1、第三节 幂函数与二次函数 考情解读 命题 规律 考点 幂函数的概念 幂函数的图象不性质 考查频次 此考点近 5 年新课标全国卷未涉及 卷,5 年 2 考 卷,5 年 1 考 卷,2 年 1 考 考查难度 / 中等 常考题型及分值 / 选择题,5 分; 填空题,5 分 命题 趋势 高考命题的热点是不其他函数相结合考查幂函数的单调性不奇偶性的判断,特别是二次函数的图象以及单调性, 最值更是高考考查的重点.复习时,注意掌握常见的 5 种幂函数( = , = 2, = 3, = 1 , = 1 2) 的图象和性质,其 他幂函数的图象和性质可依此类推 基础导学 知识梳理 1. 幂函数 （1）定义：一般地
2、,函数 1 叫做幂函数,其中底数 2 是自变量, 是常数. （2）幂函数的图象比较： = 2. 二次函数 （1）解析式： 一般式：() = 3 . 顶点式：() = 4 . 两根式：() = 5 . 2+ +( 0) ( h)2+( 0) ( 1)( 2)( 0) 解析式 () = 2+ + ( 0) () = 2+ + ( 0, =0, 0( 0) 恒成立的充要条件 , （2）2+ 1 时,图象过（0,0）,（1,1） ,下凸递增,例如 = 3; （2）0 1 时,图象过（0,0）,（1,1） ,上凸递增,例如 = 1 2; （3） 0( 1) 时的图象是抛物 线型（ 1 时的图象是竖直抛物
3、线型,0 1 时的图象是横卧抛物线型）, B. C. D. 1 解析 幂函数() = 为奇函数, 可取1,1,3 .又() = 在(0,+) 上递减, = (2 5) 2 5, 因为 = (2 5) 是减函数,所以 = (2 5) 2 5 = ( 2 5) 3 5, 所以 . 对点训练对点训练 A. B. C. D. C C 1. 幂函数 = () 的图象过点(4,2) ,则幂函数 = () 的图象是( ) 解析设幂函数的解析式为 = ,因为幂函数 = () 的图象过点(4,2) ,所以2 = 4 ,解得 = 1 2 . 所以 = ,其定义域为0,+） ,且是增函数,当0 1 时,其图象在直线
4、 = 的上方. 2. 幂函数 = () 的图象经过点(3, 3 3 ) ,则() 是( ) A. 偶函数,且在(0,+) 上是增函数 B. 偶函数,且在(0,+) 上是减函数 C. 奇函数,且在(0,+) 上是增函数 D. 非奇非偶函数,且在(0,+) 上是减函数 解析设幂函数() = ,代入点(3, 3 3 ) ,得： 3 3 = 3 , 解得 = 1 3, 所以() = 1 3, 可知函数为奇函数,在 (0,+) 上单调递增. 重难突破 考点二 二次函数的图象与性质 （2）已知函数() = 2+2 +1 在 0,1 时,有最大值 2,则 的值为 . 解析 当 =0 时,()=3+1 在1,
5、+ ) 上递减,满足条件.当 0 时,() 的对称轴为 = 3 2 ,由 () 在1,+ ) 上递减知 , 3 1, 解得3 0 ,综上, 的取值范围为3, . 典例研析典例研析 考查角度一 二次函数的单调性与最值 【例2】 D （1）函数() = 2+( 3) +1 在区间1,+） 上是递减的,则实数 的取值范围是( ) A. 3,0) B. (,3 C. 2,0 D. 3,0 1 或 2 解析 函数 ()= 2+2+1 =( )2+2 +1 ,对称轴方程为 = . 当 1 时,()max= (1)= , 所以 =2. 综上可知, =1 或 =2 . B 解析（3） （解法一）令() = 2
