1、受力特点受力特点：杆件两端受到一对大小相等、转向相反、作用面杆件两端受到一对大小相等、转向相反、作用面与轴线垂直的力偶作用与轴线垂直的力偶作用。变形特点变形特点：杆的各横截面都绕轴线发生相对转动杆的各横截面都绕轴线发生相对转动。以扭转变。以扭转变形为主的构件称为形为主的构件称为轴轴。 外力偶矩外力偶矩）（）（千瓦）anNMp1 . 6N.m9549M作用在轴上的外力偶矩，单位为作用在轴上的外力偶矩，单位为牛顿牛顿 米米（N m)；Np轴传递的功率，轴传递的功率， Np的单位为的单位为千瓦千瓦(kW)；n轴的转速，单位为轴的转速，单位为转转/分分(r/min)。外力偶矩的转向外力偶矩的转向与轴的
2、转向一致与轴的转向一致其中：其中：求内扭矩的方法-截面法规定规定：与截面的外法线方向一与截面的外法线方向一致为正，反之为负。致为正，反之为负。内扭矩随横截面位置内扭矩随横截面位置变化的函数图线变化的函数图线XTM1.截开：截开：2.代替：代替：3.平衡：建立保留部分平衡：建立保留部分的平衡方程，确定未知的平衡方程，确定未知内扭矩。内扭矩。 T-M=0XT【例例】已知：一传动轴，已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入主动轮输入 P1=500kW，从动轮输出从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。试绘制扭矩图。【解解】：计算外力偶矩：计算外力偶
3、矩m)15.9(kN 3005009.5555. 911 nPmm)(kN 78. 43001509.5555. 9232 nPmmm)(kN 37. 63002009.5555. 944 nPmnA B C Dm2 m3 m1 m4112233求扭矩（扭矩按正方向设）求扭矩（扭矩按正方向设）12120 , 0 4.78kN mxmTmTm mkN56. 9)78. 478. 4( , 0 322322 mmTmmTnA B C Dm2 m3 m1 m4043mTmkNT.37. 6315.91 m 78. 432 mm 37. 64 m绘制扭矩图绘制扭矩图mkN 56. 9max TBC段为
4、危险截面。段为危险截面。xT4.789.566.37112233nA B C Dm2 m3 m1 m4mkN56. 9 2 TmkNT.37. 63mkNT.78. 41 求扭矩（扭矩按正方向设）求扭矩（扭矩按正方向设） 3.4.1 表面变形与平面假设表面变形与平面假设圆轴表面变形具有以下特点：圆轴表面变形具有以下特点：各圆周线均绕轴线相对旋转过一个角度，但形状、大小及各圆周线均绕轴线相对旋转过一个角度，但形状、大小及相邻两圆周线之间的距离均无变化。相邻两圆周线之间的距离均无变化。所有纵向线仍保持为直线，但都倾斜了一个微小角度所有纵向线仍保持为直线，但都倾斜了一个微小角度 ，使，使圆轴表面的小
5、矩形变为平行四边形。圆轴表面的小矩形变为平行四边形。变形特征：变形特征： 3.4.1 扭转剪应力和剪应变扭转剪应力和剪应变横截面上无正应力横截面上无正应力横截面上有切应力横截面上有切应力()和切应变和切应变( )剪应力方向必垂于半径剪应力方向必垂于半径 变形几何方程变形几何方程- - 剪应变沿径向分布规律剪应变沿径向分布规律 取微元长度取微元长度d dx x；dxdR max 微元两截面相对扭转角微元两截面相对扭转角d； 由变形特征可知，由变形特征可知，0)tan(）（ dxd d / dx为常量，表示相对扭转角为常量，表示相对扭转角与相对距离之比，无量纲与相对距离之比，无量纲表达式表达式说明
6、说明:，所以：所以：距轴心的距离距轴心的距离: 外径外径:R由剪切胡克定律， 其中其中G、 d / dx均为常量，即均为常量，即dxdGG ）（）（横截面上任一点的剪应力横截面上任一点的剪应力()与该点到圆心与该点到圆心的距离的距离成正比。成正比。上式上式说明说明dxdGR max 静力学方程静力学方程-剪应力表达式剪应力表达式截面上的扭矩截面上的扭矩Mn，即即dxdG ）（ AndAM )(将将 代入，得：代入，得： AndAdxdGM2 由此得：由此得：pnGIMdxd 其中其中 ： ApdAI2 横截面极惯性矩，取横截面极惯性矩，取决于横截面的大小和决于横截面的大小和形状。形状。pIMn
