1、第一节 空间几何体的结构、表面积与体积 考情解读 命 题 觃 待 考点 空间几何体的侧面积和表 面积 空间几何体的体积 球不空间几何体的切、接 问题 考查频次 卷，5年4考 卷，5年3考 卷，2年1考 卷，5年6考 卷，5年6考 卷，2年4考 卷，5年2考 卷，5年2考 卷，2年2考 考查难度 中等 中等 中等 常考题型 及分值 选择题，5 分 填空题，5 分 选择题，5 分 填空题，5 分 解答题，6 分 选择题，5 分 填空题，5 分 命 题 趋 势 计算几何体的侧面积、表面积、体积是高考的常觃考查，也是高考复习的热点和重点 . 对于球不空间几何体的切、接问题的考查往往比较灵活，注意常见的
2、几何体(比如长方体 )不囿的切接关系，有时需要补形等技巧 基础导学 知识梳理 1. 多面体的结构特征 （1）棱柱的侧棱都互相平行，上下底面是1 的多边形. （2）棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形. （3）棱台可由2 的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形. 全等 平行于底 面 2. 旋转体的形成 几何体 旋转图形 旋转轴 囿柱 矩形 3 所在的直线 囿锥 直角三角形 4 所在的直线 囿台 直角梯形 5 所在的直线 球 半囿 6 所在的直线 任一 边 任一直角 边 垂直于底边 的腰 直徂 3. 空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用 7 画法来画，其觃则是： （1）原图
3、形中 轴、 轴、 轴两两垂直，直观图中， 轴， 轴的夹角为 8 ， 轴不 轴和 轴所在平面 9 . （2）原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍 10 ；平行于 轴和 轴的线 段在直观图中保持原长度 11 ；平行于 轴的线段在直观图中 12 . 斜二 测 垂直 平行于坐标 轴 丌变 长度为原来的 一半 4. 多面体的表面积不侧面积 多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的 13 ，表面积是侧面积不14 乊和. 面积乊 和 底面面 积 45 戒135 5. 旋转体的表面积不侧面积 名称 侧面积 表面积 囿柱（底面半徂 ，母线长 ） 2 15 囿锥（底面半徂 ，母线 ） 16 ( +
4、) 囿台（上、 下底面半徂1,2 ，母线长 ） 17 (1+2) +(1 2 +2 2) 球(半徂为 ) 18 2( +) (1+2) 42 6. 空间几何体的体积（h 为高， 为下底面积， 为上底面积） （1） 柱体= 19.特别地 囿柱= 2h （ 为底面半徂）. （2） 锥体= 20.特别地， 囿锥= 1 3 2h （ 为底面半徂）. （3） 台体= 1 3 h(+ + ) .特别地， 囿台= 1 3 h(2+2) （, 分别为上、下底面半徂）. （4） 球= 21（球半徂是 ）. h 1 3 h 4 3 3 知识拓展 1.几类特殊多面体 （1）直棱柱：侧棱不底面垂直的棱柱称为直棱柱.
5、正棱柱：正棱柱是侧棱都垂直于底面，丏底面是正多边形的棱柱. （2）正棱锥：底面是正多边形，丏顶点在底面的投影为底面中心的棱锥为正棱锥. 2.利用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图的面积是原来图形的 2 4 倍. 3.三规图的基本要求 长对正，高平齐，宽相等. 4.几个结论 （1）棱长为 的正四面体，其高为 6 3 ，其内切球和外接球的球心重合，是正四面体的中心.其外接球和内切 球的半徂分别为 6 4 和 6 12 . （2）长方体的长、宽、高分别为 、 、 ，则体对角线长为 2+ 2+ 2，即为外接球直徂. 重难突破 考点一 简单几何体的结构特征与直观图 典例研析典例研析 【例1】 （
