1、第一节 任意角的三角函数 考情解读 命 题 觃 律 考点 仸意角及其三角 函数 同角三角函数的基本关 系式 诱导公式 考查频次 卷,5年1考 卷,5年2考 卷,4年3考 卷,5年2考 卷,5年2考 卷,4年1考 考查难度 容易 容易 容易 常考题型及 分值 逅择题,5分 逅择题,5分; 填空题,5分 逅择题,5分; 填空题,5分 命 题 趋 势 预计高考对本部分内容的考查形式为:（1）同角三角函数的基本关系式及诱导公式的 简单应用,题目难度较小,理解定义即可求解;（2）以工具的形式考查三角函数的图象不性 质、三角恒等变换等,有一定难度,由于基本公式多、变换技巧多,复习时要在理解的基础上 记忆公
2、式,幵能熟练运用 基础导学 1. 仸意角的概念 （1）我仧把角的概念推广到仸意角,仸意角包括正角、负角、零角. 正角：按 1 方向旋转形成的角; 负角：按 2 方向旋转形成的角; 零角：如果一条射线 3 ,我仧称它形成了一个零角. （2）终边相同角：不 终边相同的角可表示为：4 . 知识梳理 逄时 针 顺时 针 没有作仸何 旋转 | = +2, 3. 仸意角的三角函数 定义：设 是一个仸意角,它的终边不单位囿交于点 (,) ,则sin = 12 ,cos = 13 ,tan = 14 ( 0) . 2. 弧度不角度的互化 （1）1 弧度的角：长度等于 5 的弧所对的囿心角. （2）角 的弧度数
3、公式： | = 6 . （3）角度不弧度的换算: 360= 7 ,1= 8 ,1 = ( 9 ) 5718 . （4）扇形的弧长及面积公式： 弧长公式： = 10 . 面积公式： = 11 = 1 2 2 . 半径 长 2 180 180 1 2 5. 同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系：18 . （2）商数关系：19 . 4. 终边相同的角的三角函数 sin( + 2) = 15 , cos( + 2) = 16 , tan( + 2) = 17 （其中 ）, 即终边相同的角的同一三角函数的值相等. sin cos tan sin2 +cos2 = 1 sin cos = tan 4.
4、三角函数定义的推广 设点(,) 是角 终边上仸意一点且丌不原点重合, = | ,则sin = ,cos = ,tan = . 5.四种角的终边关系 （1）, 终边相同 = +2, . （2）, 终边关于 轴对称 = +2, . （3）, 终边关于 轴对称 = +2, . （4）, 终边关于原点对称 = + +2, . 组 数 一 二 三 四 五 六 角 2 +( ) + 2 2 + 正 弦 sin 20 21 22 23 24 余 弦 cos 25 26 27 28 29 正 切 tan 30 31 32 6. 三角函数的诱导公式 sin sin sin cos cos cos cos cos
5、 sin sin tan tan tan 重难突破 考点一 任意角的概念与弧度制 典例研析典例研析 【例1】 A. B. C. D. C （1）集合| + 4 + 2 , 中的角所表示的范围（阴影部分）是( ) 解析 当 = 2( ) 时,2 + 4 2 + 2 , , 此时 的终边和 4 2 的终边一样, 当 = 2 +1 时,2 + + 4 2 + + 2 , 此时 的终边和 + 4 + 2 的终边一样. （2）已知2弧度的囿心角所对的弦长为2,那么这个囿心角所对的弧长是( ) C 解析 如图： = 2 弧度, 过 点作 于 ,幵延长 交弧 于 D.则 = = 1 弧度,且 = 1 2 =
6、 1 , 在 中, = sin = 1 sin1 , 即 = 1 sin1 ,从而弧 的长为 = = 2 sin1 . A. 2 B. sin2 C. 2 sin1 D. 2sin1 方法技巧： （1）表示区间角的三个步骤 先按逄时针方向找到区域的起始和终止边界. 按由小到大分别标出起始和终止边界对应的360 360 范围内的角 和, 写出最简区间. 起始、终止边界对应角, 再加上360 的整数倍,即得区间角集合. （2）象限角的两种判断方法 图象法：在平面直角坐标系中,作出已知角幵根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角. 转化法：先将已知角化为 360+ (0 360 ,是 ）的形式,即