7、2iirmJ 2iiirdxdAJ密度AiidArdArJdx2211时，当密度面转动惯量面转动惯量抗扭刚度：抗扭刚度：GIGIP P反映了圆轴抵抗扭转变形的能力，反映了圆轴抵抗扭转变形的能力，称为圆轴的截面抗扭转刚度称为圆轴的截面抗扭转刚度。得：最大剪应力发生在横截面最外边缘处得：最大剪应力发生在横截面最外边缘处pnpnIMGIMGdxdG ）（pnpnIRMIMmaxmaxpnGIMdxd 分析：分析：在扭矩一定的情况下，在扭矩一定的情况下，GIP愈大，相愈大，相距单位距离的两截面的相对扭转角就愈小距单位距离的两截面的相对扭转角就愈小剪应力沿半径方向的分布：剪应力沿半径方向的分布：分析：分
8、析：用图表示用图表示由剪应力互等定理可知，横截面内的剪应力伴随由剪应力互等定理可知，横截面内的剪应力伴随有位于纵向截面内的等值的剪应力（如上图有位于纵向截面内的等值的剪应力（如上图c）注意：注意： 应力方向与半径垂直，沿某一直径圆应力方向与半径垂直，沿某一直径圆心两侧的应力方向和内力偶的方向一致心两侧的应力方向和内力偶的方向一致式中式中RIWpt作用：作用：WT值越大，则在给定的最大剪应力下圆轴能够抵值越大，则在给定的最大剪应力下圆轴能够抵抗的扭矩抗的扭矩T也就越大。也就越大。tnpnpnWMIRMIMmaxmax意义：意义： 它是衡量截面抵抗扭转能力的几何量它是衡量截面抵抗扭转能力的几何量。
9、WT:抗扭截面系数，单位为抗扭截面系数，单位为3m )8 . 06 . 0( )0 . 18 . 0( 3.4.3.1 扭转强度和刚度计算扭转强度和刚度计算：塑性材料：塑性材料：脆性材料：脆性材料：危险截面危险截面:圆轴扭转时，产生最大剪应力的横截面。圆轴扭转时，产生最大剪应力的横截面。 max tnWMmaxmax强度准则解决圆轴扭转的三类问题强度准则解决圆轴扭转的三类问题RIWpt3.4.3.2 刚度条件刚度条件 pnGIMdxd 圆轴的最大扭转角：圆轴的最大扭转角：扭转刚度准则扭转刚度准则许用扭转角，取值可根据许用扭转角，取值可根据有关设计标淮确定。有关设计标淮确定。pnlpnlGIlM
10、dxGIMd 对于长度为对于长度为 的圆轴的相对转角：的圆轴的相对转角：l注意注意：表达式的应用条件，等截面圆杆：表达式的应用条件，等截面圆杆 单位：弧度单位：弧度/米米 相对扭转角相对扭转角 任意两个横截面绕轴线相对转动的角度。相距为l的两个横截面的相对扭转角为: 注意：注意：l 的正负号与扭矩正负号相同。的正负号与扭矩正负号相同。nA B C Dm2 m3 m1 m4 niiiinniiiIGlM11 l材料在线弹性范围内的等截面圆轴材料在线弹性范围内的等截面圆轴;l在长度在长度l内，内，Mn、G、Ip均为常量。均为常量。 ADpdddAI2/0432322 1623ddIWpt对于实心圆
11、轴对于实心圆轴圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量（系数）圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量（系数）对于内、外直径分别为对于内、外直径分别为d、D的空心圆截面的空心圆截面或或 ADdpdDddAI2/2/4432322）（ 32144）（ DIp其中其中为内外径之比，为内外径之比，d/D。16143）（DWt强度、刚度、稳定性分析BCADTBTCTDTA【解解】【例】【例】已知已知A轮输入扭矩为轮输入扭矩为2068.9Nm, B轮输出扭矩为轮输出扭矩为477.5Nm， C轮输出扭矩为轮输出扭矩为954.9Nm， D轮输出扭矩为轮输出扭矩为636.6Nm，试画出扭力图，并设计该轴直径试画出扭力图，并设计该
12、轴直径d。许可剪应为许可剪应为30N/mm 2强度、刚度、稳定性分析2.画扭矩图，确定危险截面画扭矩图，确定危险截面用截面法求得用截面法求得BC、CA、AD段内各截面上的扭矩分别为段内各截面上的扭矩分别为BCADTBTCTDTA477.5 Nm1432.4 Nm636.6 NmTTBC=477.5 NmTCA=1432.4 NmTAD= 636.6 Nm据此画出扭矩图，据此画出扭矩图，如右下图所示。如右下图所示。由扭矩图可见危险截由扭矩图可见危险截面在面在CA段，最大扭段，最大扭矩为：矩为：Tmax= 1432.4 Nm477.5 N.m 594.9 N.m2068.9 N.m 636.6 N
13、.m强度、刚度、稳定性分析3.由强度条件设计轴直径：由强度条件设计轴直径：由由 mm4 .6230104 .14321616333maxTd取：取：d = 65 mm163maxmaxmaxdTWTt求得轴的直径为：求得轴的直径为： 【例】传动轴的转速为【例】传动轴的转速为n=500r/min，主动轮，主动轮A 输入功率输入功率Np1=400kW，从动轮，从动轮C，B 分别输出功率分别输出功率Np2=160kW，Np3=240kW。已知。已知=70MPa，=1/m，G=80GPa。 (1)试确定试确定AC 段的直径段的直径d1 和和BC 段的直径段的直径d2； (2)若若AC 和和BC 两段选
