1、第 1 页（共 15 页） 2020-2021 学年北京市东城区高一（上）期末数学试卷学年北京市东城区高一（上）期末数学试卷 一、选择题：共一、选择题：共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合分。在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。题目要求的一项。 1 （4 分）已知集合 1A ，0，1，集合 2 |1BxN x，那么(AB ) A1 B0，1 C 1，1 D 1，0，1 2 （4 分）已知( )f x为奇函数，且当0 x 时，( )2f xx，则 1 () 2 f 的值为( ) A 5 2 B 3 2 C 3 2 D
2、5 2 3 （4 分）若扇形的半径为 1，周长为，则该扇形的圆心角为( ) A B1 C2 D 1 2 4 （4 分）下列命题为真命题的是( ) A若ab，则 22 ab B若0ab，则 22 acbc C若ab，0c ，则acbc D若0ab，0c ，则 cc ab 5 （4 分）已知tan1 ，则 22 2sin3cos( ) A 7 4 B 1 2 C 1 2 D 3 4 6 （4 分）若函数( )f x是R上的减函数，0a ，则下列不等式一定成立的是( ) A 2 ()f af（a） B 1 ( )( )f af a Cf（a）(2 )fa D 2 ()(1)f af a 7 （4 分
3、）已知 2 log 3a ， 4 log 5b ， 8 log 7c ，则( ) Aabc Bcab Ccba Dbca 8 （4 分） “k，Zk”是“tantan”成立的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 9 （4 分）如图所示，单位圆上一定点A与坐标原点重合若单位圆从原点出发沿x轴正向 滚动一周，则A点形成的轨迹为( ) 第 2 页（共 15 页） A B C D 10 （4 分）已知函数( ) a f xx x ，给出下列结论： aR ，( )f x是奇函数；aR ，( )f x不是奇函数； 第 3 页（共 15 页） aR ，方程(
4、 )f xx 有实根；aR ，方程( )f xx 有实根 其中，所有正确结论的序号是( ) A B C D 二、填空题：共二、填空题：共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 20 分。分。 11 （4 分）函数 2 ( ) x f x x 的定义域为 12 （4 分）已知函数( )f x是指数函数，若 (1) 4 (3) f f ，则( 2)f (3 )f （用“” “ ” “ ”填空） 13 （4 分）在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，它的终边与单位圆交于第一象限 内的点 12 ( ,) 13 P m， 则t a n 保持角始边位置不变， 将其终边逆时针旋转 2 得到角，
5、 则cos 14 （4 分）已知偶函数 2 ( )f xxbxc，写出一组使得( ) 2f x 恒成立的b，c的取值： b ，c 15 （4 分）某地原有一座外形近似为长方体且底面面积为 150 平方米的蓄水池，受地形所 限，底面长和宽都不超过 18 米现将该蓄水池在原有占地面积和高度不变的条件下，重建 为两个相连的小蓄水池，其底面由两个长方形组成（如图所示） 若池壁的重建价格为每平 方米 300 元，池底重建价格每平方米 80 元，那么要使重建价最低，蓄水池的长和宽分别 为 ， 三、解答题：共三、解答题：共 5 小题，共小题，共 40 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。分。解答应写
6、出文字说明，演算步骤或证明过程。 16 （7 分）设全集UR，集合 2 |20Axxx，|10BxR ax （）当1a 时，求AB， UA ； （）若 U BA，求a的取值范围 17 （7 分）已知函数 2 1 1,2 ( )2 (1),2 x f xx logxx （）求(f f（3）)的值并直接写出( )f x的零点； 第 4 页（共 15 页） （）用定义证明( )f x在区间(,2)上为减函数 18 （9 分）已知函数( )sin()f xx，其中0,(0,) 2 从条件、条件、条件这三个条件中选择两个作为已知条件，求： （）( )f x的单调递增区间； （）( )f x在区间0, 2
7、 的最大值和最小值 条件：函数( )f x最小正周期为； 条件：函数( )f x图象关于点(,0) 6 对称； 条件：函数( )f x图象关于 12 x 对称 19 （9 分）已知函数 1 ( ) 21 x f xa 是奇函数 （）求a的值； （）判断( )f x的单调性； （只需写出结论） （）若不等式 2 ()()0f xxf xm恒成立，求m的取值范围 20 （8 分）中国茶文化博大精深小明在茶艺选修课中了解到，不同类型的茶叶由于在水 中溶解性的差别，达到最佳口感的水温不同为了方便控制水温，小明联想到牛顿提出的物 体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是 1 ，环境温度是