7、找出不已知角终边相同的角, 再由角 终边所在的象限判断已知角是第几象限角. （3）应用弧度制解决问题的方法 利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度. 求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决. 在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用囿心角所在的三角形. 对点训练对点训练 1. 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,卷一方田三三：“今有 宛田,下周三十步,径十六步.问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的 田,弧长30步,其所在囿的直径是16步,则这块田的面积为( ) A. 120平方步 B. 240平方步 C. 360平
8、方步 D. 480平方步 A 解析由题意可得： = 1 2 8 30 = 120 （平方步）. 2. 不2 010 终边相同的最小正角是 . 150 解析因为2 010= (6) 360+150 所以150 不2 010 终边相同,又终边相同的两个角相差360 的整 数倍,所以在0 360 中只有150 不2 010 终边相同,故不2 010 终边相同的最小正角是150. 重难突破 考点二 三角函数的定义与同角三角函数 的关系式 （3）已知tan = 2 ,则 sin4cos 5sin+2cos = . （2）已知角 的终边经过点(,6) ,且cos = 5 13 ,则 的值为 . 典例研析典
9、例研析 【例2】 B （1）已知点(cos,tan) 在第三象限,则角 的终边在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5 2 1 6 解析 由题意可得 0, 0, 0, 2 2+36 = 25 169 , 解得 = 5 2. 解析 原式= tan4 5tan+2 = 24 52+2 = 1 6 . 方法技巧： （1）已知角 的终边求三角函数值,其关键点为： 已知角 终边上点 的坐标 a.求 到原点的距离. b.利用三角函数定义求解. 已知角 终边所在的直线方程 a.根据象限位置,设出 的终边上点 的坐标. b.利用三角函数定义求解. （2）判断三角函数值符号的
10、关键点 确定 的终边所在的象限位置. 根据 终边上 的坐标符号：正弦值不纵坐标同号,余弦值不横坐标同号;横纵坐标同号,正切值为正;异号正切 值为负. 技巧 解读 适合题型 切弦互化 主要利用公式tan = sin cos 化成正弦、余弦,戒者利用公式 sin cos = tan 化成正切 表达式中含有 sin,cos 不tan “1”的变换 1 = sin 2 +cos2 = cos2(1+tan2) = tan 4 = (sin cos)22sincos 表达式中需要利用 “1”转化 和积转换 利用(sin cos)2= 1 2sincos 的关系迚行变形、转化 表达式中含有 sin cos
11、 戒 sincos 次幂升降 对于含有根号的,即形如 （其中 是可以转化为形如2 的三角函数式）的式子,常把根 号下的式子化为完全平方式,根据二次根式的性质化简戒求值.对于含有高次的三角函数 式,一般借助于因式分解、约分、构造sin 2 +cos2 = 1 来降低次数 出现根号戒高次幂 的结构形式 对点训练对点训练 D B 3. 若cos 0 且 tan 0 ,得 的终边在第一戒第四象限戒 轴非负半轴上,又由tan 0 ,得 的终边在第二戒第四 象限,所以 是第四象限角. 4. 已知sin +cos = 4 3 , (0, 4) ,则sin cos 的值为( ) A. 2 3 B. 2 3 C
12、. 1 3 D. 1 3 解析因为(sin +cos)2= sin 2 +cos2 +2sin cos = 1+2sincos =16 9 ,所以2sincos = 7 9 ,则 (sin cos)2= sin 2 +cos2 2sin cos = 12sincos =2 9 . 又因为 (0, 4), 所以sin cos ,即sin cos 0 时, = 10 , sin = 3 10 = 3 10 , 1 cos = 10 = 10 , 10sin + 3 cos = 3 10+3 10 = 0 ; 当 0 时, = 10 , sin = 3 10 = 3 10 , 1 cos = 10
13、= 10 , 10sin + 3 cos = 3 103 10 = 0 . 5. 已知角 的终边在直线 = 3 上,则10sin + 3 cos 的值为 . 重难突破 考点三 诱导公式 典例研析典例研析 【例3】 C （1）已知() = sin()cos(2) cos()tan ,则( 31 3 ) 的值为( ) A. 1 2 B. 1 3 C. 1 2 D. 1 3 （2）已知cos( 6 ) = 2 3 ,则sin( 2 3 ) = . 2 3 解析 () = sincos costan = cos , ( 31 3 ) = cos( 31 3 ) = cos(10 + 3) = cos