14、同一直径，试确定直径两段选同一直径，试确定直径d； (3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理主动轮和从动轮应如何安排才比较合理?1eMABC2eM3eM1d2d【解解】 1.计算外力偶矩：计算外力偶矩： 轴上轴上A、B、C三处的外力偶矩为：三处的外力偶矩为：mN76405004009549954911 nNMpemN306040016012 eeMMmN458040024013 eeMM2. 画扭矩图画扭矩图用截面法求得用截面法求得AC、CB段内各截面上的扭矩分别为：段内各截面上的扭矩分别为：TAC=7640 N.m， TCB=4580 N.mmN7640 mN4580 1eMABC2eM3e
15、M1d2d400kW160kW240kWn=500r/min3.直径直径d1的选取的选取n按强度条件按强度条件mN7640 mN4580 1eMABC2eM3eM1d2d 31max16dTACmm2 .82m102 .8210707640161633631 ACTdn按刚度条件按刚度条件mm4 .86m104 .8611080180764032180323429421 GTdACmm4 .861 d 1803241maxdGTAC4.直径直径d2的选取的选取 n按强度条件按强度条件n按刚度条件按刚度条件mm3 .69m103 .6910704580161633632 CBTdmN7640 m
16、N4580 1eMABC2eM3eM1d2dmm76m107611080180458032180323429422 GTdCBmm762 d5.选同一直径时选同一直径时mm4 .861 dd6.将主动轮安装在两从动轮之间受力合理将主动轮安装在两从动轮之间受力合理1eMABC2eM3eM1d2dmN7640 mN4580 2eMCBA1eM3eM1d2dmN3060 mN4580 结束结束强度、刚度、稳定性分析强度、刚度、稳定性分析【例例6.1】如图所示，已知圆如图所示，已知圆截面杆各截面处的外力偶矩截面杆各截面处的外力偶矩大小，大小，试画出其扭矩图。试画出其扭矩图。解解：如图所示的轴，用截面如
17、图所示的轴，用截面法求得法求得AB、BC两段的扭两段的扭矩值分别为：矩值分别为：扭矩图如图（扭矩图如图（d）所示。所示。T1=TA=3000Nm T2=TA-TB=3000-1800 =1200Nm强度、刚度、稳定性分析强度、刚度、稳定性分析 剪切胡克定律剪切胡克定律由实验得到当剪应力不超过比例极限时，剪应力与剪应变由实验得到当剪应力不超过比例极限时，剪应力与剪应变成正比。即：成正比。即： =GG称为剪切弹性模量，与称为剪切弹性模量，与E有相同的量纲和单位。有相同的量纲和单位。强度、刚度、稳定性分析得：得： x= x同理可得：同理可得： y= y由由mz（Fi）=0，即即 x(dxdy)dz=
18、 y (dxdz)dy得：得： x= y结论：结论：在微元体两个相互垂直的截面上，剪应力总是成对出现的，在微元体两个相互垂直的截面上，剪应力总是成对出现的，它们数值相等，其方向同时指向或同时背离截面的交线。它们数值相等，其方向同时指向或同时背离截面的交线。纯剪状态纯剪状态 微元各对面上微元各对面上只有剪应力而没有正应只有剪应力而没有正应力的受力状态称为纯剪力的受力状态称为纯剪状态状态剪应力互等定理剪应力互等定理由平衡方程由平衡方程FY=0，即：即：dydzdydzxx 强度、刚度、稳定性分析求内扭矩的方法-截面法规定规定：与截面的外法线方向一与截面的外法线方向一致为正，反之为负。致为正，反之为
19、负。XTM1.截开：截开：2.代替：代替：3.平衡：建立保留部分平衡：建立保留部分的平衡方程，确定未知的平衡方程，确定未知内扭矩。内扭矩。 T-M=0XT强度、刚度、稳定性分析）（0 tgdx剪应变：剪应变：剪切虎克定律：剪切虎克定律：G意义意义：它是表示材料抵抗剪：它是表示材料抵抗剪切变形能力的大小。切变形能力的大小。 强度、刚度、稳定性分析yxyyxxA 作用在单元体的两个平行平面上作用在单元体的两个平行平面上的剪应力总是等值而反向地成对产的剪应力总是等值而反向地成对产生。生。B）在单元体的两个相互垂直的平面）在单元体的两个相互垂直的平面上，剪应力必然成对存在，且数值上，剪应力必然成对存在，且数值相等，方向相等，方向共同指向共同指向或或共同背离共同背离这这两个平面的交线。两个平面的交线。y y x x
