1、第 1 页（共 21 页） 2020-2021 学年山东省潍坊市高三（上）期末数学试卷学年山东省潍坊市高三（上）期末数学试卷 一、 单项选择题 （本大题共一、 单项选择题 （本大题共 8 小题， 每小题小题， 每小题 5 分， 共计分， 共计 40 分 在每小题给出的四个选项中，分 在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1 （5 分）若()1(abi ii a ，)bR，则 1 ( abi ) A1 2 i B1 2 i C 1 2 i D 1 2 i 2 （5 分）命题“0a ， 1
2、2a a ”的否定是( ) A0a ， 1 2a a B0a ， 1 2a a C0a ， 1 2a a D0a ， 1 2a a 3 （5 分）函数( ) x f xe在点(0，(0)f处的切线方程是( ) Ayx B1yx C1yx D2yx 4 （5 分）音乐，是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受，1807 年法国数学家傅里叶 发现代表任何周期性声音的公式是形如sinyAx的简单正弦型函数之和，而且这些正弦 型函数的频率都是其中一个最小频率的整数倍， 比如用小提琴演奏的某音叉的声音图象是由 图 1，2，3 三个函数图象组成的，则小提琴演奏的该音叉的声音函数可以为( ) A( )0.0
3、6sin10000.02sin15000.01sin3000f tttt B( )0.06sin5000.02sin20000.01sin3000f tttt C( )0.06sin10000.02sin20000.01sin3000f tttt D( )0.06sin10000.02sin25000.01sin3000f tttt 5 （5 分）2020 年 12 月 17 日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球土壤样品，在预定区域安全着 陆嫦娥五号是使用长征五号火箭发射成功的，在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速 度v（单位：/ )m s和燃料的质量M（单位：)gk、火箭（除燃料外）的质量m（单
4、位：)gk 的函数关系表达式为2000 (1) M vln m 如果火箭的最大速度达到12/m sk，则燃料的质量 与火箭的质量的关系是( ) A 6 Me m B 6 1Mme C6lnMlnm D 6 1 M e m 第 2 页（共 21 页） 6 （5 分）已知圆锥的侧面展开图是半径为 2 的半圆，则该圆锥的体积为( ) A2 B3 C 3 3 D3 7 （5 分）已知抛物线 2 1: 12Cyx，圆 22 2:( 3)1Cxy，若点A，B分别在上 1 C， 2 C上 运动，点(1,1)M，则|AMAB的最小值为( ) A2 B5 C2 2 D3 8 （5 分） 已知定义在R上的奇函数(
5、 )f x满足( )(2)f xfx， 当 1x ，1时，( )3f xx， 若函数( )( )(2)g xf xxk的所有零点为(1 i x i ，2，3，)n，当 3 1 7 k时， 1 ( n i i x ) A6 B8 C10 D12 二、 多项选择题 （本大题共二、 多项选择题 （本大题共 4 小题， 每小题小题， 每小题 5 分， 共计分， 共计 20 分 在每小题给出的四个选项中，分 在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9 （5 分）设全集为U，如图所示的阴影部分用集
6、合可表示为( ) AAB B UA B C() U ABB D UA B 10 （5 分）某地区机械厂为倡导“大国工匠精神” ，提高对机器零件质量的品质要求，对现 有产品进行抽检， 由抽检结果可知， 该厂机器零件的质量指标值Z服从正态分布(200,224)N， 则( ) （附:22414.97，若 2 (,)ZN ，则()0.6826PZ， (22 )0.9544)PZ A(185.03200)0.6826PZ B(200229.94)0.4772PZ C(185.03229.94)0.9544PZ D任取 10000 件机器零件，其质量指标值位于区间(185.03,229.94)内的件数约为
7、 8185 件 11 （5 分）将函数( )sin2f xx的图象向左平移 6 个单位，得到函数( )yg x的图象，则以 第 3 页（共 21 页） 下说法正确的是( ) A函数( )g x在(0,) 6 上单调递增 B函数( )yg x的图象关于点( 6 ，0)对称 C()( ) 2 g xg x D()( ) 6 gg x 12 （5 分）已知数列 n a满足： 1 1 nnn aaa ， 1 1a ，设 * () nn blna nN，数列 n b的前 n项和为 n S，则下列选项正确的是( ) (20 . 6 9 3ln ，31.099)ln A数列 21 n a 单调递增，数列 2
8、 n a单调递减 B 1 3 nn bbln C 2020 693S D 212nn bb 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置分请把答案填写在答题卡相应位置 上）上） 13 （5 分）已知(1,1)a ，| 2b ，且()4aba，则向量a与b的夹角为 14 （5 分）已知双曲线 2 2 2 1(0) x ya a 的右焦点为F，过点F作一条渐近线的垂线，垂足 为P，OPF的面积为2，则该双曲线的离心率为 15 （5 分）通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为汉字表示的省、自 治区、
