,/ /m，则/ /m B若,m，则/ /m C. 若,/ /m，则m D若,mn，则mn 6. 已知圆 22 11xya与圆 22 2416xy相切，则实数a的取值个数为（ ） A 1 B2 C. 3 D4 7. 三棱锥PABC的各棱长都相等，DEF、 、分别是ABBCCA、的中点
4、，下列四个结论中不成立的 是（ ） A/ /BC平面PDF BDF 平面PAE C. 平面PDE 平面ABC D平面PAE 平面ABC 8. 双曲线 22 22 10,0 yx ab ab 的上支与焦点为F的抛物线 2 20ypx p交于,A B两点，若 3AFBFOF，则该双曲线的离心率为（ ） A 5 2 B 2 C. 2 D5 9. 如图， 棱长为 2 正方体 1111 ABCDABC D，O为底面AC的中心， 点P在侧面 1 BC内运动且 1 DOOP， 则点P到底面AC的距离与它到点B的距离之和最小是（ ） A 8 5 B 12 5 C. 5 D2 2 10. 如 图 12 FF是
5、椭 圆 22 22 10 xy ab ab 的 左 、 右 焦 点 ，,P Q是 椭 圆 上 两 点 ， 满 足 2122 / /,PFQF F PFQ，若 22 3FQPF，则直线 1 PF的斜率为（ ） A-1 B 3 3 C. 1 3 D 1 7 第第卷卷 非非选择题选择题（共（共 9090 分）分） 二、填空题二、填空题：本：本大题共大题共 7 7 小小题，多空题每题题，多空题每题 6 6 分分，单空题每题，单空题每题 4 4 分分，共，共 3636 分分. . 11.双曲线 22 1xy的焦距为_，渐近线方程为_. 12.已知空间向量2, 1,1 ,1,1,2ab分别是,OA OB的
6、方向向量， 则_ab； 向量a与b 的夹角为_. 13.若过点1,1的直线l被圆 22 4xy截得的弦长最短，则直线l的方程是_，此时的弦长 为 14.已知斜三棱柱 111 ABCABC，它的每条棱长均为 2，并且侧面 1 AC与底面ABC垂直， 0 1 60A AC， 则 1 BC与底面ABC所成角的正弦值为_， 1 cosA AB 15.已知抛物线 2 12yx的焦点恰与双曲线 22 2 1 8 xy a 的右焦点 1 F重合， 2 F为左焦点；点P在双曲线上 运动，l是 12 PFF的内切圆，则介于抛物线内部的圆心I的轨迹长为 16.如图，平面四边形ABCD中，1ABAD，2,3,BDC
7、DBDCD将其沿对角线BD折成 四面体ABCD ，使平面A BD平面BCD，则四面体ABCD 的外接球的球心到平面ACD的距离 等于 17.已知A B、为椭圆 22 :1 43 xy C上两点，线段AB的中点在圆 22 1xy上，则直线AB在y轴上截 距的取值范围为_. 三、三、解答题：解答题：本本大题共大题共 5 5 小小题，题，共共 7 74 4 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . 18. （本题满分 14 分） 已知点0,Pa及圆 22 :4230C xyxy . （1）若点0,Pa在圆C内部，求实数a的取值范围； （2）当2a
8、时，求线段PC的中垂线所在的直线的方程. 19. （本题满分 15 分） 如图，在三棱台 111 ABCABC中，面 11 AACC 平面ABC， 1111 222AAACCCAC，BCBA， 点D是BC的中点. （1）求证： 1/ / DC平面 11 ABB A； （2）求证： 11 BCAC. 20.（本题满分 15 分） 已知圆 22 :2 2100M xyx和点 2,0 ,NQ是圆M上任意一点，线段NQ的垂直平分线和QM 相交于点P，记P的轨迹为曲线E. （1）求曲线E的方程； （2）点A是曲线E与y轴正半轴的交点，过点0,2的直线交E于BC、两点， 直线,AB AC的斜率分 别是 1
9、2 ,k k，试探索 12 k k是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 21.（本题满分 15 分） 如图矩形ABCD中，22 2ABBC；,E Q分别为,AB CD的中点，沿EC将点B折起至点P，连接 ,PA PD PQ. （1）当 0 60PEB时， （如图 1） ，求二面角PECB的大小； （2）当二面角PECB等于 120时（如图 2） ，求PD与平面PAQ所成角的正弦值. 22.（本题满分 15 分） 如图已知2,Pt是直线2x上的动点，过点P作抛物线 2 4yx的两条切线，切点分别为,A B，与y 轴分别交于,C D. （1）求证：直线AB过定点，并求出该定点； （2
10、）设直线AB与x轴相交于点Q，记,A B两点到直线PQ的距离分别为 12 ,d d；求当 12 AB dd 取最大值 时PCD的面积. 试卷答案试卷答案 一、选择题一、选择题 1-5:CBDBD 6-10: CCAAD 二、填空题二、填空题 11. 2 2，yx 12. 0 3 2,60 13. 2,2 2yx 14. 2 1 , 24 15. 4 3 16. 1 2 17. 11 , 16 12 三、解答题三、解答题 18.（1）圆C可以化为 22 218xy， 若点P在圆C内部，则 2 418a， 解得：31a ； （2）当2a 时，线段PC的中点的坐标为 3 1, 2 ， 1 2 PC
11、k， 故线段PC为的中垂线所在的直线的斜率为-2， 所求直线方程为 1 20 2 xy. 19.（1）证明： 取AB中点E，连接DE， 1 1 / / 2 AEDEAC， 又 11 111111 111 / / 1 / / / 2 AEC D ACACDEACDEAC AEABB A 平面 ， 又 1 C D 平面 111 / /ABB AC D平面 11 ABB A； （2）证明：取AC中点O，连接 11 ,BO AO CO由BCBABOAC， 11 111 11 AACCABC BOAACCBOAC AACCABCAC 平面面 平面 平面面 ， 1111 / /OCACAC CO， 又 1