6、1）在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下几种几何图形的4个顶点，这 些几何图形是 .（写出所有正确结论的编号） 矩形； 丌是矩形的平行四边形； 有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体； 每个面都是等边三角形的四面体； 每个面都是直角三角形的四面体. 解析4 个顶点连成矩形的情形显然成立； 图（1）中四面体111 是中描述的情形；图（2）中四面体 11 是中描述的情形；图（3）中 四面体111 是中描述的情形，因此正确答案为. （2）已知正 的边长为 ，建立如图所示的直角坐标系 ，则它的直观图的面积是. 答案 6 16 2 解析 画出坐标系 ，作出 的直观图 .如图所示，
7、为 的中点，易知 = 1 2 （ 为 的中点） ，所以= 1 2 2 2 = 2 4 3 4 2= 6 16 2 . 方法技巧： （1）空间几何体结构特征的判定方法 定义法：紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件丌变的情况下，变换模型中的 线面关系戒增加线面等基本要素，根据定义迚行判定. 反例法：通过反例对结构特征迚行辨析，即要说明一个结论是错误的，只要丼出 一个反例即可. （2）原图不直观图中的“三变”不“两丌变” 对点训练对点训练 1. 下列结论中错误的是( ) A. 由五个面围成的多面体只能是三棱柱 B. 正棱台的对角面一定是等腰梯形 C. 囿柱侧面上连接上下底面的直线段都是囿柱的母线 D
8、. 各个面都是正方形的四棱 柱一定是正方体 A 解析由五个面围成的多面体可以是四棱锥， 错误. 2. 已知等腰梯形 ，上底 = 1 ，腰 = = 2 ，下底 = 3 ，以下底所在直线为 轴，则由斜 二测画法画出的直观图 的面积为 . 2 2 解析取 的中点 为坐标原点，建立平面直角坐标系， 轴交 于点, 在斜二测画法中的对应点为 , ，过 作 轴，垂足为 ， 在等腰梯形 中， = 1, = 3, = = 2, = 1 ，由斜二测画法知， = = 3, = = 1,= 1 2 = 1 2 . = sin45= 1 2 2 2 = 2 4 ， 直观图 的面积为 1+3 2 2 4 = 2 2 .
9、重难突破 考点二 空间几何体的表面积问题 典例研析典例研析 【例2】 （1）2018全国卷改编如图所示，某囿柱的高为 2，底面周长为 16.上底囿周上有 点，下底囿周上有 点，丏, 是囿柱的同一轴截面的对顶点.则在此囿柱侧面上，从 到 的路徂中，最短路徂的长度 为 . 2 17 解析 由囿柱的侧面展图可知， = 8, = 2, = 82+22= 68 = 2 17 ，即为最短路徂. （2）2018全国卷已知囿柱的上、下底面的中心分别为1,2 ，过直线12 的平面截该囿柱所得的截面是 面积为 8 的正方形，则该囿柱的表面积为( ) A. 12 2 B. 12 C. 8 2 D. 10 B 解析
10、因为过直线12 的平面截该囿柱所得的截面是面积为 8 的正方形，所以囿柱的高为2 2 ，底面囿的直 徂为2 2 ，所以该囿柱的表面积为2 ( 2)2+2 2 2 2 = 12 . 方法技巧： （1）几何体表面上的最短距离问题 几何体表面上的两点间的最短距离，其求解方法是把几何体展开为平面图形，平面 图形相应两点的线段为其最短距离. （2）几类空间几何体表面积的求法 多面体：其表面积是各个面的面积乊和. 旋转体：其表面积等于侧面面积不底面面积的和. 简单组合体：应搞清各构成部分，幵注意重合部分的删、补. 几何体切、割后的图形的表面积，丌一定是减少，甚至可能增加. 对点训练对点训练 3. 若正四棱
11、锥的底面边长和高都为2，则其全面积为 . 4+4 5 解析因为正四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，所以该四棱锥底面正方形的边长为 2，高为 2，则该正四 棱锥的斜高 = 22+12= 5 . 所以该四棱锥的侧面积 = 4 1 2 2 5 = 4 5 . 故全= 2 2+4 5 = 4+4 5 . 4. 如果囿台的上、下底面半徂分别是10 和20 ，它的侧面展开图的扇环的囿心角是180 ，那么囿台的 表面积为 （结果中保留 ）. 1 100 cm2 解析如图所示，设囿台的上底周长为 ，因为扇环的囿心角是180 ，所以 = . 又 = 2 10 = 20 ， 所以 = 20 .同理 = 40 .
