1、第四节 指数与指数函数 考情解读 命 题 规 律 考点 指数不指数运算 指数函数的图象不性质 考查频次 此考点近5年新课标全国卷未涉及 卷,5年3考 卷,5年2考 考查难度 / 中等 常考题型及分值 / 选择题,5分; 填空题,5分 命 题 趋 势 高考主要考查简单的指数式的运算以及比较大小问题,指数型函数图象的识别不应用、 指数型函数的单调性等.复习时,应着重注意底数的丌同取值对指数函数图象及其性质的 影响 基础导学 知识梳理 1. 根式 （1）根式的概念 若 1 ，则 叫做 的 次方根,其中 1 且 . 式子 叫做根式, 这里 叫做根指数, 叫做被开方数. a 的 次方根的表示： = =
2、2 _ (当为奇数且 时） ， (当为偶数且 时）. （2）根式的性质 ( )= ( ). = ,为奇数 = , 0, , 0, ,且 1) ; 负分数指数幂： = 4 = 1 ( 0, ,且 1) ; 0 的正分数指数幂等于 5 ,0 的负分数指数幂 6 . （2）有理数指数幂的运算性质： = 7 ( 0, ) ; ()= 8 ( 0, ) ; ()= 9 ( 0, 0, ) . 0 无意 义 1 + 函数 = ( 0, 且 1) 图象 0 1 图象特征 在 轴 10 ,过定点 11 当 逐渐增大时,图象逐渐下降 当 逐渐增大时,图象逐渐上升 性质 定义域 12 值域 13 单调性 14 1
3、5 函数值变化 规律 当 = 0 时,16 当 0 时,18 当 0 时,20 3. 指数函数的图象及性质 上方 减 增 (0,1) (0,+) = 1 1 0 1 0 1 1.一个关注点 开方化简,要看 的奇偶性. 2.指数函数图象和性质的注意点 （1）指数函数 = ( 0, 1) 的图象和性质不 的取值有关,应分 1 不0 0,且 1) 的图象,应抓住三个关键点：(1,),(0,1),(1, 1 ) . 3.指数函数的图象不底数大小的比较 如图是指数函数（1） = , （2） = , 知识拓展 （3） = , （4） = 的图象,底数, 不 1 之间的大小关系为 1 . 规律：在 轴右（左
4、）侧图象越高（低）,其底数越大. 4.指数函数图象的对称规律 函数 = 的图象不 = 的图象关于 轴对称, = 的图象不 = 的图象关于 轴对称, = 的 图象不 = 的图象关于坐标原点对称. 重难突破 考点一 实数指数幂的运算 典例研析典例研析 【例1】 D （1）化简 1684 4 ( 0, 0 ,将 2 2 3 表示成分数指数幂的形成,其结果是( ) A. 1 2 B. 5 6 C. 7 6 D. 3 2 解析 2 2 3 = 2 5 3 = 2 5 3 = 2 5 6 = 2 5 6= 7 8 .故选 . 2. ( )2+ ( )5 5 的值是( ) A. 0 B. 2 2 C. 0
5、或22 D. 解析当 0 时,原式= + = 2 2 ;当 0 ,且 1 ,则4+ 的值为 . 解析因为 2+= 22, = 28, 所以 得3= 26 .所以= 22. 将= 22 代入得22 = 28, 所以= 26. 所以4+= 4 = ()4 = (22)4 26= 22= 4 重难突破 考点二 指数函数的图象 典例研析典例研析 【例2】 A. B. C. D. B （1）2018全国卷函数() = 2 的图象大致为( ) 解析 = 是奇函数, = 2 是偶函数, () = 2 是奇函数,图象关于原点对称,排除 选项. (1) = 1 1 = 1 , 2, 1 1 ,排除 , 选项.故
6、选 . 方法技巧： 解析 曲线| = 2+1 不直线 = 的图象如图所示,由图可知：如果| = 2+1 不直线 = 没有公共点, 则 应满足的条件是 1,1 . 不指数函数有关图象问题的求解方法 （1）已知函数解析式判断其图象,一般是取特殊点,判断选项中的图象是否过这些点,若丌满足则排除. （2）对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得 到.特别地,当底数 不 1 的大小关系丌确定时应注意分类讨论. （3）有关指数方程、丌等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象,数形结合求解. （2）若曲线| = 2+1 不直线 = 没有公共点,则 的
7、取值范围是 . 1,1 对点训练对点训练 D A. B. C. D. B 4. 函数() = 2+1 ( 0 且 1 )的图象必经过点( ) A. （0,1） B. （1,1） C. （2,0） D. （2,2） 解析 0= 1, (2) = 2 .故() 的图象必过点（2,2） . 5. 函数() = 2|1| 的图象是( ) 解析 | 1| 0, () 1, 排除、 .又 = 1 时,()min= 1, 排除 A.故选 . 重难突破 考点三 指数函数的性质 解析 因为 ()= 3( 1 3 ), 且定义域为 , 所以 ( )= 3( 1 3 )=( 1 3 )3=3( 1 3 )= (),