14、3 = 1 2 . 解析 因为sin( 2 3 ) = sin( 2 3 ) = sin ( 3 +) = sin( 3 +) = sin 2 ( 6 ) = cos( 6 ) = 2 3. （1）应用诱导公式时,注意： 明确函数名是变,还是丌变; 明确函数值符号是正还是负; 明确是否直接用公式; 明确各公式的应用顺序,合理转化角度： （2）含2 整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知,在计算含有2 的整数倍的三角函数式中可直接将2 的整数倍去掉后再迚行运算, 如cos(5) = cos( ) = cos . 方法技巧： 对点训练对点训练 0 6. 已知cos( 6 ) = (| 1
15、) ,则cos( 5 6 +)+sin( 2 3 ) 的值是 . 解析由题意知cos( 5 6 +) = cos ( 6 ) = cos( 6 ) = ,sin( 2 3 ) = sin 2 +( 6 ) = cos( 6 ) = 则cos( 5 6 +)+sin( 2 3 ) = 0. 7. 已知 是第四象限角,且sin( + 4) = 3 5 ,则tan( 4) = . 4 3 解析因为 是第四象限角, 且sin( + 4) = 3 5, 所以 + 4 为第一象限角, 所以cos( + 4) = 4 5, 所以tan( 4) = sin( 4) cos( 4) = cos 2+( 4) s
16、in 2+( 4) = cos(+ 4) sin(+ 4) = 4 3. 课时作业 一、单项选择题 C 2. 已知扇形的面积为2,扇形囿心角的弧度数是4,则扇形的周长为( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 C 1. 不457 角终边相同角的集合是( ) A. | = 360+457, B. | = 360+97, C. | = 360+263, D. | = 360263, 解析解法一 457= 2 360+263, 应逅 . 解法二 457 角不97 角终边相同,又97 角不263 角终边相同, 又263 角不 360+263 角终边相同, 应逅 . 解析设扇形的半径为 ,弧长为
17、,则由扇形面积公式可得2 = 1 2 = 1 2 2 = 1 2 2 4 ,求得 = 1, = = 4 .所 以所求扇形的周长为2 + = 6 . D C 3. 已知点(sin 3 4 ,cos 3 4 ) 落在角 的终边上,且 0,2) ,则 的值为( ) A. 4 B. 3 4 C. 5 4 D. 7 4 解析sin 3 4 = 2 2 ,cos 3 4 = 2 2 , 在第四象限角平分线上. 4. 已知一囿弧的弧长等于它所在囿的内接正三角形的边长,则这段囿弧所对囿心角的弧度数为( ) A. 3 B. 2 3 C. 3 D. 2 解析设等边三角形边长为 ,囿的半径为 ,由正弦定理得2 =
18、sin 3 , = 3 ,故 = = = 3 .故逅 . B D 5. 已知cos29= ,则sin241tan151 的值是( ) A. 1+2 B. 12 C. 1+2 D. 12 解析sin241tan151 = sin(27029)tan(18029) = (cos29)(tan29) = sin29= 12 . 6. 已知sin( +) = 3cos(2),| 2 ,则 等于( ) A. 6 B. 3 C. 6 D. 3 解析 sin( +) = 3cos(2 ), sin = 3cos, tan = 3. | 0 ,又sincos = 12 25 0 , cos 0 ,则sin c
19、os = 7 5 . 由可得sin = 4 5 ,cos = 3 5 , tan = sin cos = 4 5 3 5 = 4 3 . 12. 已知角 为 的内角,且sin +cos = 1 5 ,则tan 的值为 . 4 3 第二节 三角恒等变换 考情解读 命 题 觃 律 考点 三角恒等变换 考查频次 卷，5年1考 卷，5年3考 卷，2年3考 考查难度 中等 常考题型及分值 逅择题，5分； 填空题，5分 命 题 趋 势 预计新课标高考仍将以和差角公式及二倍角公式为主要考点，不三角函数式的求值、 化简交汇命题.复习时，要注意公式的灵活应用及转化不化归等数学思想 基础导学 2. 倍角公式 （1
20、）2:sin2 = 7 . （2）2：2 = 8 = 9 = 10 （3）2：tan2 = 11 1. 两角和不差的正弦、余弦、正切公式 （1）(+):sin( +) = 1 . （2）():sin( ) = 2 . （3）(+):cos( +) = 3 . （4）()：cos( ) = 4 . （5）(+):tan( +) = 5 . （6）():tan( ) = 6 . 知识梳理 sincos+cossin sincoscossin cossinsincos cossin+sincos tan+tan 1tantan tantan 1+tantan 2sincos cos2()sin2()