8、0 ，则经过 时间t（单位：分）后物体温度将满足： 010 () t e k ，其中k为正的常数小明 与同学一起通过多次测量求平均值的方法得到200ml初始温度为98 C 的水在19 C 室温中温 度下降到相应温度所需时间如表所示： 从98 C 下降到90 C 所用时间 1 分 58 秒 从98 C 下降到85 C 所用时间 3 分 24 秒 从98 C 下降到80 C 所用时间 4 分 57 秒 （）请依照牛顿冷却模型写出冷却时间t（单位：分）关于冷却后水温（单位：C) 的 函数关系，并选取一 组数据求出相应的k值（精确到0.01) （） “碧螺春”用75 C 左右的水冲泡可使茶汤清澈明亮，
9、口感最佳在（）的条件下， 200ml水煮沸后在19 C 室温下为获得最佳口感大约冷却 分钟左右冲泡，请在下列选项 第 5 页（共 15 页） 中选择一个最接近的时间填在横线上，并说明理由 （A）5（B）7（C）10 （参考数据：794.369ln，714.263ln，664.190ln，614.111ln，564.025)ln 第 6 页（共 15 页） 2020-2021 学年北京市东城区高一（上）期末数学试卷学年北京市东城区高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：共一、选择题：共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题列出的四
10、个选项中，选出符合分。在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。题目要求的一项。 1 （4 分）已知集合 1A ，0，1，集合 2 |1BxN x，那么(AB ) A1 B0，1 C 1，1 D 1，0，1 【解答】解： 1A ，0，1，1B ， 1AB 故选：A 2 （4 分）已知( )f x为奇函数，且当0 x 时，( )2f xx，则 1 () 2 f 的值为( ) A 5 2 B 3 2 C 3 2 D 5 2 【解答】解：根据题意，当0 x 时，( )2f xx， 则 113 ( )2 222 f ， 又由( )f x为奇函数，则 113 ()( ) 222 ff ， 故选
11、：C 3 （4 分）若扇形的半径为 1，周长为，则该扇形的圆心角为( ) A B1 C2 D 1 2 【解答】解：扇形的半径为 1，周长为， 所以扇形的弧长为2， 扇形弧长所对的圆心角为 2 2 1 故选：C 4 （4 分）下列命题为真命题的是( ) A若ab，则 22 ab B若0ab，则 22 acbc C若ab，0c ，则acbc D若0ab，0c ，则 cc ab 【解答】解：A由ab，取1a ，1b ，则 22 ab不成立，故A是假命题； B当0c 时， 22 acbc不成立，故B是假命题； 第 7 页（共 15 页） C由ab，0c ，取1a ，2b ，1c ，则acbc不成立，故
12、C是假命题； D由0ab，可知 11 ab ，又0c ， cc ab ，故D是真命题 故选：D 5 （4 分）已知tan1 ，则 22 2sin3cos( ) A 7 4 B 1 2 C 1 2 D 3 4 【解答】解：因为tan1 ， 则 222 22 2222 23232 131 2sin3cos 1( 1)12 sincostan sincostan 故选：B 6 （4 分）若函数( )f x是R上的减函数，0a ，则下列不等式一定成立的是( ) A 2 ()f af（a） B 1 ( )( )f af a Cf（a）(2 )fa D 2 ()(1)f af a 【解答】解：1a 时，
13、2 1 ,aa a a ， 2 1 ()( ),( )( )f af af af a ，A，B都错误； 0a ，2aa，( )f x是R上的减函数，f（a）(2 )fa，即C错误； 222 13 (1)1()0 24 aaaaa ， 2 1aa，且( )f x是R上的减函数， 2 ()(1)f af a，即D正确 故选：D 7 （4 分）已知 2 log 3a ， 4 log 5b ， 8 log 7c ，则( ) Aabc Bcab Ccba Dbca 【解答】解： 22 log 3log 21，1a， 44 log 5log 41，1b， 又 222 55 422 3239 log 9lo
14、g 51 555 loglogloga blogloglog ，ab， 888 log 1log 7log 81，01c， cba ， 故选：C 8 （4 分） “k，Zk”是“tantan”成立的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 第 8 页（共 15 页） C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】 【解答】解： “()Zkk”推不出“tantan” ， 例如当 2 a k，Zk时，tan和tan不存在， “tantan” “()Zkk” ， “()Zkk”是“tantan”成立的必要而不充分条件 故选：B 9 （4 分）如图所示，单位圆上一定点A与坐标原点重合若单位圆从