9、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号， 第二部分为由阿拉伯数字和英文字母 组成的序号，如图所示其中序号的编码规则为： 由 10 个阿拉伯数字和除I，O之外的 24 个英文字母组成； 最多只能有 2 个英文字母 则采用 5 位序号编码的鲁V牌照最多能发放的汽车号牌数为 万张 （用数字作答） 16 （5 分）如图，在底面边长为 2，高为 3 的正四棱柱中，大球与该正四棱柱的五个面均相 第 4 页（共 21 页） 切，小球在大球上方且与该正四棱柱的三个面相切，也与大球相切，则小球的半径为 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共计小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应
10、写出文分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤）字说明、证明过程或演算步骤） 17 （10 分）在点( n a，) n S在直线210 xy 上， 1 2a ， 1 22 nn SS ，0 n a ， 1 1a ， 22 11 2320 nnnn aa aa 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解 问题：已知数列 n a的前n项和为 n S，_ （1）求 n a的通项公式； （2）求 n S，并判断 1 S， n S， 1n S 是否成等差数列，并说明理由 18（12 分） 已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 且3c o ss i n3aC
11、cAb （1）求A； （2）若2c ，且BC边上的中线长为3，求b 19 （12 分）已知正方形ABCD的边长为 2，沿AC将ACD折起到PAC位置（如图） ，G为 PAC的重心，点E在边BC上，/ /GE平面PAB （1）若CEEB，求的值； （2）若GEPA，求平面GEC与平面PAC所成锐二面角的余弦值 20 （12 分）在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正 常工作的概率称为系统的可靠度，为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备” （即正在使用的设备出故障时才启动的设备） 已知某计算机网络服务器系统采用的是“一 用两备” （即一台正常设备，两台备用设
12、备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工 作，计算机网络就不会断掉设三台设备的可靠度均为(01)rr，它们之间相互不影响 （1）要使系统的可靠度不低于 0.992，求r的最小值； 第 5 页（共 21 页） （2）当0.9r 时，求能正常工作的设备数X的分布列； （3） 已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是 0.7， 根据以往经验可知， 计算机网络断掉可能给该产业园带来约 50 万的经济损失为减少对该产业园带来的经济损 失，有以下两种方案： 方案 1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在 0.9，更新设备硬件总费用为 8 万元； 方案 2：对系统的设备进行维护，
13、使得设备可靠度维持在 0.8，设备维护总费用为 5 万元 请从期望损失最小的角度判断决策部门该如何决策？ 21 （12 分）已知点B是圆 22 :(1)16Cxy上的任意一点，点( 1,0)F ，线段BF的垂直 平分线交BC于点P （1）求动点P的轨迹E的方程； （2）设曲线E与x轴的两个交点分别为 1 A， 2 A，Q为直线4x 上的动点，且Q不在x轴 上， 1 QA与E的另一个交点为M， 2 QA与E的另一个交点为N，证明：FMN的周长为定 值 22 （12 分）已知函数 1 ( )() x f xeax aR 在区间(0,2)上有两个不同的零点 1 x， 2 x （1）求实数a的取值范围
14、； （2）求证： 12 1 x x a 第 6 页（共 21 页） 2020-2021 学年山东省潍坊市高三（上）期末数学试卷学年山东省潍坊市高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、 单项选择题 （本大题共一、 单项选择题 （本大题共 8 小题， 每小题小题， 每小题 5 分， 共计分， 共计 40 分 在每小题给出的四个选项中，分 在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1 （5 分）若()1(abi ii a ，)bR，则 1 ( abi ) A1 2 i B
15、1 2 i C 1 2 i D 1 2 i 【解答】解：()1abi iibai ， 1ab， 1111 1(1)(1)2 ii abiiii ， 故选：B 2 （5 分）命题“0a ， 1 2a a ”的否定是( ) A0a ， 1 2a a B0a ， 1 2a a C0a ， 1 2a a D0a ， 1 2a a 【解答】解：命题“0a ， 1 2a a ”为全称命题， 则其的否定为0a ， 1 2a a ， 故选：B 3 （5 分）函数( ) x f xe在点(0，(0)f处的切线方程是( ) Ayx B1yx C1yx D2yx 【解答】解：由( ) x f xe，得( ) x f