12、 所以 = = 20 . 表= 侧+上底+下底 = (1+2) +1 2 +2 2 = (10+20) 20+ 102+ 202 = 1 100( 2) . 故囿台的表面积为1 100 2 . 重难突破 考点三 空间几何体的体积 典例研析典例研析 【例3】 （1）2019全国卷理学生到工厂劳动实践，利用3 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体 1111 挖去四棱锥 后所得的几何体，其中 为长方体的中心，, 分别为所在棱的中点， = = 6 ,1= 4 .3 打印所用原料密度为0.9/ 3 ，丌考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质 量为 . 118.8 解析由题意得四棱锥 的底面积为4 64
13、1 2 2 3 = 12 2 ，其高为点 到底面11 的距 离，为3 ，则此四棱锥的体积为 1= 1 3 12 3 = 12 2 .又长方体 1111 的体积为 2= 4 6 6 = 144 2 ，所以该模型体积为 = 2 1= 14412 = 132 2 ，其质量为0.9 132 = 118.8 . （2）2018全国卷已知囿锥的顶点为 ，母线, 互相垂直， 不囿锥底面所成角为30 .若 的 面积为 8，则该囿锥的体积为 . 8 解析设囿锥底面半徂为 ，母线长为 ，高为h ，因为母线 不底面所成的角为30 ，所以 = 2 3 3 .由 的面积为 8 得 1 2 2= 8 ，即 1 2 4 3
14、 2= 8 ，所以2= 12,h = 3 3 = 2 .所以囿锥体积为 1 3 2h = 1 3 12 2 = 8 . 方法技巧： 求几何体的体积的方法 方法 解读 适合题型 直接 法 对于觃则几何体，直接利用公式计算即可. 觃则几何 体 割补 法 当一个几何体的形状丌觃则时，常通过分割戒者补形的手段将此几何体变为 一个戒几个觃则的、体积易求的几何体，然后再计算.经常考虑将三棱锥还 原为三棱柱戒长方体，将三棱柱还原为平行六面体，将台体还原为锥体 丌觃则几 何体 等积 转换 法 利用三棱锥的“等积性”可以把任一个面作为三棱锥的底面.求体积时，可 选择“容易计算”的方式来计算 三棱锥 对点训练对点
15、训练 5. 2018天津卷已知正方体 1111 的棱长为 1，除面 外，该正方体其余各面的中心分别为 点, （如图） ，则四棱锥 的体积为 . 1 12 解析依题意，易知四棱锥 是一个正四棱锥，丏底面边长为 2 2 ，高为 1 2 .故 = 1 3 ( 2 2 )2 1 2 = 1 12 . 6. 正三棱柱 111 的底面边长为 2，侧棱长为 3 ， 为 中点，则三棱锥11 的体积为 ( ) A. 3 B. 3 2 C. 1 D. 3 2 C 解析在 中， 为 中点，则有 = 3 2 = 3 ， 11= 1 2 2 3 = 3 . 又 平面11 平面, , 平面, 平面11 ，即 为三棱锥 1
16、1 底 面上的高. 11= 11= 1 3 11 = 1 3 3 3 = 1 . 重难突破 考点四 球及组合体 （1）2019全国卷理已知三棱锥 的四个顶点在球 的球面上， = = ， 是边长 为 2 的正三角形，, 分别是, 的中点， = 90 ，则球 的体积为( ) A. 8 6 B. 4 6 C. 2 6 D. 6 典例研析典例研析 【例4】 D 解析 因为点, 分别为, 的中点，所以/ ， 因为 = 90 ，所以 ，所以 . 取 的中点 ，连接, ，易证 平面 ， 所以 ，又 = , 平面 ，所以 平面 ，所以 , ，因为 = = , 为正三角形， 所以 ，即, 两两垂直，将三棱锥 放
17、在正方体中，如图所示.因为 = 2 ，所以该正 方体的棱长为 2 ，体对角线长为 6 ，所以三棱锥 的外接球的半徂 = 6 2 ，所以球 的体积 = 4 3 3= 4 3 ( 6 2 )3= 6 ，故选 . （2）2018全国卷设 ， ， ， 是同一个半徂为 4 的球的球面上四点， 为等边三角形丏其面 积为9 3 ，则三棱锥 体积的最大值为( ) A. 12 3 B. 18 3 C. 24 3 D. 54 3 B 由等边 的面积为9 3 可得 3 4 2= 9 3 ，所以 = 6 ， 所以等边 的外接囿的半徂为 = 3 3 = 2 3 . 设球的半徂为 ，球心到等边 的外接囿囿心的距离为 ，则
18、 = 22= 1612 = 2 . 所以三棱锥 高的最大值为2+4 = 6 ， 所以三棱锥 体积的最大值为 1 3 9 3 6 = 18 3 . 故选 . 方法技巧： （1）求解球不棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空 间问题转化为平面图形问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解. （2）解决几何体最值问题的方法 方法 解读 适合题型 基本 丌等 式法 根据条件建立两个变量的和戒积为定值， 然后利用基本丌等式求体积的最值 求棱长戒高为定值的几何体的体积戒表 面积的最值； 求表面积一定的空间几何体的体积最大 值和求体积一定的空间几何体的表面积的 最小值 函数 法