21、 2cos2()1 12sin2() 2tan 1tan2 知识拓展 2.公式的重要变形 （1）降幂公式：cos2 = 1+cos2 2 ,sin2 = 1cos2 2 . （2）升幂公式：1+cos2 = 2cos2,1 cos2 = 2sin2. （3）公式变形：tan tan = tan( +)(1tantan) （4）辅助角公式：sin +cos = 2+2sin( +) （其中sin = 2+2 ,cos = 2+2 ）. 重难突破 考点一 两角和、差及倍角公式的直接应 用 解析 由2sin2 = cos2 +1 ，得4sincos = 12sin2 +1 ，即2sincos = 1
22、sin2 .因为 (0, 2) ，所以cos = 1sin2 ， 所以2sin 1sin2 = 1sin2 ，解得sin = 5 5 .故逅 . 典例研析典例研析 【例1】 B （1）2019 全国卷已知 (0, 2),2sin2 = cos2 +1 ，则sin = ( ) A. 1 5 B. 5 5 C. 3 3 D. 2 5 5 （2）2018全国卷已知tan( 5 4 ) = 1 5 ，则tan = . 3 2 解析 tan( 5 4 ) = tan( 4) = tan1 1+tan = 1 5 ，解得tan = 3 2 . 答案 因为 = 4 3 ,tan = sin cos ， 所以
23、sin = 4 3 cos . 因为sin2 +cos2 = 1 ， 所以cos2 = 9 25 ， 因此，cos2 = 2cos2 1 = 7 25 . （3）2018江苏卷已知, 为锐角， = 4 3 ,cos( +) = 5 5 . . 求cos2 的值； 方法技巧： 应用三角公式化简求值的策略 （1）使用两角和、差及倍角公式时，首先要记住公式的结构特征和符号变化觃律. 例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”. （2）使用公式求值时，应注意不同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用. （3）使用公式求值时，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用. . 求tan( ) 的值
24、. 对点训练对点训练 1. 已知sin( 4 +) = 2 5 ，则sin2 = 17 25 解析sin2 = cos( 2 +2) = 2sin2( 4 +)1 = 2 ( 2 5) 2 1 = 15 17 . 2. 已知函数() = 2cos( + 6) （其中 0 ）的最小正周期为10 . （1）求 的值; 答案由于函数() 的最小正周期为10 ，所以10 = 2 ，所以 = 1 5 . 答案由（1）知() = 2cos( 1 5 + 6) . 又因为(5 + 5 3 ) = 6 5 ， 所以2cos 1 5 (5 + 5 3 )+ 6 = 2cos( + 2) = 6 5 ， 所以si
25、n = 3 5 . 又因为(5 5 6 ) = 16 17 ， 所以2cos 1 5 (5 5 6 )+ 6 = 2cos = 16 17 ， 所以cos = 8 17 . 又因为, 0, 2 ，所以cos = 4 5 ,sin = 15 17 ， 所以cos( +) = coscos sinsin = 4 5 8 17 3 5 15 17 = 13 85 . （2）设, 0, 2,(5 + 5 3 ) = 6 5 ,(5 5 6 ) = 16 17 ，求( +) 的值. 重难突破 考点二 两角和、差及倍角公式的逆用及 变形应用 典例研析典例研析 【例2】 B 0 （1）计算 sin110si
26、n20 cos2155sin2155 的值为( ) A. 1 2 B. 1 2 C. 3 2 D. 3 2 （2）cos11323+11367= ； 解析 原式= sin70sin20 cos225sin225 = cos20sin20 cos50 = 1 2 sin40 sin40 = 1 2 . 解析 原式= cos113cos23+sin113sin23= cos(11323) = cos90= 0 . 解析 所求的式子中含有tantan ，由此联想到取( +) 的正切. tan( +) = 1 ，即 tan+tan 1tantan = 1 ， tan +tan = 1tantan .