16、xe， 则 0 (0)1fe， 又(0)1f， 函数( ) x f xe在点(0，(0)f处的切线方程是1yx 故选：C 4 （5 分）音乐，是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受，1807 年法国数学家傅里叶 发现代表任何周期性声音的公式是形如sinyAx的简单正弦型函数之和，而且这些正弦 型函数的频率都是其中一个最小频率的整数倍， 比如用小提琴演奏的某音叉的声音图象是由 第 7 页（共 21 页） 图 1，2，3 三个函数图象组成的，则小提琴演奏的该音叉的声音函数可以为( ) A( )0.06sin10000.02sin15000.01sin3000f tttt B( )0.06sin5
17、000.02sin20000.01sin3000f tttt C( )0.06sin10000.02sin20000.01sin3000f tttt D( )0.06sin10000.02sin25000.01sin3000f tttt 【解答】解：由图 1 知，0.06A ， 211 500500500 T ， 所以 2 1000 T ，所以0.06sin1000yt； 结合题意知，函数( )0.06sin10000.02sin20000.01sin3000f tttt 故选：C 5 （5 分）2020 年 12 月 17 日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球土壤样品，在预定区域安全着 陆嫦娥五号
18、是使用长征五号火箭发射成功的，在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速 度v（单位：/ )m s和燃料的质量M（单位：)gk、火箭（除燃料外）的质量m（单位：)gk 的函数关系表达式为2000 (1) M vln m 如果火箭的最大速度达到12/m sk，则燃料的质量 与火箭的质量的关系是( ) A 6 Me m B 6 1Mme C6lnMlnm D 6 1 M e m 【解答】解：由题意可得：2000 (1)12000 M vln m ， 得 6 1 M e m ，解得： 6 1 M e m ， 如果火箭的最大速度达到12/m sk，则燃料的质量与火箭的质量的关系是 6 1 M e m ，
19、故选：D 6 （5 分）已知圆锥的侧面展开图是半径为 2 的半圆，则该圆锥的体积为( ) A2 B3 C 3 3 D3 【解答】解：圆锥的侧面展开恰为一个半径为 2 的半圆，所以圆锥的底面周长为：2， 底面半径为：1，圆锥的高为：3； 第 8 页（共 21 页） 圆锥的体积为： 2 13 13 33 ， 故选：C 7 （5 分）已知抛物线 2 1: 12Cyx，圆 22 2:( 3)1Cxy，若点A，B分别在上 1 C， 2 C上 运动，点(1,1)M，则|AMAB的最小值为( ) A2 B5 C2 2 D3 【解答】解：过点A作AP垂直于抛物线的准线，垂足为点P， 过点M作MD垂直于抛物线的
20、准线，垂足为点D， 2 12yx焦点(3,0)F与圆 2 C圆心重合， 若要使得|AMAB的最小，|AB必须最小， |11ABAFrAFAP 最小 ， 所以()1AMABAMAP 最小 ， 而()134AMAPMD 最小 ， 所以()3AMAB 最小 故选：D 8 （5 分） 已知定义在R上的奇函数( )f x满足( )(2)f xfx， 当 1x ，1时，( )3f xx， 若函数( )( )(2)g xf xxk的所有零点为(1 i x i ，2，3，)n，当 3 1 7 k时， 1 ( n i i x ) A6 B8 C10 D12 【解答】解：定义在R上的奇函数( )f x满足( )(
21、2)f xfx，故图象关于1x 对称， ()(2)fxfx， 第 9 页（共 21 页） 故(2)( )fxf x ， (4)(2)( )fxfxf x ， 即周期为 4，又因为当 1x ，1时，( )3f xx， 函数( )( )(2)g xf xxk的所有零点即为( )(2)f xxk的交点， 因为 3 1 7 k时，对应图象如图， 故共有 5 个零点，一个为 2，另两对都关于(2,0)对称， 1 2222210 n i i x ， 故选：C 二、 多项选择题 （本大题共二、 多项选择题 （本大题共 4 小题， 每小题小题， 每小题 5 分， 共计分， 共计 20 分 在每小题给出的四个选
22、项中，分 在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9 （5 分）设全集为U，如图所示的阴影部分用集合可表示为( ) AAB B UA B C() U ABB D UA B 【解答】解：设全集为U，如图所示的阴影部分用集合可表示为： UA B或() U ABB， 故A，D均错误，B，C均正确 故选：BC 10 （5 分）某地区机械厂为倡导“大国工匠精神” ，提高对机器零件质量的品质要求，对现 第 10 页（共 21 页） 有产品进行抽检， 由抽检结果可知， 该厂机器零件的质量指标值Z服从
23、正态分布(200,224)N， 则( ) （附:22414.97，若 2 (,)ZN ，则()0.6826PZ， (22 )0.9544)PZ A(185.03200)0.6826PZ B(200229.94)0.4772PZ C(185.03229.94)0.9544PZ D任取 10000 件机器零件，其质量指标值位于区间(185.03,229.94)内的件数约为 8185 件 【解答】解：因为(200,224)N，所以200，22414.97， 故214.97，2229.94，185.03，2170.06， 故(170.06229.94)0.9544PZ，(185.03214.97)0.