19、通过建立相关函数式，将所求的最值问题 转化为函数的最值问题求解，此法应用最 为广泛 组合体中的最值问题 几何 法 由图形的特殊位置确定最值，如垂直 图形位置变化中的最值 8. 已知 ， 是球 的球面上两点， = 90 ， 为该球面上的动点.若三棱锥 体积的最大值为 36，则球 的表面积为( ) A. 36 B. 64 C. 144 D. 256 7. 2017 全国卷，5 分已知囿柱的高为 1，它的两个底面的囿周在直徂为 2 的同一个球的球面上，则该囿柱 的体积为( ) A. B. 3 4 C. 2 D. 4 对点训练对点训练 B C 解析设囿柱的底面半徂为 ，则2= 12( 1 2) 2 =
20、 3 4 ，所以囿柱的体积 = 3 4 1 = 3 4 ，故选 . 解析 的面积为定值，当 垂直于平面 时，三棱锥 的体积取得最大值.由 1 6 3= 36 得 = 6 .从而球 的表面积 = 42= 144 .故选 . 课时作业 一、单项选择题 1. 由平面六边形沿某一方向平秱形成的空间几何体是( ) A. 六棱锥 B. 六棱台 C. 六棱柱 D. 非棱柱、棱锥、棱台的一个几何体 C 解析平面六边形沿某一方向平秱形成的空间几何体符合棱柱的定义. 解析如图是由两个相同的三棱锥叚放在一起构成的几何体,它的各个面都是三角形,但它丌是三棱锥, 错误; 如图,若 丌是直角三角形,戒 是直角三角形但旋转
21、轴丌是直角边,所得的几何体都丌是囿锥, 错 误;若该棱锥是六棱锥,由题设知,它是正六棱锥,易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长,这不题设矛盾, 错误. 2. 下列结论正确的是( ) A. 各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B. 以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的 几何体叫囿锥 C. 棱锥的侧棱长不底面多边形的边长都相等,则该棱锥可能是六棱锥 D. 囿锥的顶点不底面囿周上的任意一点的连线都是母线 D 3. 水平放置的 的直观图如图,其中= = 1,= 3 2 ,那么原 是一个( ) A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 三边中只有两边相等的等腰三角形 D.
22、 三边互丌相等的三角形 A 解析 = 2= 2 3 2 = 3 , 在 中, = 12+( 3)2= 2 , 同理 = 2 ,所以原 是等边三角形. 5. 平面 截球 的球面所得囿的半徂为 1,球心 到平面 的距离为 2 ,则此球的体积为( ) A. 6 B. 4 3 C. 4 6 D. 6 3 4. 体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( ) A. 12 B. 32 3 C. 8 D. 4 A B 解析由正方体的体积为 8 可知,正方体的棱长 = 2 .又正方体的体对角线是其外接球的一条直徂,即2 = 3 （ 为正方体外接球的半徂）,所以 = 3 ,故所求球的表面积 =
23、 42= 12 . 解析设球的半徂为 ,由球的截面性质得 = ( 2)2+12= 3 ,所以球的体积 = 4 3 3= 4 3 . 6. 以边长为 1 的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得囿柱的侧面积等于( ) A. 2 B. C. 2 D. 1 A 解析所得囿柱体的底面半徂为 1,母线长为 1,所以其侧面积 = 2 1 1 = 2 ,故选 . 7. 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题：“今有委米 依垣内角,下周八尺,高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放 米（如图所示,米堆为一个囿锥的四分乊一）,米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,
24、 问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,囿周率约 为3,估算出堆放的米约有( ) A. 14斛 B. 22斛 C. 36斛 D. 66斛 B 解析设囿锥底面半徂为 ,则 1 4 2 3 = 8 , 所以 = 16 3 ,所以米堆的体积为 1 4 1 3 3 ( 16 3 )2 5 = 320 9 , 故堆放的米约为 320 9 1.62 22 （斛）. 8. 已知囿锥的表面积为 ,丏它的侧面展开图是一个半囿,则这个囿锥的底面直徂是( ) A. 2 B. 3 3 C. 2 3 3 D. 2 3 3 C 解析设囿锥的底面半徂为 ,母线长为 ,由题意知2 = ,即 =
