1、专题专题 18 18 双双 A A 字形相似模型字形相似模型 一、单选题一、单选题 1如图， ABO的顶点 A 在函数 y k x （x0）的图象上，ABO90 ，过 AO边的三等分点 M、N 分别 作 x轴的平行线交 AB 于点 P、Q若 ANQ的面积为 1，则 k的值为（ ） A9 B12 C15 D18 【答案】D 【分析】 易证 ANQAMPAOB，由相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方可求出 ANQ 的面积，进 而可求出 AOB的面积，则 k的值也可求出 【详解】 解：NQMPOB， ANQAMPAOB， M、N是 OA的三等分点， 1 2 AN AM ， 1 3 AN AO ，
2、 1 4 ANQ AMP S S ， 四边形 MNQP 的面积为 3， 3 1 4 ANQ ANQ S S ， S ANQ=1， 2 11 9 AOB AN SAO ， S AOB=9， k=2S AOB=18， 故选：D 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质以及反比例函数 k的几何意义，正确的求出 S ANQ=1是解题的关键 2如图， ABC中，AB=AC，点 D、E 分别是边 AB、AC的中点，点 G、F在 BC边上，四边形 DEFG是 正方形若 DE=2cm，则 AC 的长为 ( ) A3 3cm B4cm C2 3cm D2 5cm 【答案】D 【解析】 点 D、E 分别是边 A
3、B、AC 的中点，DE= 1 2 BC，DE=2cm，BC=4cm， AB=AC，四边形 DEFG 是正方形BDGCEF，BG=CF=1，EC= 5，AC=25cm 故选 D 3如图， 在 ABC中， 点 D在 BC边上， 连接 AD， 点 G 在线段 AD上， GE/BD，且交 AB于点 E， GF/AC， 且交 CD 于点 F，则下列结论一定正确的是（ ） A ABAG AEAD B DFDG CFAD C FGEG ACBD D AECF BEDF 【答案】D 【分析】 根据平行线截得的线段对应成比例以及相似三角形的性质定理，逐一判断选项，即可得到答案 【详解】 /GE BD AEGAB
4、D AEAG ABAD DFGDCA A 错误， /GF AC， DFDG CFAG ， B 错误， DFGDCA， AEGABD， FGDG ACDA ， EGAG BDAD ， 1 FG EG AC BD ， C 错误， /GE BD，/GF AC， AEAGCF BEGDDF ， D 正确， 故选 D 【点睛】 本题主要考查平行线截线段定理以及相似三角形的性质定理，掌握平行线截得的线段对应成比例是解题的 关键 4如图在 ABC中，DEBC，B=ACD，则图中相似三角形有（ ） A2 对 B3 对 C4 对 D5 对 【答案】C 【分析】 根据相似三角形的判定定理即可得到结论 【详解】 B
5、=ACD，A=A， ACDABC， DEBC， ADEABC， ACDADE， DEBC， EDC=DCB， B=DCE， CDEBCD， 故共 4 对， 故选：C 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定注意掌握数形结合思想的应用，注意平行于三角形的一边的直线与其他两 边相交，所构成的三角形与原三角形相似 5如图，已知 ,ADEABCV: V 若:1:3,AD ABABCV的面积为9，则ADE的面积为（ ） A1 B2 C3 D9 【答案】A 【分析】 根据相似三角形的性质得出 2 1 = 3 ADE ABC S S ，代入求出即可 【详解】 解：ADEABC，AD：AB1：3， 2 1 = 3
6、 ADE ABC S S ， ABC的面积为 9， 1 = 99 ADE S ， S ADE1， 故选：A 【点睛】 二、解答题二、解答题 6如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC的顶点 A、B 的坐标分别为 A(4，0)、B(4，3)，动点 M、N分 别从点 O、B 同时出发，以 1单位/秒的速度运动(点 M沿 OA 向终点 A 运动，点 N沿 BC 向终点 C运动)， 过点 N作/NP AB交 AC于点 P，连结 MP （1）直接写出 OA、AB的长度； （2）试说明CPNCAB； （3）在两点的运动过程中，求MPA的面积 S与运动的时间 t的函数关系式，并求出 3 2 S 时，运动时间