24、6826PZ， 由正态分布函数的对称性可知A选项应为(185.03200)0.3413PZ，故A错； (200229.94)0.4772PZ ，故B正确； (185.03229.94)(185.03200)(200229.94)0.34130.47720.8185PZPZPZ， 故C错； 由C可知任取 10000 件机器零件，其质量指标值位于区间(185.03,229.94)内的件数约为 100000.81858185件，故D正确 故选：BD 11 （5 分）将函数( )sin2f xx的图象向左平移 6 个单位，得到函数( )yg x的图象，则以 下说法正确的是( ) A函数( )g x在(
25、0,) 6 上单调递增 B函数( )yg x的图象关于点( 6 ，0)对称 C()( ) 2 g xg x D()( ) 6 gg x 【解答】 解： 函数( )sin2f xx的图象向左平移 6 个单位， 得到函数( )sin(2) 3 yg xx 的 图象， 第 11 页（共 21 页） 对于A： 由于(0,) 6 x ， 所以 2 2(,) 333 x ， 故函数在该区间上， 先增后减， 故A错误； 对于B：当 6 x 时，()0 6 g ，故B正确； 对于C：由于函数( )g x的最小正周期 2 2 T ，所以()( ) 2 g xg x 成立，故C正确； 低于D：当 6 x 时， 2
26、3 ()sin1 632 g ，即()( ) 6 gg x ，不成立，故D错误 故选：BC 12 （5 分）已知数列 n a满足： 1 1 nnn aaa ， 1 1a ，设 * () nn blna nN，数列 n b的前 n项和为 n S，则下列选项正确的是( ) (20 . 6 9 3ln ，31.099)ln A数列 21 n a 单调递增，数列 2 n a单调递减 B 1 3 nn bbln C 2020 693S D 212nn bb 【解答】解：因为 1 1a ， 1 1 nnn aaa ，所以 1 1 n n n a a a 即 2 21 1 n n n a a a ， 令 2
27、1 ( ) 1 x g x x ，则 1 ( )0 (1)2 g x x ，所以( )g x单调递增， 所以 2 2 0 nn nn aa aa ，所以 2 n a， 21 n a 都单调， 又因为 13 aa， 24 aa所以 21 n a 单调递增， 2 n a单调递减，故A正确； 欲证 111 ()3 nnnnnn bblnalnaln a aln ，即 1 3 nn aa ，即1 3 n a ，即2 n a ， 由 1 1 n n n a a a ，上式可化为 1 1 1 2 n n a a ，即 1 1 n a ， 显然2n 时， 1 1a ，当3n时， 2 1 2 1 1 n n
28、n a a a ，故 1 1 n a 成立， 所以原不等式成立，故B正确， 因为1 n a ，2，所以 1 1 (1)1 2,3 nnnn n a aaa a ， 所以 1 2 nn bbln ，3ln， 2020 1010 2693Sln ，故C正确； 因为 1 51 1 2 a ，若 21 51 2 n a ，则 21 21 1151 22 1251 1 2 n n a a ， 因为 2 51 2 2 a ，若 2 51 2 n a ，则 22 2 1151 22 1251 1 2 n n a a ， 第 12 页（共 21 页） 由数学归纳法， 212 51 2 nn aa ，则 212
29、nn aa ， 212nn bb ，故D不正确 故选：ABC 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置分请把答案填写在答题卡相应位置 上）上） 13 （5 分）已知(1,1)a ，| 2b ，且()4aba，则向量a与b的夹角为 4 【解答】解：(1,1)a ，| 2b ，且()4aba， 2 4aa b， 所以422a b 22 cos, 2|2 2 a b a b a b 由0, a b剟， , 4 a b 故答案为： 4 14 （5 分）已知双曲线 2 2 2 1(0) x ya a 的右焦点为F，
30、过点F作一条渐近线的垂线，垂足 为P，OPF的面积为2，则该双曲线的离心率为 3 2 4 【解答】解：双曲线 2 2 2 1(0) x ya a 的1b ，设双曲线的半焦距为c，且 2 1ca， 设过( ,0)F c与一条渐近线0 xay垂直的直线为l， 则l的方程为：()ya xc ， 由 1 () yx a ya xc 解得 2 a x c ， a y c ， 即 2 (aP c ，) a c ， OPF的面积为2， 11 |2 22 P a OFyc c ， 2 2a， 813c ， 33 2 42 2 c e a ， 第 13 页（共 21 页） 故答案为： 3 2 4 15 （5 分