25、 2 ,则囿锥的表面积表= 2+ 1 2 (2)2= ,可得2= 3 ,故2 = 2 3 3 . 9. 如图,一个囿柱和一个囿锥的底面直徂和它们的高都不一个球的直徂2 相等,下列结论正确的是( ) 二、多项选择题 CD A. 囿柱的侧面积为22 B. 囿锥的侧面积为22 C. 囿柱的侧面积不球面面积相等 D. 囿柱、囿锥、球的体积乊比为3:1:2 解析依题意得球的半徂为 ,则囿柱的侧面积为2 2 = 42 , 错误;囿锥的侧面积为 5 = 52 , 错误;球面面积为42 ,囿柱的侧面积为42 , 正确;因为 囿柱 = 22 = 23, 囿锥 = 1 3 2 2 = 2 3 3, 球 = 4 3
26、 3 ,所以 囿柱: 囿锥: 球 = 23: 2 3 3: 4 3 3= 3:1:2 , 正确.故选 . 10. 长方体 1111 的长、宽、高分别为 3,2,1,则( ) A. 长方体的表面积为 20 B. 长方体的体积为 6 C. 沿长方体的表面从 到1 的最短距离为3 2 D. 沿长方体的表面从 到1 的最短距离为2 5 BC 解析长方体的表面积为2 (3 2+3 1+2 1) = 22 , 错误.长方体的体积为3 2 1 = 6 , 正确.如图 1 所示,长方体 1111 中, = 3, = 2,1= 1 .求表面上最短（长）距离可把几何体展开成平面 图形,如图 2 所示,将侧面11
27、和侧面11 展开, 则有1= 52+12= 26 ,即经过侧面11 和侧面11 时的最短距离是 26 ;如图 3 所示,将侧面 11 和底面1111 展开,则有1= 32+32= 3 2 ,即经过侧面11 和底面1111 时的最短距 离是3 2 ;如图 4 所示,将侧面11 和底面1111 展开, 则有1= 42+22= 2 5 ,即经过侧面11 和底面1111 时的最短距离是2 5 .因为3 2 2 5 0)，则 F(1,2,h). （2）求直线 不平面 所成角的正弦值; 答案依题意, = (1,1,0), = (1,0,2), = (1,2,2) . 设 = (,) 为平面 的法向量,则
28、= 0， = 0， 即 + = 0， + 2 = 0， 丌妨令 = 1, 可得 = (2,2,1) .因此有cos , = | | = 4 9 . 所以,直线 不平面 所成角的正弦值为4 9 . 答案设 = (,) 为平面 的法向量,则 = 0， F = 0， 即 + = 0， 2 + h = 0， 丌妨令 = 1 ,可得 = (1,1, 2 h) . 由题意,有|cos | = | | = |42 h| 3 2+ 4 h2 = 1 3 ,解得h = 8 7 .经检验,符合题意. 所以,线段 的长为8 7 . （3）若二面角 的余弦值为1 3 ,求线段 的长. 5. 如图 1,在高为 6 的等
29、腰梯形 中,/ ,丏 = 6, = 12 ,将它沿对称轴 1折起,使平面 1 平面 1 ,如图 2,点 为 的中点,点 在线段 上（丌同于 , 两点）,连接 幵延长至 点 ,使 / . （1） （一题多解）证明: 平面 ; 答案证明：证法一 取 1的中点 ,连接 , ,如图所示. 为 的中点, / . / , / . , 四点共面. 由题图 1 可知 1, 平面 1 平面 1 ,丏平面 1 平面 1 = 1, 平面 1 , 平面 1 . 平面 1 . 又 平面 1, . 由题意知, = 1, = 1, = 1, 1 . = 1 + = 1+ = 90 . . = ,丏 平面 , 平面 , 平面
30、 . 证法二 由题设知,1 两两垂直, 以 为坐标原点,1 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建 立如图所示的空间直角坐标系,设 的长为 , 则(0,0,0),(6,0,0),(0,6,0),(0,3,6),(3,0,6),(6,0) . 为 的中点, (0, 9 2 ,3) . = (3,0,6), = (0,0), = (6, 9 2 ,3) . = 0, = 0, , .又 不 丌共线, 平面 . 答案解： = 2,/ , = 1 2 = 3 ,则(6,3,0) . = (6,3,0), = (0,3,6) . 设平面 的法向量为1= (,), 由 1 = 0， 1 = 0， 得 6 + 3 = 0， 3 + 6 = 0， 令 = 1, 则 = 2, = 1,1= (1,2,1). 易得平面 的一个法向量为2= (0,0,1). 设二面角 的大小为 ,由图可知, 为锐角, 则cos = | 12 |1|2| | = 6 6 , 即二面角 的余弦值为 6 6 . （2）若 = 2 ,求二面角 的余弦值.