27、1+tan 1+tan = 1+ tan +tan +tantan = 1+(1tantan)+tantan = 2 . （4） 已知 + = 4 ，则(1+tan)(1+tan) = . （3） 1tan15 1+tan15 = ； 3 3 解析 原式= tan45tan15 1+tan45tan15 = tan(4515) = tan30= 3 3 . 2 方法技巧： （1）逄用公式应准确找出所给式子不公式的异同，创造条件逄用公式. （2）和差角公式变形： sinsin +cos( +) = coscos ， cossin +sin( ) = sincos ， tan tan = tan(
28、 +)(1tan tan) . （3）倍角公式变形：降幂公式. （4）注意“1”的各种等价代换，如1 = sin2 +cos2 = tan 4 等. 对点训练对点训练 A C 3. 1 2 cos15+ 3 2 sin15 的值是( ) A. 2 2 B. 2 2 C. 6 2 D. 6 2 解析 1 2 cos15+ 3 2 sin15= cos60cos15+sin60sin15= cos(6015) = cos45= 2 2 . 4. 已知tan +tan = 2,tan( +) = 4 ，则tantan 等于( ) A. 2 B. 1 C. 1 2 D. 4 解析tan( +) = t
29、an+tan 1tantan = 2 1tantan = 4 ，解得tantan = 1 2. 5. 2018全国卷已知sin +cos = 1,cos +sin = 0 ，则sin( +) = . 1 2 解析 sin +cos = 1 ， cos +sin = 0 ， 2 + 2 得1+2(sincos +cossin)+1 = 1 . sincos +cossin = 1 2 ， sin( +) = 1 2 . 重难突破 考点三 简单的三角恒等变换 典例研析典例研析 【例3】 C （1）若0 2 , 2 0,cos( + 4) = 1 3 ，sin( 4 2) = 3 3 ，则cos(
30、+ 2) = ( ) A. 3 3 B. 3 3 C. 6 3 D. 6 9 解析 因为0 2 ，所以 4 + 4 3 4 ， 又cos( + 4) = 1 3 ，所以sin( + 4) = 1cos 2( + 4) = 1 1 9 = 2 2 3 . 因为 2 0 ，所以 4 4 2 2 ， 又sin( 4 2) = 3 3 ，所以cos( 4 2) = 1 sin 2( 4 2) = 1 1 3 = 6 3 ， 所以cos( + 2) = cos( + 4)( 4 2) = cos( + 4)cos( 4 2)+sin( + 4)sin( 4 2) = 1 3 6 3 + 2 2 3 3
31、3 = 6 3 .故逅 . A 8 （2）若sin2 = 5 5 ,sin( ) = 10 10 ，且 4 , , 3 2 ，则 + 的值是( ) A. 7 4 B. 9 4 C. 5 4 戒 7 4 D. 5 4 戒 9 4 （3）若() = 2tan 2sin2 21 sin 2cos 2 ，则( 12) 的值为 . 解析 因为 4 , ，所以2 2 ,2 ，又sin2 = 5 5 ，所以2 2 , 4 , 2 ，故cos2 = 2 5 5 . 又 , 3 2 ，所以 2 , 5 4 ，故cos( ) = 3 10 10 . 因此，cos( +) = cos( )+2 = cos( )co
32、s2 sin( )sin2 = ( 3 10 10 ) ( 2 5 5 ) 10 10 5 5 = 2 2 ，又 + 5 4 ,2 ，所以 + = 7 4 .故逅 . 解析 () = 2tan cos 1 2sin = 2sin cos + 2cos sin = 4 sin2 , ( 12) = 4 sin 6 = 8 . 方法技巧： （1）从函数概念角度考虑：三角函数的自变量是角，角就成为分析变换的第一个要点.对于一个角，我仧要分 析它的范围，对于丌同的角，我仧就要分析它仧乊间的关系.用已知角表示所求角.如2 = ( +)+( ), + 2 = ( + 4)( 4 2) ，同时注意角的范围.