7、 t的值 【答案】 （1）4,3OAAB； （2）见解析； （3） 2 33 04 82 Sttt ，2 【分析】 （1）根据点 A、B的坐标即可得； （2）先根据平行线的性质可得,CPNCABCNPCBA ，再根据相似三角形的判定即可得； （3）先根据矩形的性质、线段的和差可得4,AMCNt ABOA，再根据相似三角形的性质可得 PNCN ABCB ，从而可得3 3 4 PNt，由此可得MPA的 AM边上的高为 3 t 4 ，然后利用三角形的面积公 式可得S与t的函数关系式，最后解一元二次方程可得t的值 【详解】 （1）(4,0), (4,3)AB， 4,3OAAB ； （2）/NP AB，
8、 ,CPNCABCNPCBA ， CPNCAB； （3）由题意得：OMBNt，且04t ， 则4AMOA OMt ， 四边形 OABC 是矩形， 4,BCOAABOA ， 4CNBCBNt ， CPNCAB， PNCN ABCB ，即 4 34 PNt ， 解得3 3 4 PNt， /NP AB， NPOA， MPA的 AM边上的高为3 3 3 3 44 tt ， 1 4 3 42 Stt， 即 2 33 04 82 Sttt ， 当 3 2 S 时， 2 333 822 tt， 解得 12 2tt， 故t的值为 2 【点睛】 本题考查了矩形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、求二次
9、函数的自变量等知识点，熟练 掌握相似三角形的判定与性质是解题关键 7如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点ABC的顶点B、C的坐标分别为0,6， 2,0顶 点A在x轴的正半轴上，10AB，2BACCBO （1）求AC的长度 （2）动点D从A出发，沿x轴负方向以每秒1个单位的速度运动，设D的运动时间为t秒，BCD的面积 为S，请用含t的式子表示S，并直接写出相应t的取值范围 （3）在（2）的条件下，在射线BO上取一点F，使BFCD，过D作/DGBC交直线AB于点G， 当45CBD时，求t值和G点坐标 【答案】 （1）10； （2）0t10时，30-3t BCD S=；t10时， 3t-30 B
10、CD S=； （3）当0t10 时，5t ，(5 3)G，；当 t10 时，20t ，(-1012)G， 【分析】 （1）由勾股定理解得 AO的长，即可求得 AC的长； （2）分两种情况讨论：当0t10时或当 t10 时，根据三角形面积公式解题即可； （3）分两种情况讨论，当0t10时，作作AMBC，交 DG于 N，交 BC于 M，由等腰三角形三线合 一的性质，解得NADCBO，进而证明COBDNA，根据相似三角形对应边成比例的性质，设 DN=m， 解得 AD= 10m， OD=8- 10m， 当45CBD时根据勾股定理解得 BH、 DH 的长， 在tRBOD 中，由勾股定理得 222 BDO
11、BOD，即可解得 m的值，从而解得 AD的长，即可求得 t的值，最后由 ADGACB，结合面积比等于相似比的平方，即可解得点 G 的坐标；当 t10时，方法同上 【详解】 （1）在tR AOB中 22 100368AOABOB=-=-= 2OC 8210ACAOOC=+=+= （2）由于 D在 x 轴上，故BCD以 CD为底边，高 h=OB=6 当0 t10时，CD=AC-AD=10-t， 1 6(10)30-3t 2 BCD St =创创-=； 当 t10时，CD=AD-AC=t-10, 1 6(10)3t-30 2 BCD St =创创-=； （3）如图：当0t10时，作AMBC，交 DG
12、于 N，交 BC于 M， 10ABAC BAMMAC 又2BACCBO NADCBO /DG BC 90ANDCOB COBDNA COBOBC DNANAD 22 262 10BC 2 10 10 2 AD DN 设 DN=m，则 AD= 10m OD=8- 10m， 当45CBD时 BH= 22 5BM ，同理 = 22mDHDN 在tRBOD中， 222 BDOBOD 即 222 (2 52 )6(810 )mm 2 25 5200mm 解得 12 10 2 10 2 mm， 10m=20AD (舍去)或5AD 5t ADGACB 2 51 () 104 ADG ACB S S 1 5
