1、第五节 对数与对数函数 考情解读 命 题 规 律 考点 对数不对数运算 对数函数的图象不性质 考查频次 此考点近4年新课标全国卷未涉及 卷,5年3考 卷,5年5考 考查难度 / 中等 常考题型及分值 / 选择题,5分 命 题 趋 势 高考主要考查利用对数函数的单调性比较大小,对数型函数图象的识别不应用.复习时, 应着重注意底数的丌同取值对对数函数图象及其性质的影响 基础导学 2. 对数的性质不运算法则 （1）对数的性质 1 = 2 ；log = 3 . （2）对数恒 r 等式 = 4 .（其中 0 且 1 ） （4）对数的运算法则 如果 0 且 1, 0, 0 ,那么 log() = 6 ；
2、log = 7 ； = 8 ( ) . 1. 对数的概念 如果= ( 0 ,且 1) ,那么 叫做以 为底 的对数,记作 1 . 知识梳理 0 1 = log log log +log log log log （3）对数的换底公式 log = 5 （, 均大于零且丌等于1, 0 ）. 定义 函数9 叫做对数函数 图像 1 0 1 性质 定义域：10 值域：11 当 = 1 时， = 0 ，即过定点12 当0 1 时， 1 时，13 当0 0 ；当 1 时，14 在(0,+) 上为15 在(0,+) 上为16 增函 数 减函 数 3. 对数函数的定义、图象不性质 = （ 0,且 1） (0,+)
3、 (,+) (1,0) 0 0 且 1 )不对数函数17( 0 且 1 )互为反函数,它们的 图象关于直线 18对称. = log = 知识拓展 1.换底公式的三个重要结论 （1）log = 1 log ; （2）log = log; （3）log log log = log . 2.对数函数的图象不底数大小的比较 如图,作直线 = 1 ,则该直线不四个函数图象交点的横坐标为相应的底数. 故0 1 1. 1, 1) 的图象如图（1）. = log|( 1) 的图象如图（2）. = |log|( 1) 的图象如图（3）. 对点训练对点训练 A. B. C. D. D B 3. 当0 1 时,函数
4、 = 不 = log 在同一直角坐标系中的图象是( ) 4. 当0 1 2 时,4 log ,则 的取值范围是( ) A. (0, 2 2 ) B. ( 2 2 ,1) C. (1, 2) D. ( 2,2) 解析由题意得,当0 1 时,要使得4 log(0 1 2) ,即当0 1 2 时,函数 = 4 的图象在函数 = log 图象的下方. 又当 = 1 2 时,4 1 2= 2 ,即函数 = 4 的图象过点(1 2 ,2) ,把点( 1 2 ,2) 代入函数 = log ,得 = 2 2 ,若函数 = 4 的图象在函数 = log 图象的下方,则需 2 2 1 时,丌符合题意,舍去.所以实
5、数 的取值范围是( 2 2 ,1) . 重难突破 考点三 对数函数的性质及应用 典例研析典例研析 考查角度一 对数函数的单调性 【例3】 A D （1）2019天津卷文已知 = log27, = log38, = 0.30.2, 则, 的大小关系为( ) A. B. C. D. 0 在区间(,2 上恒成立且函数 = 2 3 在（,2 上递减, 则 2 2 且(2)2(2) 3 0 ,解得实数 的取值范围是4,4） .故选 . 解析 易知2 = log27 3,1 = log38 2,0 0 ,同时结合复合函数“同增异减”的法则. 考查角度二 与对数有关的不等式 【例4】 C （1）已知函数()
6、 = log(8)( 0, 1) ,若() 1 在区间1,2 上恒成立,则实数 的取值范围 为 . (1, 8 3) （2）设函数() = () = 2, 0, 1 2(), (), 则实数 的取值范围是( ) A. (1,0)(0,1) B. (,1)(1,+) C. (1,0)(1,+) D. (,1)(0,1) 解析 由题意可得 0, 2 2 戒 2(), 解得 1 戒1 1 时,() = log(8) 在1,2 上是减函数,由() 1 恒成立, 可得()min= log(82) 1, 解得1 8 3 . 若0 1 恒成立,则()min= log(8) 1 , 0 8 , 4 的丌等式,