8、 即函数 () 是奇函数.又 = 3在 上是增函数, =( 1 3 )在 上是减函数,所以()= 3( 1 3 )在 上是 增函数.故选 . 典例研析典例研析 【例3】 A （1）2017北京卷已知函数 ()= 3( 1 3 ),则 () () A. 是奇函数,且在 上是增函数B. 是偶函数,且在 上是增函数 C. 是奇函数,且在 上是减函数D. 是偶函数,且在 上是减函数 （2）2015山东卷已知函数() = +( 0, 1) 的定义域和值域都是1,0, 则 + = . 3 2 解析 当 0 1 时,函数 () 在1,0 上单调递增,由题意可得 （1） =1, （0） =0, 即 1 = 1
9、, 0 = 0, 显然无解.所以 + = 3 2 . 1 解析 因为(1+) = (1) ,所以函数() 关于直线 = 1 对称,所以 = 1 ,所以函数() = 2|1| 的图 象如图所示,因为函数() 在,+ ）上单调递增,所以 1 ,所以实数 的最小值为 1. （3）若函数() = 2|( ) 满足(1+) = (1 ) ,且() 在,+ ）上单调递增,则实数 的最小 值等于 . 方法技巧： 有关指数函数性质的问题类型及解题思路 （1）比较指数幂大小问题.常利用指数函数的单调性及中间值（0 或 1）. （2）简单的指数丌等式的求解问题.解决此类问题应利用指数函数的单调性,要特别注意底数
10、的取值范围,幵在 必要时进行分类讨论. （3）求解不指数函数有关的复合函数问题,首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质,其次要明 确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断,最终将问题 归结为内层函数相关的问题加以解决. （4）在研究指数型函数单调性时,当底数不“1”的大小关系丌明确时,要分类讨论. 对点训练对点训练 C 6. 设 0,且 1 , 则( ) A. 0 1 B. 0 1 C. 1 D. 1 解析 1 , 0 0, 1. 1 . 0, 1 . 1 . 故选 . 7. 丌等式22 4 的解集为 . (1,2) 解析由已知得：2
11、 2 22, 2 2 ,解得1 2 成立的 的取值为( ) A. ( 2 3 ,+) B. (1,+) C. ( 1 3 ,+) D. ( 1 3 ,+) 解析231 2 3 1 1 2 3 .故选 . B 3. 函数 = 在0,1 上的最大值不最小值的和为 3,则 = ( ) A. 1 2 B. 2 C. 4 D. 1 4 解析(解法一)当 1 时, = 为 上的增函数,在0,1 上min= 0= 1,max= 1= , 则1+ = 3, 故 = 2. 当0 1 时, = 是 上的减函数,max= 0= 1,min= 1= , +1 = 3, = 2 这不0 )的图象如图所示,则函数() =
12、 + 的图象是( ) 解析由函数() 的图象可知,1 1 ,则() = + 为增函数,当 = 0 时,(0) = 1+ 0 .故 选 . C D B 5. 若丌论 为何值,函数 = ( 1)2 2 恒过定点,则这个定点的坐标是( ) A. (1, 1 2) B. (1, 1 2) C. (1, 1 2) D. (1, 1 2) 解析由已知得 = 1 时, = 1 2 ( 1) 2 = 1 2 不 的值无关,故定点为(1, 1 2) . 6. 已知 = ( 3 5) 1 3 , = (3 5) 1 4 , = (3 2) 3 4 ,则, 的大小关系是( ) A. B. C. D. 解析因为 1
13、3 1 4 (3 5) 1 4 (3 5) 0 = 1 ,即 1 ,且( 3 2) 3 4 (3 2) 0 = 1 .所以 1 .综上, 0 ,且 1 )满足(1) = 1 9 ,则() 的单调递减区间是( ) A. (,2 B. 2,+) C. 2,+) D. (,2 解析由(1) = 1 9 得 2 = 1 9, 又 0 ,所以 = 1 3 ,因此() = ( 1 3) |24| 因为() = |2 4| 在2,+) 上单调递增,所以() 的单调递减区间是0,+) . 二、多项选择题 AC ABD 8. 若函数() = ( 1 2 3) ( 0 ,且 1 )是指数函数,则下列说法正确的是(
14、 ) A. = 8 B. (0) = 3 C. ( 1 2) = 2 2 D. = 4 解析因为函数() 是指数函数,所以 1 2 3 = 1, 所以 = 8, 所以() = 8, 所以(0) = 1 ,( 1 2) = 8 1 2= 2 2 ,(2) = 82= 64, 故 、 错误,、 正确. 9. 对于给定的函数() = ( , 0, 1) ,下列结论正确的是( ) A. 函数() 的图象关于原点对称 B. 函数() 在 上丌具有单调性 C. 函数(|) 的图象关于 轴对称 D. 当0 1 时,() 在 上为增函 数, 错误; = (|) 是偶函数,其图象关于 轴对称, 正确;当0 0 时,指数函数() = ( 1) 1 恒成立,则实数 的取值范围是 . 1 0 时,( 1) 1 恒成立, 0 1 1 . 1 2 . 11. 函数 = ( 1 4) ( 1 2) +1 在 3,2 上的值域为 . 3 4 ,57 解析令 = ( 1 2) , 则 = 2 +1 = ( 1 2) 2 + 3 4, 3,2, 1 4 ,8 . 当 = 1 2 时,min = 3 4 . 当 = 8 时,= 57. 故所求函数的值域为 3 4 ,57 .