13、1 2 1 4 10 6 2 G y 3 G y 5 G x (5 3)G， 当 t10 时，如图： 作AMBC，交 DG于 N，交 BC于 M， 10ABAC BAMMAC 又2BACCBO NADCBO /DG BC 90ANDCOB COBDNA COBOBC DNANAD 22 262 10BC 2 10 10 2 AD DN 设 DN=m，则 AD= 10m OD= 10m-8， 当45CBD时 BH= 22 5BM ，同理 = 22mDHDN 在tRBOD中， 222 BDOBOD 即 222 (2 52 )6( 108)mm 2 25 5200mm 解得 12 10 2 10 2
14、 mm， 10m=20AD 或5AD (舍去) 20t ADGACB 2 20 ()4 10 ADG ACB S S 1 20 2 4 1 10 6 2 G y 12 G y 10 G x (-1012)G， 综上所述，当0t10时，5t ，(5 3)G，；当 t10 时，20t ，(-1012)G， 【点睛】 本题考查一次函数综合，其中涉及相似三角形的判定与性质、勾股定理、分类讨论、三角形面积等知识， 是重要考点，难度一般，作出正确的辅助线、掌握相关知识是解题关键 8 如图已知正方形 DEFG的顶点 D、 E 在 ABC的边 BC上， 顶点 G、 F分别在边 AB、 AC 上 如果 BC=4
15、， ABC的 BC边上的高是 3，那么这个正方形的边长是_ 【答案】 12 7 【分析】 过点 A作 AMBC于 M，由 ABC的 BC 边上的高是 3可得 AM=3，由正方形的性质和相似三角形的性质 可得1 43 AGBGGFGF ABAB ，即可求正方形的边长 【详解】 如图，过点 A 作 AMBC于 M， ABC的 BC 边上的高是 3， AM=3， 四边形 DEFG是正方形， GD=FG,GFBC,GDAM， AGFABC， BGDBAM， AGGF ABBC ， BGDG ABAM 1 43 AGBGGFGF ABAB GF= 12 7 故答案为： 12 7 【点睛】 本题考查正方形
16、的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定为解题关键 9 （教材呈现）下图是华师版九年级上册数学教材第 77 页的部分内容 （定理证明）请根据教材内容，结合图，写出证明过程 （定理应用）如图，在矩形 ABCD中，AC 为矩形 ABCD 的对角线，点 E在边 AB 上，且 AE = 2BE，点 F 在边 CB 上，CF= 2BFO为 AC的中点，连结 EF、OE、OF （1）EF 与 AC 的数量关系为_ （2）OEF与ABC的面积比为_ 【答案】【定理证明】 证明见解析；【定理应用】（1） EF与 AC的数量关系为 1 3 EFAC；（2）OEF与ABC 的面积比为2:9
17、【分析】 定理证明： 先根据相似三角形的判定与性质可得 1 , 2 DEAD ADEABC BCAB ， 再根据平行线的判定即 可得证； 定理应用： （1）先根据线段的比例关系可得 1 3 BEBF BABC ，再根据相似三角形的判定与性质即可得； （2）如图（见解析） ，先根据三角形中位线定理可得 11 , 22 OMBC ONAB，设,BEa BFb，再根 据三角形的面积公式分别求出OEF与ABC的面积，由此即可得出答案 【详解】 定理证明：点 D、E分别是 AB、AC的中点， 1 2 AEAD ACAB ， 在ADE和ABC中， 1 2 AEAD ACAB AA ， ADEABC， 1
18、, 2 DEAD ADEABC BCAB ， /DE BC，且 1 2 DEBC； 定理应用： （1）2,2AEBE CFBF， 1 3 BEBF BABC ， 在BEF和BAC中， BEBF BABC BB ， BEFBAC， 1 3 EFBF ACBC ， 即 1 3 EFAC； （2）如图，过点 O作OMAB于点 M，作ONBC于点 N， 四边形 ABCD 是矩形， 90B，即ABBC， /,/OM BC ON AB ， 点 O 是 AC的中点， OM、ON是ABC的两条中位线， 11 , 22 OMBC ONAB， 设,BEa BFb，则 33 2 ,3 ,2 ,3 , 22 AEa
19、ABa CFb BCb OMb ONa， 11 22 BEF SBE BFab， 13 22 AOE SAE OMab， 13 22 COF SCF ONab， 19 22 ABC SAB BCab， OEFABCBEFAOECOF SSSSSab， 2 9 9 2 OEF ABC Sab S ab ， 即OEF与ABC的面积比2:9 【点睛】 本题考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质、矩形的性质等知识点，较难的是题（2） ，通过 作辅助线，运用到三角形中位线定理是解题关键 10如图，在ABC中，点 ,E F分别在,AB AC上，且 AEAB AFAC （1）求证：AEFABC； （