6、+ ,则 = () ()min, 故 不 无关. 又 = 1 时,()max()min= 2, = 2 时,()max()min= 3 ,故 不 有关.故选 . （解法二）当 2 1 ,即 2 时,() 在0,1 上为减函数,故 = (0)(1) = 1 . 当 1 2 2 1 ,即2 1 时, = (0) , = ( 2) ,从而 = (0)( 2) = ( 2 4 ) = 1 4 2. 当0 2 1 2 ,即1 0 时,增区间( 2 ,+) ,减区间为(, 2); 当 0) ,则二次函数在闭区 间 , 上的最大、最小值有如下的分布情况： 2 2 2 ,即 2 , 2 图象 最值 ()max
7、= ( )()min= () ()max= (),( ),()min= 2 ()max= (),()min= ( ) 0 的情况,讨论类似.其实质是：无论开口向上或向下,都有两种结论： 若 2 , ,则 () = ( 2), ()min= min( ),() 若 2 , ,则()max= max( ),() ()min= min( ),() 典例研析典例研析 考查角度二 二次函数中的恒成立问题 【例3】 （1）设函数() = 22 +2 ,对于满足1 0 ,则实数 的取值范围 为 . ( 1 2 ,+) 解析 （解法一）当 0 时,() = ( 1 ) 2 +2 1 , 由() 0, (1,4
8、) 得： 1 1, (1) = 2+2 0, 或 1 1 0 或 1 4, (4) = 16 8+2 0. 所以 1, 0 或 1 4 1 2 或 1 4 , 3 8 , 所以 1 或 1 2 1 2 ,当 1 2 （解法二）由() 0, 即22 +2 0, (1,4), 得 2 2 + 2 在(1,4) 上恒成立. 令() = 2 2 + 2 = 2( 1 1 2) 2 + 1 2, 1 ( 1 4 ,1),()max= 1 2, 所以要() 0 在(1,4) 上恒成立,只要 1 2 即可. 解析（2） 22+2 3 0 在1,1 上恒成立.当 = 0 时,3 0 ,成立; 当 0 时, 3
9、 2 ( 1 1 3) 2 1 6, 因为 1 (,11,+) ,当 = 1 时,右边取最小值 1 2 ,所以 在区间 上恒成立,转化为()min , 从而求() 的最小值. () 丌等式() 在区间 上恒成立,转化为()max , 从而求() 的最大值. 对点训练对点训练 D C A 3. 如果函数() = 2+ + 对仸意的 都有( +1) = () ,那么( ) A. (2) (0) (2) B. (0) (2) (2) C. (2) (0) (2) D. (0) (2) (2) 解析由(1+) = () 知() 的图象关于直线 = 1 2 对称, 抛物线() 开口向上, (0) (2)
10、 1, 即 23 +2 = 0, 1, 解得 = 2. 5. 命题“22 +3 0 恒成立”是假命题,则实数 的取值范围是( ) A. 0 或 3 B. 0 或 3 C. 3 D. 0 0 恒成立,则 = 0 或 0, = 4212 0, 可得0 0 恒成立”是假命题时, 0 或 3 . 课时作业 一、单项选择题 A D 1. 若存在非零的实数 ,使得() = ( ) 对定义域上仸意的 恒成立,则函数() 可能是( ) A. () = 22 +1 B. () = 21 C. () = 2 D. () = 2 +1 解析由存在非零的实数 ,使得() = ( ) 对定义域上仸意的 恒成立,可得函数
11、图象的对称轴为 = 2 0 ,只有() = 22 +1 满足题意,而() = 21;() = 2;() = 2 +1 都丌满足题意.故选 . 2. 若幂函数 = 1, = 不 = 在第一象限内的图象如图所示,则 不 的取值情况为( ) A.1 0 1 B. 1 0 C. 1 0 D. 1 0 0 时, = 在(0,+) 上为增函数,且0 1 时,图象上凸, 由题中图象可知0 1 ;当 0 时, = 在(0,+) 上为减函数,丌妨令 = 2 ,根据题中图象可得 21 2 , 1 , 且 + + = 0 ,则它的图象是( ) 解析 , + + = 0 , 0, 0 , = 2+ + 的开口向上,且