33、 （2）三角函数式总是由一定结构呈现的，要学会观察三角函数式的结构特征，联想所学公式，根据要解决的问 题逅择变换的方向，类似几何直观，这是一种代数直观能力，看到一个函数解析式就能够联想到函数的性质 （对称性、过定点，函数值正负区间，单调性等）.这就是直观想象素养，根据结构和目标确定变换的方向和方 法，常用的变换有： 对于含有“sin 2 ”型，利用sin2 =1cos2 2 . 对于含有“cos2 ”型，利用cos2 = 1+cos2 2 . 对于含有“sincos ”型，利用sincos = 1 2 sin2 . 对于含有“tan ”型，利用tan = sin cos .逐步变为形如“ =
34、sin +cos ” ，利用辅助角公式变为 = 2+2sin( +) 型. 对点训练对点训练 B D 6. 已知tan = 3 5 ，则sin2 = ( ) A. 15 17 B. 15 17 C. 8 17 D. 8 17 解析sin2 = 2sincos sin2+cos2 = 2tan tan2+1 = 2(3 5) (3 5) 2+1 = 15 17 .故逅 . 7. 已知 (0, 4),sin cos = 14 4 ，则 2cos21 cos( 4+) = ( ) A. 2 3 B. 4 3 C. 3 4 D. 3 2 解析由sin cos = 14 4 得sin（ 4 ） = 7
35、4 ， (0， 4) ， 0 4 0)个单位长度，得到 = sin( +) 的图象； 再把所得图象上的所有点的横坐标变为原来的 1 ( 0) ，纵坐标丌变，得到 = sin( +) ； 最后把所有点的纵坐标变为原来的( 0) 倍，横坐标丌变，就得到 = sin( +) 的图象. 6. = sin( +) 的物理意义 = sin( +)（ 0, 0） ， 0,+) 表示一 个振动量时 振 幅 周期 频率 相位 初 相 = 28 = 1 = 2 29 2 + 知识拓展 1.一个易混点 正切函数 = tan 的单调性只能说：在( 2 , + 2) 上 为增函数，丌能说为：在定义域上为增函数. 2.一
36、个易错点 求函数 = sin( +) 的单调区间时，应注意 的符号，只有当 0 时，才能把 + 看作一个整体， 代入 = sin 的相应单调区间求解，否则将出现错误. 3.三角函数的对称不周期的关系 （1）正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴乊间的距离是半周期，相邻的对称中心不对称轴乊间 的距离是 1 4 周期. （2）正切曲线相邻两对称中心乊间的距离是半周期. 4.关于周期的两个结论 函数 = |sin|, = |cos|, = |tan| 的周期为 ，函数 = sin| ，丌是周期函数， = tan| 丌是周期函 数. 5.平秱变换的两种单位长度 由 = sin 的图象变换到 =
37、 sin( +) 的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变 换） ，平秱的量是| 个单位长度；先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平秱的量是 | ( 0) 个单位长 度. 6. = sin( +)+ 不最值的关系 = min 2 , = +min 2 . 重难突破 考点一 三角函数的定义域、值域与最值 问题 解析 由2sin 1 0 ，得sin 1 2, 所以2 + 6 2 + 5 6 ( ) . （1）函数 = 2sin 1 的定义域为( ) A. 6 , 5 6 B. 2 + 6 ,2 + 5 6 ( ) C. (2+ 6 ,2 + 5 6 )( ) D. + 6 , + 5 6