20、2）若点D在BC上，AD与EF交于点G，求证： EGFG BDCD 【答案】 （1）见解析； （2）见解析 【分析】 （1）直接利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证得结论； （2） 根据相似三角形的性质和平行线的判定方法可得 EFBC， 于是可得 AEGABD， AGFADC， 再根据相似三角形的性质即可推出结论 【详解】 解： （1）在 AEF和 ABC中， EAFBAC， AEAB AFAC ， AEFABC； （2）AEFABC， AEF=ABC， EFBC， AEGABD， AGFADC， EGAG BDAD , FGAG CDAD ， EGFG BDCD 【点睛】 本题考查
21、了相似三角形的判定和性质，属于常考题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键 11陕西省西安市罗汉洞村观音禅寺内有一棵千年银杏树，据传是当年唐太宗李世民亲手裁种，距今已有 1400多年历史，已被国家列为古树名木保护名录小华是一位数学爱好者，想利用所学的知识测量这棵银 杏树的高度阳光明媚的一天，小华站在点 D处利用测倾器测得银杏树顶端 A 的仰角为 39 ，然后着 DM 方 向走了 19 米到达点 F 处，此时银杏树的影子顶端与小华的影子顶端恰好重合，小华身高 EF1.7米，测得 FG3 米，测倾器的高度 CD0.8米，已知 ABBG，CDBG，EFBG请你根据以上信息，计算银杏 树 AB的
22、高度 （参考数据：sin390.6，cos390.8，tan390.8） 【答案】40.8米 【分析】 由题意过 C作 CHAB 于 N，则四边形 BDCN是矩形，根据矩形的性质得到 CNBD，BNCD08， 设 BDCNx，则 BG22+x，根据三角函数的定义得到 ANCNtan3908x，求得 AB08x+08， 根据相似三角形的性质求出 x，即可得到结果 【详解】 解：过 C 作 CHAB于 N，如图所示： 则四边形 BDCN是矩形， CNBD，BNCD08， 设 BDCNx， 则 BGBD+DF+FGx+19+322+x， 小华站在点 D处利用测倾器测得银杏树顶端 A 的仰角为 39
23、， ACN39 ， 在 Rt ACN中，ANCNtan3908x， ABAN+BN08x+08， ABBG，EFBG， EFAB， EFGABG， EF AB FG BG ，即 1.7 0.80.8x 3 22x ， 解得：x50， AB0.8 50 08 40.8（米） 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题以及相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加 常用辅助线，构造直角三角形解决问题 12如图，矩形OABC中，O为原点，点A在y轴上，点C在x轴上，点B的坐标为（4,3） ，抛物线 2 3 8 yxbxc 与y轴交于点A，与直线AB交于点D，与x轴交于CE，两点. （
24、1）求抛物线的表达式； （2） 点P从点C出发， 在线段CB上以每秒 1 个单位长度的速度向点B运动， 与此同时， 点Q从点A出发， 在线段AC上以每秒 5 3 个单位长度的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动.连接 DPDQPQ、 ，设运动时间为t（秒）. 当t为何值时， DPQ得面积最小？ 是否存在某一时刻t，使 DPQ 为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由. 【答案】 （1） 2 33 3 84 yxx ； （2） 3 2 t ； 12345 3172417145 ,3, 26176 ttttt 【分析】 （1） 根据点 B 的坐标可得出点 A，
25、C的坐标， 代入抛物线解析式即可求出 b， c的值， 求得抛物线的解析式； （2）过点 Q、P 作 QFAB、PGAC，垂足分别为 F、G，推出 QFACBA， CGPCBA，用含 t的式子表示 OF，PG，将三角形的面积用含 t的式子表示出来，结合二次函数的性质可求出最值；由于 三角形直角的位置不确定，需分情况讨论，根据点的坐标，再结合两点间的距离公式用勾股定理求解即可 【详解】 解： （1）由题意知：A(0,3),C(4,0)， 抛物线经过 A、B两点， 3 3 1640 8 c bc ，解得， 3 4 3 b c ， 抛物线的表达式为： 2 33 3 84 yxx (2) 四边形 ABC