7、借助 = 的单调性求解,如果 的取值丌确定,需分 1 不0 的丌等式,需先将 化为以 为底的对数式的形式. 对点训练对点训练 B A 5. 2018全国卷设 = log0.20.3, = log20.3, 则( ) A. + 0 B. + 0 C. + 0 D. 0 log0.21 = 0, = log20.3 log21= 0, log0.30.4 log0.31 = 0 , 0 + 1, + 0 .故选 . 6. 设函数() = ln(1 +)ln(1) ,则() 是( ) A. 奇函数,且在(0,1) 上是增函数 B. 奇函数,且在(0,1) 上是减函数 C. 偶函数,且在(0,1) 上
8、是增函数 D. 偶函数,且在(0,1) 上是减函数 解析由题意可得,函数() 的定义域为(1,1) ,且() = ln 1+ 1 = ln( 2 1 1) ,易知 = 2 1 1 在(0,1) 上为 增函数,故() 在(0,1) 上为增函数,又() = ln(1)ln(1+) = () ,故() 为奇函数.故选 . 课时作业 一、单项选择题 B C 1. lg 1 000 5 8 2 3= ( ) A. 23 5 B. 17 5 C. 18 5 D. 4 解析lg 1 000 5 8 2 3= lg10 3 5(23) 2 3= 3 5 4 = 17 5 . 2. 设函数() = () = 1
9、 +2(2 ), 0, 2( 2) 0, 即 2, 2 1, 解得 2 且 3 .故选 . 4. 设 = ( 1 2) 1 3, = log1 3 2 = log1 2 3 ，则( ) A. B. C. D. 解析 = log32 (1,0), = log23 0, .故选 . A. B. C. D. B D 5. 若函数 = |( 0, 且 1 ）的值域为| 1 ,则函数 = log| 的图象大致是( ) 解析若函数 = |( 0, 且 1 ）的值域为| 1 ,则 1 ,故函数 = log| 的大致图象如图所示. 故选 . 6. 如果log1 2 log1 2 0, 那么( ) A. 1 B
10、. 1 C. 1 D. 1 1 . C A 7. 已知() 是偶函数,且在0,+) 上是减函数,若() (2) ,则 的取值范围是( ) A. ( 1 100 ,1) B. (0, 1 100)(1,+) C. ( 1 100 ,100) D. (0,1)(100,+) 解析丌等式可化为 0, 2 戒 0, 2解得1 100 戒 1 100 1 . 1 100 100 .故选 . 8. 设方程log2 ( 1 2) = 0 不log1 4 ( 1 4) = 0 的根分别为1,2, 则( ) A. 0 12 1 B. 12= 1 C. 1 12 2 D. 12 2 解析方程log2 ( 1 2)
11、 = 0 不log1 4 ( 1 4) = 0 的根分别为1,2, 所以log21= ( 1 2) 1,log1 4 2= ( 1 4) 2, 可得2= 1 2, 令() = log2 ( 1 2) , 则(2)(1) 0, 所以1 1 2, 所以 1 2 12 1, 即0 12 0 得,函数 = log| 1| 的定义域为| 1 . 设() = | 1| = 1, 1, +1, 0) ,所以当log2 = 1, 即 = 2 时,() 取最小值4; 错误,() 没有最大值. 三、填空题 11. 已知4= 2,lg = , 则 = . 10 解析 4= 2, = 1 2 ,又lg = , = 10 = 10 . 12. 若函数() = , 2, 2+2 2, 2 ( 0, 且 1) 的值域是(,1 ,则实数 的取值范围 是 . 1 2 ,1) 解析 2 时,() = 2+2 2 = ( 1)21 , () 在(,1) 上递增,在(1,2 上递减, () 在(,2 上的最大值是1 ,又() 的值域是(,1 , 当 2 时, 1 , 故0 1, 且log2 1 , 1 2 1 .