31、）通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为汉字表示的省、自 治区、 直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号， 第二部分为由阿拉伯数字和英文字母 组成的序号，如图所示其中序号的编码规则为： 由 10 个阿拉伯数字和除I，O之外的 24 个英文字母组成； 最多只能有 2 个英文字母 则采用 5 位序号编码的鲁V牌照最多能发放的汽车号牌数为 706 万张 （用数字作答） 【解答】解：根据题意，分 3 种情况讨论： ，汽车号牌中没有字母，有 5 10种组合， ，汽车号牌中有 1 个字母，有 1145 245 1012 10CC种组合， ，汽车号牌中有 2 个字母，若两个字母不同，有 22
32、34 245 10552 10CA种组合， 若两个字母相同，有 1234 245 1024 10CC种组合， 则汽车号牌中有 2 个字母的组合有 444 552 1024 10576 10种， 共有 5544 1012 10576 10706 10种情况，故最多能发放的汽车号牌数为 706 万张， 故答案为：706 16 （5 分）如图，在底面边长为 2，高为 3 的正四棱柱中，大球与该正四棱柱的五个面均相 切，小球在大球上方且与该正四棱柱的三个面相切，也与大球相切，则小球的半径为 515 2 【解答】解：大球的半径为1R ，设小球的半径为r，如图， 由题意可知，22ODr，2CDr，1COr
33、 ， 第 14 页（共 21 页） 所以 222 (1)(2)( 22 )rrr， 2 21050rr， (0,1)r， 解得 1010040515 42 r ， 故答案为： 515 2 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共计小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤）字说明、证明过程或演算步骤） 17 （10 分）在点( n a，) n S在直线210 xy 上， 1 2a ， 1 22 nn SS ，0 n a ， 1 1a ， 22 11 2320 nnnn aa aa 这三个条件中任选
34、一个，补充在下面问题中，并求解 问题：已知数列 n a的前n项和为 n S，_ （1）求 n a的通项公式； （2）求 n S，并判断 1 S， n S， 1n S 是否成等差数列，并说明理由 【解答】解：选条件： （1）由题设可得：210 nn aS ，即21 nn Sa， 当2n时，有 11 21 nn Sa ， 两式相减得： 1 22 nnn aaa ，即 1 2 nn aa ，2n， 又当1n 时， 11 21Sa，即 1 1a ， 数列 n a是首项为 1，公比为 2 的等比数列， 1 2n n a ； （2）由（1）可得： 12 21 12 n n n S ， 1 11 21 12
35、(21)2 nn nn SSS ， 第 15 页（共 21 页） 1 S， n S， 1n S 成等差数列 选条件： （1） 1 2a ， 1 22 nn SS ， 1 22 nn SS ，2n， 两式相减得： 1 2 nn aa ，2n， 又当1n 时，有 2112 22SSaa，可解得： 2 4a ， 21 2aa， 数列 n a是首项、公比均为 2 的等比数列， 2n n a； （2）由（1）可得： 1 2(12 ) 22 12 n n n S ， 21 11 2222(22)2 nn nn SSS ， 1 S， n S， 1n S 成等差数列 选条件： （1） 22 11 2320 n
36、nnn aa aa ， 11 (2)(2)0 nnnn aaaa ， 0 n a ， 1 20 nn aa ，即 1 1 2 nn aa ， 又 1 1a ，数列 n a是首项为 1，公比为 1 2 的等比数列， 1 1 2 n n a ； （2）由（1）可得： 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 n n n S ， 11 11 2112 22 nn nn SSS ， 1 S， n S， 1n S 不成等差数列 18（12 分） 已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 且3c o ss i n3aC cAb （1）求A； （2）若2c ，且BC边上的中线长为3，求b 【 解 答