26、D是矩形， B=90O， AC2=AB2+BC2=5； 由 2 33 33 84 xx，可得 12 0,2xx，D（2,3） 过点 Q、P作 QFAB、PGAC，垂足分别为 F、G， FAQ=BAC， QFA=CBA， QFACBA AQQF ACBC ， 53 35 AQ QFBCtt AC 同理： CGPCBA， PGCP ABAB CP PGAB AB ， 4 5 PGt， 11541 62(5)2 (3) 22352 DPQABCQADPQCPBD SSSSStttt 222 2293233 23(3)3() 3342322 ttttt 当 3 2 t 时， DPQ 的面积最小.最小值
27、为 3 2 由图像可知点 D 的坐标为(2,3)，AC=5,直线 AC 的解析式为： 3 y3 4 x 三角形直角的位置不确定，需分情况讨论： 当DPG90时，根据勾股定理可得出： 2222 225555 2t3t343423 3434 tttt ， 整理，解方程即可得解； 当DGP90时，可知点 G 运动到点 B 的位置，点 P 运动到 C 的位置，所需时间为 t=3； 当PDG90时,同理用勾股定理得出： 2222 225555 2t3t343423 3434 tttt ； 整理求解可得 t 的值 由此可得出 t的值为： 1 3 2 t , 2 3t , 3 17 6 t , 4 24 1
28、7 t , 5 17145 6 t 【点睛】 本题考查的知识点是二次函数与几何图形的动点问题，掌握二次函数图象的性质是解此题的关键 13 （1）如图 1，在 ABC中，点 D，E，Q分别在 AB，AC，BC上，且 DEBC，AQ交 DE 于点 P，求 证： DPEP BQCQ ； （2） 如图，在 ABC 中，BAC=90 ，正方形 DEFG 的四个顶点在 ABC的边上，连接 AG，AF分别交 DE 于 M，N两点 如图 2，若 AB=AC=1，直接写出 MN的长； 如图 3，求证 MN2=DM EN 【答案】 （1）证明见解析； （2） 2 9 ；证明见解析 【分析】 （1）易证明 ADPA
29、BQ， ACQADP，从而得出 DPEP BQCQ ； （2）根据等腰直角三角形的性质和勾股定理，求出 BC边上的高 2 2 ，根据 ADEABC，求出正方 形 DEFG 的边长 2 3 从而， 由 AMNAGF和 AMN 的 MN边上高 2 6 ， AGF的 GF边上高 2 2 ， GF= 2 3 ，根据 MN：GF等于高之比即可求出 MN； 可得出 BGDEFC， 则 DGEF=CFBG； 又 DG=GF=EF， 得 GF2=CFBG， 再根据 （1） DMMNEN BGGFCF ， 从而得出结论 【详解】 解： （1）在 ABQ和 ADP中， DPBQ， ADPABQ， DPAP BQA
30、Q ， 同理在 ACQ和 APE中， EPAP CQAQ ， DPPE BQQC ； （2）作 AQBC于点 Q BC边上的高 AQ= 2 2 ， DE=DG=GF=EF=BG=CF DE：BC=1：3 又DEBC AD：AB=1：3， AD= 1 3 ，DE= 2 3 ， DE边上的高为 2 6 ，MN：GF= 2 6 ： 2 2 ， MN： 2 3 = 2 6 ： 2 2 ， MN= 2 9 故答案为： 2 9 证明：B+C=90 CEF+C=90 ， B=CEF， 又BGD=EFC， BGDEFC， DGBG CFEF ， DGEF=CFBG， 又DG=GF=EF， GF2=CFBG，
31、由（1）得 DMMNEN BGGFFC ， MN MNDM EN GF GFBG CF ， 2 () MNDM EN GFBG CF ， GF2=CFBG， MN2=DMEN 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，是一道综合题目，难度较大 14矩形 ABCD中，AB8，AD12将矩形折叠，使点 A 落在点 P处，折痕为 DE （1）如图，若点 P恰好在边 BC 上，连接 AP，求 AP DE 的值； （2）如图，若 E 是 AB的中点，EP的延长线交 BC于点 F，求 BF的长 【答案】 （1） 2 3 ； （2）BF3 【分析】 （1）如图中，取 DE的中点 M，连接