15、原点出发沿x轴正向 滚动一周，则A点形成的轨迹为( ) A B 第 9 页（共 15 页） C D 【解答】解：因为A在圆上，转动一周，先慢慢升高， 达到最高点的纵坐标为圆的直径长为 2，然后在下来， 转动一周的横坐标为圆的周长2 故选：A 10 （4 分）已知函数( ) a f xx x ，给出下列结论： aR ，( )f x是奇函数；aR ，( )f x不是奇函数； aR ，方程( )f xx 有实根；aR ，方程( )f xx 有实根 其中，所有正确结论的序号是( ) A B C D 【解答】解：函数( ) a f xx x ，定义域为(，0)(0，)，关于原点对称， 且()( ) a
16、fxxf x x ，所以aR ，( )f x是奇函数，故正确，错误； 方程( )f xx ，即为 a xx x ，即 2 20 xa， 当0a时，方程无实根，当0a 时， 2 a x ， 所以aR ，方程( )f xx 有实根，故错误，正确 故正确结论的序号是 故选：B 二、填空题：共二、填空题：共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 20 分。分。 第 10 页（共 15 页） 11 （4 分）函数 2 ( ) x f x x 的定义域为 |0 x x 或02x 【解答】解：要使函数有意义，必有： 0 20 x x ， 可得2x且0 x 所以函数的定义域为： |0 x x 或02
17、x 故答案为： |0 x x 或02x 12 （4 分）已知函数( )f x是指数函数，若 (1) 4 (3) f f ，则( 2)f ( 3)f （用“” “ ” “ ”填空） 【解答】解：设( )(0,1) x f xaaa， (1) 4 (3) f f ， 3 4 a a ，解得： 1 2 a ， 1 ( )( ) 2 x f x，在R上单调递减， 23 ， ( 2)( 3)ff， 故答案为： 13 （4 分）在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，它的终边与单位圆交于第一象限 内的点 12 ( ,) 13 P m，则tan 12 5 保持角始边位置不变，将其终边逆时针旋转 2 得到
18、角，则cos 【解答】解：角与角均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称 若角以Ox为始边，它的终边与单位圆交于第一象限内的点 12 ( ,) 13 P m， 则 2 125 1() 1313 m ， 则 12 12 13 tan 5 5 12 ， 保 持 角始 边 位 置 不 变 ， 将 其 终 边 逆 时 针 旋 转 2 得 到 角， 则 12 coscos()sin 213 第 11 页（共 15 页） 故答案为：12 5 ， 12 13 14 （4 分） 已知偶函数 2 ( )f xxbxc， 写出一组使得( ) 2f x 恒成立的b，c的取值：b 0 ，c 【解答】解：偶函数 2 (
19、)f xxbxc， 0b， 2 ( )f xxc， 2 0 x ，( )f xc， 取2c 时，有( ) 2f x 恒成立， 故答案为：0，2(c的值不唯一） 15 （4 分）某地原有一座外形近似为长方体且底面面积为 150 平方米的蓄水池，受地形所 限，底面长和宽都不超过 18 米现将该蓄水池在原有占地面积和高度不变的条件下，重建 为两个相连的小蓄水池，其底面由两个长方形组成（如图所示） 若池壁的重建价格为每平 方米 300 元，池底重建价格每平方米 80 元，那么要使重建价最低，蓄水池的长和宽分别为 15 ， 【解答】解：设原蓄水池的长、宽、高分辨为a、b、h，重建价格为y， 根据题意有1
20、50ab ，且018a ，018b ， 则重建的池壁造价为 1 (23)300yahbh， 重建的池底造价为 2 80150 8012000yab， 12 300 (3 )30012000yyybh b ， 当 300 3b b ，即10b 时，y取得最小值，此时 150 15 10 a ，1800012000 min yh 故答案为：15，10 三、解答题：共三、解答题：共 5 小题，共小题，共 40 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16 （7 分）设全集UR，集合 2 |20Axxx，|10BxR ax 第 12 页（共 15 页）
21、 （）当1a 时，求AB， UA ； （）若 U BA，求a的取值范围 【解答】解： （）全集UR，集合 2 1 |20 |0 2 Axxxxx， 当1a 时，|10 |1BxR axx x 1 |0 2 ABxx或1x ， |0 UA x x或 1 2 x （）当0a 时， 1 |Bx x a ，若 U BA，则有 11 2a ，解得2a，此时02a ； 当0a 时，B ，满足 U BA； 当0a 时， 1 |Bx x a ，满足 U BA 综上，a的取值范围是(，2 17 （7 分）已知函数 2 1 1,2 ( )2 (1),2 x f xx logxx （）求(f f（3）)的值并直接写