37、 】 解 ：（ 1 ） 因 为3 cossin3aCcAb， 由 正 弦 定 理 可 得 第 16 页（共 21 页） 3sincossinsin3sinACCAB， 因为BAC， 所以3sincossinsin3sincos3cossinACCAACAC， 可得sinsin3cossinCAAC， 因为sin0C ， 所以sin3cosAA ， 可得tan3A ， 又因为(0, )A，可得 2 3 A （2）由余弦定理可得 2222 2cos42abcbcAbb， 又在ABC中， 22222 4 cos 24 acbab B aca ，设BC的中点为D， 在ABD中， 2 222 ( )1
38、24 cos 2 2 2 aa cAD B a a c ， 可得 2 221 4 4 42 a ab aa ， 可得 22 420ab， 由可得 2 280bb，解得4b 19 （12 分）已知正方形ABCD的边长为 2，沿AC将ACD折起到PAC位置（如图） ，G为 PAC的重心，点E在边BC上，/ /GE平面PAB （1）若CEEB，求的值； （2）若GEPA，求平面GEC与平面PAC所成锐二面角的余弦值 【解答】解： （1）连接CG，并延长交PA于点F，连接BF， / /GE平面PAB，GE 平面BCF，平面BCF平面PABBF， / /GEBF， G为PAC的重心， 2CGGF， 2C
39、EEB，即2 第 17 页（共 21 页） （2）由（1）知，/ /GEBF， GEPA，BFPA， F为PA的中点， 2PBAB， 取AC的中点O，连接PO，则2POBO， 在POB中， 222 POBOPB，即POBO， POAO，AOBOO，AO、BO 平面ABC， PO平面ABC， 以O为原点，OB，OC，OP所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐 标系， 则(0A，2，0)，( 2B，0，0)，(0C，2，0)，(0P，0，2)，(0F， 2 2 ， 2 ) 2 ， (0FC ， 3 2 2 ， 2 ) 2 ，(2BC ，2，0)， 设平面BCF的法向量为(mx，y，
40、) z，则 0 0 m FC m BC ，即 3 22 0 22 220 yz xy ， 令1y ，则1x ，3z ，(1m ，1，3)， OB 平面PAC， 平面PAC的一个法向量为(1n ，0，0)， cosm， 111 | |111 19 1 m n n mn ， 故平面GEC与平面PAC所成锐二面角的余弦值为 11 11 20 （12 分）在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正 常工作的概率称为系统的可靠度，为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备” （即正在使用的设备出故障时才启动的设备） 已知某计算机网络服务器系统采用的是“一 第 18 页（共
41、 21 页） 用两备” （即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工 作，计算机网络就不会断掉设三台设备的可靠度均为(01)rr，它们之间相互不影响 （1）要使系统的可靠度不低于 0.992，求r的最小值； （2）当0.9r 时，求能正常工作的设备数X的分布列； （3） 已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是 0.7， 根据以往经验可知， 计算机网络断掉可能给该产业园带来约 50 万的经济损失为减少对该产业园带来的经济损 失，有以下两种方案： 方案 1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在 0.9，更新设备硬件总费用为 8 万元； 方案 2
42、：对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在 0.8，设备维护总费用为 5 万元 请从期望损失最小的角度判断决策部门该如何决策？ 【解答】解： （1）要使系统的可靠度不低于 0.992， 则 3 (1)1(1)1(0)1(1)0.992P XP XP Xr 厖， 解得0.8r，故r的最小值为 0.8 （2）X正常工作的设备数，由题意可知，(3, )XBr， 003 3 (0)0.9(10.9)0.001P XC， 112 3 (1)0.9(10.9)0.027P XC， 221 3 (2)0.9(10.9)0.243P XC， 330 3 (3)0.9(10.9)0.729P XC， 从而X的