38、 ( ) 典例研析典例研析 【例1】 B （2）函数 = 32cos(2 3) , 6 , 2 的值域为 . 1,4 解析 6 2 , 0 2 3 2 3 . 1 2 cos(2 3) 1 . 1 32cos(2 3) 4 . 函数的值域为1,4 . （4）函数 = sin cos +sincos, 0, 的最小值是 . （3）2019全国卷文函数() = sin(2 + 3 2 )3cos 的最小值为 . 解析 () = sin(2 + 3 2 )3cos = cos2 3cos = 2cos2 3cos +1 = 2(cos + 3 4) 2 + 17 8 ,又 1 cos 1, 当cos
39、 = 1 时,()min= 4 .故函数() 的最小值为4. 解析 设sin cos = , = 2sin( 4), 因为 0, ,所以 4 4 , 3 4 . 所以 1, 2,sincos = 12 2 . 所以 = + 12 2 = 1 2 ( 1)2+1 , 当 = 1 时,min= 1 . 4 1 方法技巧： （1）三角函数定义域的求法 以正切函数为例,应用正切函数 = tan 的定义域求函数 = tan( +) 的定义域转化为求解简单的三角 丌等式. 求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角丌等式. （2）求解三角函数的值域（最值）常见三种类型： 形如 = sin +cos + 的三角
40、函数化为 = sin( +)+ 的形式,再求值域（最值）; 形如 = sin2 +sin + 的三角函数,可先设sin = ,化为关于 的二次函数求值域（最值）; 形如 = sincos+(sin cos)+ 的三角函数,可先设 = sin cos ,化为关于 的二次函数求值域 （最值）. 对点训练对点训练 B 1. 函数() = 3sin(2 6) 在区间0, 2 上的值域为( ) A. 3 2 , 3 2 B. 3 2 ,3 C. 3 3 2 , 3 3 2 D. 3 3 2 ,3 解析当 0, 2 时，2 6 6 , 5 6 , sin(2 6) 1 2 ,1, 故3sin(2 6) 3
41、 2 ,3 ,即此时函数() 的值域是 3 2 ,3. 解析要使函数有意义,则有 sin 0, cos 1 2 0, 即 sin 0, cos 1 2 , 解得 2 +2, 3 +2 3 +2 ( ), 所以2 3 +2, . 所以函数的定义域为|2 3 +2, . 2. 函数 = lgsin + cos 1 2 的定义域为 . |2 0) 两个相邻的极值点,则 = ( ) A. 2 B. 3 2 C. 1 D. 1 2 典例研析典例研析 【例2】 A A 解析因为函数 = sin| 的图象如下图,所以其丌是周期函数,排除 ; 因为 = cos| = cos ,周期为2 ,所以排除 ; 作出函
42、数 = |cos2| 的图象,由图象知其周期为 2 , 在区间( 4 , 2) 单调递增, 正确;作出函数 = |sin2| 的图象, 由图象知其周期为 2 ,在区间( 4 , 2) 单调递减,排除 .故逅. C 解析 当 = 4 时,函数() 取得最小值, sin( 4 +) = 1 . = 2 3 4 ( ). () = sin( +2 3 4 ) = sin( 3 4 ). = ( 3 4 ) = sin() = sin. = ( 3 4 ) 是奇函数,且图象关于直线 = 2 对称. （3）当 = 4 时,函数() = sin( +) 取得最小值,则函数 = ( 3 4 ) ( ) A.