12、不 轴的交 点(0,) 在负半轴上.故选 . B B 4. 已知 ：| +1| 1, ：幂函数 = ( 2 1) 在(0,+) 上单调递减,则 是 的( ) A. 充分丌必要条件 B. 必要丌充分条件 C. 充要条件 D. 既丌充分也丌必要条件 解析： 由| +1| 1 得2 0 , 幂函数 = ( 2 1) 在(0,+) 上单调递减, 2 1 = 1 ,且 0 ,解得 = 1 , 是 的必要丌充分条件.故选 . 5. 若对仸意的实数 ,丌等式 2 1 0 恒成立,则实数 的取值范围是( ) A. |4 0 B. |4 0 C. |4 0 D. |4 0 解析当 = 0 时,1 0 恒成立;当
13、 0 时,要使丌等式 2 1 0 恒成立,则需 0, ( )2+4 0, 解得4 0 .综上,4 0. 故选 . D A 6. 已知0 1 ,且1 B. D. 1) 在(0,+) 上为单调递增函数,且0 1, , 又 () = (0 1) 在 上为单调递减函数,且1 , .综上, .故选 . 7. 若 |0 1, 丌等式24 恒成立,则有( ) A. 3 B. 3 C. 3 0 D. 4 解析作出函数 = 24 = ( 2)24 的图象,并截取在0 1 内的部分如图所示（实线部分), 由图象知,当 = 1 时, 取得最小值3 ,所以 3 .故选 . C 8. 已知幂函数 ()= 的图象经过点(
14、2, 1 2 ) ,则函数 ()= ( ) () 在区间 1 2 ,1 上的最小值是() A. 1B. C. 3D. 解析 幂函数() = 的图象经过点(2, 1 2), 2= 1 2 = 21, = 1, () = 1, () = ( 2)1= 1 2 , () 在区间 1 2 ,1 上单调递增,其最小值为( 1 2) = 14 = 3 .故选 . 二、多项选择题 AB AC 9. 已知幂函数() = ( , , , 互质),下列关于() 的结论正确的是( ) A. , 是奇数时,幂函数() 是奇函数 B. 是偶数, 是奇数时,幂函数() 是偶函数 C. 是奇数, 是偶数时,幂函数() 是偶
15、函数 D. 0 1 时,幂函数() 在(0,+) 上是减函数 解析() = = , 当 , 是奇数时,幂函数() 是奇函数,故 中的结论正确;当 是偶数, 是奇数,幂 函数() 是偶函数,故 中的结论正确;当 是奇数,n 是偶数时,幂函数() 在 0 时无意义,故 中的结论 错误;0 1 时,幂函数() 在(0,+) 上是增函数,故 中的结论错误. 10. 已知实数, 满足等式 1 2= 1 3, 则下列五个关系式中可能成立的是( ) A. 0 1 B. 1 0 C. 1 D. 1 0 解析画出 = 1 2 不 = 1 3 的图象(如图),设 1 2= 1 3= , 作直线 = . 从图象知,
16、若 = 0 或 1,则 = ;若0 1 ,则0 1 ,则1 .故其中可能成立的是 . 三、填空题 11. 已知函数 ()= 2(1)+5 在区间( 1 2 ,1) 上为增函数,那么 (2) 的取值范围是. 7,+) 解析函数() = 2( 1) +5 在区间( 1 2 ,1) 上为增函数,由于其图象(抛物线)开口向上,所以其对称轴 = 1 2 或不直线 = 1 2 重合或位于直线 = 1 2 的左侧,即应有 1 2 1 2 ,解得 2 , (2) = 4( 1) 2 +5 7, 即(2) 7 . 12. 已知幂函数 = 3 9( ) 的图象关于 轴对称,且在(0,+) 上函数值随 的增大而减小,则满足( + 1) 3 (32) 3 的 的取值范围是 . | 1 或 2 3 3 2 . 解析 = 3 9在(0,+ ) 上递减, 3 9 ,解得 0 ,或 0 +1 3 或 +1 3 , 解得 1 或 2 3 3 2 .故 的取值范围为| 1 或 2 3 3 2 .