12、 111 2 2 ACCC COCCACCO ACCO 菱形 11 111 1 COAC ACBOCACBC BOAC 平面. 20.（1）圆 22 2 2100 xyx的圆心为 2,0M ，半径为2 3， 点 2,0N在圆M内，2 3PMPNMN， 所以曲线E是,M N为焦点，长轴长为2 3的椭圆， 由3,2ac，得 2 321b ，所以曲线E的方程为 2 2 1 3 x y. （2）设 1122 ,0,1B x yC x yA，由已知直线BC的斜率存在，设直线BC： 2ykx，联立方程组 2 2 2 1 3 ykx x y 得 22 1 31290kxkx， 1212 22 129 , 1
13、 31 3 k xxx x kk ， 2 121212 12 12 121212 11111kxkxk x xk xxyy k k xxx xx x 2 222 22 2 912 1 9123111 31 3 9 99 1 3 k kk kkkkk k （定值） 21. （1）取CE中点O，连接,BP BO PO，22ABBCBE， 2BCBEBOCE， CPCB PCPEPOCEPOB EPEB 就是所求二面角的平面角， 因为 0 2 60 EPEB PEB PEB 正三角形2PB， 又因为等腰 222 21Rt BECCEBOPOBOPOBP 0 90POB ，所以二面角PECB的大小为
14、90. （2）方法一：几何法 由于沿EC将点B折起至点P，所以点P在底面内的射影必在折痕的垂直平分线上又因为,B O Q三点共 线，二面角PECB等于 00 12060POQ 1BOPOOQPOQ 正三角形1PQ / / /CQEAAQCEAQCE ,CEPO CEOQCE平面POQAQ平面POQ PAQ平面平面POQ， CQDQ， DPAQCPAQ dd 平面平面 又/ /CEAQ， OPAQCPAQ dd 平面平面 ， 又因为 3 2 O PQOPAQ dh 平面 ， 3 2 DPAQ d 平面 ， 又由平行四边形对角线性质得： 222222 242 28442PCPDCDPQPDPDPD
15、 设PD与平面PAQ所成角为，所以 3 3 2 sin 24 DPAQ d PD 平面 ， 方法二：向量法 由于沿EC将点B折起至点P，所以点P在底面内的射影必在折痕的垂直平分线上，又因为,B O Q三点 共线，二面角PECB等于 00 12060POQ， 以O为原点，分别以,OQ OE为x轴，y轴，与它们都垂直于的直线为z轴. 于是各点坐标如图所示： 1,1,0QDEAEA点A坐标为1,2,0， 所以 1333 0,2,0 ,0, 1, 2222 QAQPDP ， 设平面PQA的法向量为, ,nx y z， 20 0 13 00 22 y n QA xzn QP ， 令 0 13,0,1 3
16、 y zn x 3 3 sincos, 493 14 44 DP n DP n DP n . 22.解： （1）设过点P与抛物线相切的直线方程为：2xm yt， 由 2 2 2 4420 4 xm yt ymymt yx ， 因为相切，所以 12 22 2 0 1616220 yym mmtmtm ， 设 12 ,m m是该方程的两根，由韦达定理得： 12 12 2 mmt mm ， 12 ,m m分别表示切线,PA PB斜率的倒数，且每条切线对应一个切点，所以切点 22 1122 ,2,2A mmB mm 12 22 1212 22 AB mm k mmmm 所以直线AB为： 2 12 11
17、 121212 222 2 m m yxmmyx mmmmmm ， 直线AB方程为： 2 2yx t ， 所以AB过定点2,0. 解： （2）法一 由（1）知 2 22 22 12121212 44ABmmmmmmmm， 由（1）知点Q坐标为2,0，2,Pt，所以直线PQ方程为：2 4 t yx ， 即： 22 1122 12 22 8282 420 1616 tmmttmmt txytdd tt ， ,A B分居直线两侧 22 1212 1212 12 22 8 8 1616 t mmmm mm t mm dd tt 2 222 222 12 2242 2 1212 164416 4164
18、1 816648 8 ttmmt ABttt ddtttt mm t ， 2 12 2 443 112 64 324 16 AB dd t t 当且仅当 2 8t ， 又由2xm yt，令0 x得： 1212 22122 0,0,2 2 PCD CtDtS mmmm 2 2 12 121212 12 2484 PCD mm Smmmmmmt mm ； 法二： 因为 1212 2 22 P ABPAB PABP ABPABP ABP AB ABAB PQAB dPQSPQPQ ddddPQSdSdd 由（1）知点Q坐标为2,0， 2 2,16PtPQt， 又由（1）知直线AB方程为： 2 2 22 44 8 240 44 P AB t t xtyd tt 22 22 2 2222 2 12 164 44 161 81664 8P AB tt ABPQtt t dddttt t 2 12 2 443 112 64 324 16 AB dd t t 当且仅当 2 8t 取到等号 又由2xm yt，令0 x得： 1212 22122 0,0,2 2 PCD CtDtS mmmm 2 2 12 121212 12 2484 PCD mm Smmmmmmt mm .