43、 是奇函数且图象关于点( 2 ,0) 对称 B. 是偶函数且图象关于点(,0) 对称 C. 是奇函数且图象关于直线 = 2 对称 D. 是偶函数且图象关于直线 = 对称 方法技巧： （1）求三角函数单调区间的方法 代换法 就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角 (戒 ),利用基本三角函数的单调性列丌等式求解. 图象法 画出三角函数的正、余弦曲线,结合图象求它的单调区间. （2）三角函数的奇偶性、对称性和周期性问题的解题思路 奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为 = sin 戒 = tan 的形式,而偶函数一般可化为 = cos + 的形式. 故形如 = sin( + )
44、 的函数成为奇函数,则 = ( ) ;成为偶函数,则 = + 2 ( ) . 形如 = cos( + ) 的函数成为奇函数,则 = + 2 ( ) ;成为偶函数,则 = ( ) . 周期的计算方法：利用函数 = sin( + ), = cos( + )( 0) 的周期为2 ,函数 = tan( + )( 0) 的周期为 求解. 解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数的对称轴、对称中心. 提醒：对于函数 = sin( + ) ,其对称轴一定经过图象的最高点戒最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点,因此 在判断直线 = 0 戒点(0,0) 是否是函数的对称轴戒对称中心时,可通过检验(0) 的值迚
45、行判断. 对点训练对点训练 C 4. 2018全国卷函数() = tan 1+tan2 的最小正周期为( ) A. 4 B. 2 C. D. 2 解析由已知得() = tan 1+tan2 = sin cos 1+(sin cos) 2 = sin cos cos2+sin2 cos2 = sin cos = 1 2 sin2 , 所以() 的最小正周期为 = 2 2 = . 故逅 . A 解析() = cos sin = 2(sin 2 2 cos 2 2 ) = 2sin( 4) ,当 4 , 3 4 ,即 4 2 , 2 时, = sin( 4) 单调递增, = 2sin( 4) 单调递
46、减. 函数() 在, 是减函数, , 4 , 3 4 , 0 0 . 若 = () 在 4 , 2 3 上单调递增,求 的取值范围; 答案解： () sin 的增区间为 2 +2, 2 +2, , 2 +2 2 +2( 0), , 2 + 2 2 + 2 , . 由于() = 2sin() 在 4 , 2 3 上递增, 4 , 2 3 2 + 2 , 2 + 2 , 2 + 2 2 3 , 2 + 2 4 , 0 0, 0) 的图象常用如下两种方法 （1）五点法作图：用“五点法”作 = sin( +) 的简图,主要是通过变量代换,设 = + ,由 取 0, 2 , 3 2 ,2 来求出相应的
47、,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象. （2）图象的变换：由函数 = sin 的图象通过变换得到 = sin( +) 的图象有两种途径： “先平秱后伸 缩”不“先伸缩后平秱”. 对点训练对点训练 A 7. 已知函数() = sin( + 4)( 0) 的最小正周期为 ,为了得到函数() = cos 的图象,只需将 = () 的图象( ) A. 向左平秱 8 个单位长度 B. 向右平秱 8 个单位长度 C. 向左平秱 4 个单位长度 D. 向右平秱 4 个单位长度 解析因为 = ,故 = 2 = 2 ,因此 = cos2 = sin 2 + 2 , = sin 2 + 4 = sin2(
48、 + 8)+ 4 = sin(2 + 2). 8. 设函数() = cos( +)( 0, 2 0) 的最小正周期为 ,且( 4) = 3 2 . （1）求 和的值; 答案最小正周期 = 2 = , = 2 . ( 4) = cos(2 4 +) = cos( 2 +) = sin = 3 2 , sin = 3 2 . 2 0, 0,| 2) 的部分图象如图所示,则将 = () 的图象向右平秱 6 个单位长度后,得到的函数图象的解析式为( ) 典例研析典例研析 【例4】 B A. = sin2 B. = sin(2 6) C. = sin(2 + 2 3 ) D. = cos2 解析 由题图
49、知, = 1 ,3 4 = 11 12 6 = 9 12 = 3 4 ,所以 = = 2 ,所以 = 2 .所以2 6 + = 2 +2, .又| 0, 0,| 0, 0) 的步骤和方法 （1）求, ：确定函数的最大值 和最小值 ,则 = 2 , = + 2 . （2）求 确定函数的周期 ,则可得 = 2 . （3）求常用的方法：代入法：把图象上的一个已知点代入（此时, 已知）戒代入图象不直线 = 的交 点求解（此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上）. 对点训练对点训练 A 9. 函数 = () = cos( +) 的部分图象如图所示,则, 的值分别为( ) A. 1, 4 B. 1,
50、4 C. 1,2, 4 D. 1, 4 解析由题图知,周期 = 2 ( 5 4 1 4) = 2, = 1 ,所以 2 = 2 ,所以 = . 由 1 4 + = 2 +2, ,得 = 4 +2, ,丌妨取 = 4 . B 10. 已知函数() = sin( +), （其中 0, 0, 2 0) 在区间0, 2 上为增函数,且图象关于点(3,0) 对称,则 的取值集合为 ( ) A. 1 3 , 2 3 ,1 B. 1 6 , 1 3 C. 1 3 , 2 3 D. 1 6 , 2 3 解析由题意知 2 2 , 3 = , 即 0 0) 的部分图象如图,则 等于( ) 解析由题图可知 2 =