22、出( )f x的零点； （）用定义证明( )f x在区间(,2)上为减函数 【解答】解： （）f（3） 2 log 21，则(f f（3）)f（1） 1 10 12 ，( )f x的零 点为 1 和 2 （） 1 x， 2 (,2)x ，且 12 xx，则 21 12 121212 1111 ( )()1(1) 2222(2)(2) xx f xf x xxxxxx ， 由 12 2xx， 得 21 0 xx， 1 20 x ， 2 20 x ， 所以 12 ()()0f xf x， 即 12 ()()f xf x， 所以( )yf x在区间(,2)上为减函数 18 （9 分）已知函数( )s
23、in()f xx，其中0,(0,) 2 从条件、条件、条件这三个条件中选择两个作为已知条件，求： （）( )f x的单调递增区间； 第 13 页（共 15 页） （）( )f x在区间0, 2 的最大值和最小值 条件：函数( )f x最小正周期为； 条件：函数( )f x图象关于点(,0) 6 对称； 条件：函数( )f x图象关于 12 x 对称 【解答】解：选择条件解答如下： （）由函数( )f x最小正周期 2 | T ，得2 又( )f x图象关于点(,0) 6 对称，有sin2()0 6 ， 又已知(0,) 2 ，故 3 因此( )sin(2) 3 f xx 222, 232 kxk
24、kZ 由剟， 解得 5 1212 x k 剟k，Zk 所以( )f x的单调递增区间为 5 ,() 1212 Z kkk （）因为0 2 x 剟，所以 4 2 333 x 剟 当2 32 x ，即 12 x 时，( )f x取得最大值 1； 当 4 2 33 x ，即 2 x 时，( )f x取得最小值 3 2 如果选择条件解答如下： 由函数( )f x最小正周期 2 | T ，得2 又函数( )f x图象关于 12 x 对称，有sin(2)1 12 ， 又已知(0,) 2 ，故 3 下同 注：选择不能确定函数最小正周期，无法确定函数 19 （9 分）已知函数 1 ( ) 21 x f xa
25、是奇函数 （）求a的值； （）判断( )f x的单调性； （只需写出结论） （）若不等式 2 ()()0f xxf xm恒成立，求m的取值范围 第 14 页（共 15 页） 【解答】解：( ) I因为( )f x为奇函数，定义域为R， 所以(0)0f，即 1 0 2 a ，解得 1 2 a 则 1121 ( ) 2212(21) x xx f x ， 验证 1112 ()( ) 2212(21) x xx fxf x ，满足题意 （） 11 ( ) 221 x f x 为增函数 （）由奇函数( )f x在定义域R上单调递增， 不等式 2 ()()0f xxf xm恒成立， 得 2 ()()f
26、xxf xm恒成立， 即 2 xxxm恒成立 由 2 20 xxm恒成立，有440m，得1m 所以，m的取值范围是(, 1) 20 （8 分）中国茶文化博大精深小明在茶艺选修课中了解到，不同类型的茶叶由于在水 中溶解性的差别，达到最佳口感的水温不同为了方便控制水温，小明联想到牛顿提出的物 体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是 1 ，环境温度是 0 ，则经过 时间t（单位：分）后物体温度将满足： 010 () t e k ，其中k为正的常数小明 与同学一起通过多次测量求平均值的方法得到200ml初始温度为98 C 的水在19 C 室温中温 度下降到相应温度所需时间如表所示： 从
27、98 C 下降到90 C 所用时间 1 分 58 秒 从98 C 下降到85 C 所用时间 3 分 24 秒 从98 C 下降到80 C 所用时间 4 分 57 秒 （）请依照牛顿冷却模型写出冷却时间t（单位：分）关于冷却后水温（单位：C) 的 函数关系，并选取一 组数据求出相应的k值（精确到0.01) （） “碧螺春”用75 C 左右的水冲泡可使茶汤清澈明亮，口感最佳在（）的条件下， 200ml水煮沸后在19 C 室温下为获得最佳口感大约冷却 B 分钟左右冲泡，请在下列选 项中选择一个最接近的时间填在横线上，并说明理由 第 15 页（共 15 页） （A）5（B）7（C）10 （参考数据：7
28、94.369ln，714.263ln，664.190ln，614.111ln，564.025)ln 【解答】解： （）由 010 () t e k ，得 0 10 t e k ， 即 0 10 tln k， 10 0 1 tln k 在环境温度为 0 19 C， 选取从 1 98 C下降到90 C所用时间约为 2 分钟这组数据， 有 179 2 71 ln k ，即 7971 0.05 2 lnln k； 选取从 1 98 C下降到85 C所用时间约为 3.4 分钟这组数据， 有 179 3.4 66 ln k ，即 7966 0.05 3.4 lnln k； 选取从 1 98 C下降到80 C所用时间约为 5 分钟这组数据， 有 179 5 61 ln k ，即 7961 0.05 5 lnln k 故0.05k； （）200ml水煮沸后在19 C室温下大约冷却 7 分钟左右冲泡口感最佳，故选择B 理由如下： 由（）得 79 20 19 tln ， 当75 C时，有20 ( 7956)6.88tlnln 所以200ml水煮沸后在19 C室温下大约冷却 7 分钟冲泡“碧螺春”口感最佳 故选：B