43、分布列为 X 0 1 2 3 P 0.001 0.027 0.243 0.729 （3）设方案 1、方案 2 的总损失分别为 1 X， 2 X， 采用方案 1，更换部分设备的硬件，使得设备可靠度达到 0.9，由（2）可知计算机网络断掉 的概率为 0.001，不断掉的概率为 0.999， 因为 1 ()800000.001 50000080500E X元 采用方案 2，对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在 0.8，由（1）可知计算机网络 断掉的概率为 0.008， 第 19 页（共 21 页） 2 ()500000.008 50000054000E X元， 因此，从期望损失最小的角度，决策
44、部分应选择方案 2 21 （12 分）已知点B是圆 22 :(1)16Cxy上的任意一点，点( 1,0)F ，线段BF的垂直 平分线交BC于点P （1）求动点P的轨迹E的方程； （2）设曲线E与x轴的两个交点分别为 1 A， 2 A，Q为直线4x 上的动点，且Q不在x轴 上， 1 QA与E的另一个交点为M， 2 QA与E的另一个交点为N，证明：FMN的周长为定 值 【解答】 （1）解：由题意可知，42PFPCPBPCFC， 所以动点的轨迹是以F，C为焦点且长轴长为 4 的椭圆， 所以2a ，1c ，故 222 3bac， 所以动点P的轨迹E的方程为 22 1 43 xy ； （2）证明：题意可
45、知， 1( 2,0) A ， 2(2,0) A，(4Q，)(0)t t 为直线4x 上一点， 设 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y， 直线 1 AQ的方程为(2) 6 t yx， 直线 2 A Q的方程为(2) 2 t yx， 联立方程组 22 (2) 6 1 43 t yx xy ，可得 2222 (27)441080txt xt， 可得 2 1 2 4108 ( 2) 27 t x t ， 所以 2 1 2 542 27 t x t ， 故 2 2 542 ( 27 t M t ， 2 18 ) 27 t t ， 同理可得 2 22 266 (,) 33 tt N tt
46、 ， 故直线MN的方程为 2 222 6626 () 393 ttt yx ttt ， 即 222 666 (1) 999 ttt yxx ttt ， 故直线MN过定点(1,0)， 所以FMN的周长为定值 8 当3t 时，MN是椭圆的通径，经过焦点(1,0)，此时FMN的周长为定值48a ， 综上可得，FMN的周长为定值 8 第 20 页（共 21 页） 22 （12 分）已知函数 1 ( )() x f xeax aR 在区间(0,2)上有两个不同的零点 1 x， 2 x （1）求实数a的取值范围； （2）求证： 12 1 x x a 【解答】解： （1）由( )0f x ，得： 1x e
47、a x ， 设 1 ( ) x e h x x ，(0,2)x， 即直线ya与曲线( )yh x在(0,2)上有 2 个交点， 又 1 2 (1) ( ) x ex h x x ， 当(0,1)x时，( )0h x，( )h x单调递减， (1,2)x时，( )0h x，( )h x单调递增， 故( )minh xh（1）1， 而h（2） 2 e ，当(0,1)x时，( )(1h x ，)， 故(1, ) 2 e a； （2）证明： 1 ( ) x fxea ，由( )0fx，得1xlna ， 当(0,1)xlna时，( )0fx，( )f x在(0,1)lna单调递减， 当(1,2)xlna
48、时，( )0fx，( )f x在(1,2)lna单调递增， 1 x， 2 x为( )f x的两个零点，不妨设 12 xx，则 12 012xlnax ， 且 1 2 1 1 1 2 x x eax eax ，取对数 11 22 1 1 xlnalnx xlnalnx ， 原不等式等价于 12 lnxlnxlna ， 等价于 12 22xxlnalna ， 等价于 12 2xxlna， 第 21 页（共 21 页） 即证 122 1 11xlnaxlnx ， 2 12lnax， 故 2 (1)2lnlnalnxln， 故 2 1211(1)1lnlnxlnlna ， 即证 12 0()(1)f xflnx， 即 2 2 1 2 2 (1)0 x lnx e elnx x ， 即 2 1 2 1(1)0 x elnx ， 2 1 2 1 x elnx ， 2 (1,2)xlna， 设 1 ( ) x m xelnx ， 1 1 ( ) x x ex m x xe ，易知 1 (1) x ex x ， 故( )0m x，( )m x在(0,)单调递增， 故( )(1)m xmlnam（1）1， 故 12 0lnxlnxlna， 故 12 1 x x a