32、PM证明 POMDCP，利用相似三角形的性质求解即可 （2）如图中，过点 P 作 GHBC 交 AB于 G，交 CD于 H设 EG=x，则 BG=4-x证明 EGPPHD， 推出 1 3 EGPGEP PHDHPD ， 推出 PG=2EG=3x， DH=AG=4+x， 在 Rt PHD中， 由 PH2+DH2=PD2， 可得 （3x） 2+（4+x）2=122，求出 x，再证明 EGPEBF，利用相似三角形的性质求解即可 【详解】 解： （1）如图中，取 DE的中点 M，连接 PM 四边形 ABCD是矩形， BADC90 ， 由翻折可知，AOOP，APDE，23，DAEDPE90 ， 在 Rt
33、 EPD中，EMMD， PMEMDM， 3MPD， 13+MPD23， ADP23， 1ADP， ADBC， ADPDPC， 1DPC， MOPC90 ， POMDCP， 82 123 POCD PMPD ， 22 23 AOPO DEPM （2）如图中，过点 P作 GHBC交 AB于 G，交 CD于 H则四边形 AGHD是矩形，设 EGx，则 BG 4x AEPD90 ，EGPDHP90 ， EPG+DPH90 ，DPH+PDH90 ， EPGPDH， EGPPHD， 41 123 EGPGEP PHDHPD ， PG2EG3x，DHAG4+x， 在 Rt PHD中，PH2+DH2PD2，
34、（3x）2+（4+x）2122， 解得：x 16 5 （负值已经舍弃） ， BG416 5 4 5 ， 在 Rt EGP 中，GP 22 12 5 EPEG， GHBC， EGPEBF， EGGP EBBF ， 1612 55 4BF ， BF3 【点睛】 本题考查翻折变换，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解 决问题，学会利用参数构建方程解决问题 15如图，在Rt ABC中，90ACB， 60BAC，6AC ，AD平分BAC，交边BC于点D， 过点D作CA的平行线，交边AB于点E （1）求线段DE的长； （2） 取线段AD的中点M， 联结BM， 交线段D
35、E于点F， 延长线段BM交边AC于点G， 求 EF DF 的值 【答案】 （1）4； （2） 2 3 【分析】 （1）分别求出 CD，BC，BD，证明BDEBCA，根据相似性质即可求解； （2）先证明DFAG，再证明BEFBAG，根据相似三角形性质求解即可 【详解】 解： （1）AD平分BAC，60BAC， 30DAC 在Rt ACD中，90ACD，30DAC，6AC ，CD2 3 在Rt ACB中，90ACB，60BAC，6AC ，6 3BC 4 3BDBCCD /DE CA， BDEBCA 2 3 DEBD CABC 4DE （2）点M是线段AD的中点，DMAM /DE CA， DFMAG
36、M DFDM AGAM DFAG /DE CA， BEFBAG 2 3 EFBEBD AGBABC 2 3 EF DF 【点睛】 本题考查了含 30 角的直角三角形性质，相似的判定与性质，解题的关键是能根据题意确定相似三角形，并 根据相似性质解题 16 如图， 在ABC中，ABAC， 以AC为直径的 O交BC于点D， 交AB于点E， 过点D作DFAB， 垂足为F，连接DE （1）求证：直线DF与O相切； （2）若7AE ，6BC ，求AC的长 【答案】 （1）证明见解析； （2）9 【分析】 （1）连接OD，利用ABAC，ODOC，证得/OD AD，易证DFOD，故DF为O的切线； （2）证得
37、BEDBCA，求得BE，利用ACABAEBE求得答案即可 【详解】 证明： 连接 OD AB=AC， B=C， OD=OC， ODC=C， ODC=B， ODAB， DFAB， ODDF， 点 D在O上， 直线 DF与O相切； （2）解：四边形 ACDE是O的内接四边形， AED+ACD=180 ， AED+BED=180 ， BED=ACD， B=B， BEDBCA， BDBE ABBC =， ODAB，AO=CO， 1 3 2 BDCDBC， 又AE=7， 3 76 BE BE ， BE=2， AC=AB=AE+BE=7+2=9 【点睛】 此题考查了切线的判定，三角形相似的判定与性质，要证
38、某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆 心和这点（即为半径） ，再证垂直即可 17如图，在 ABC 中，AB=4 2，B=45 ，C=60 （1）求 BC边上的高线长 （2）点 E 为线段 AB 的中点，点 F 在边 AC上，连结 EF，沿 EF将 AEF折叠得到 PEF 如图 2，当点 P落在 BC上时，求AEP 的度数 如图 3，连结 AP，当 PFAC时，求 AP的长 【答案】 （1）4;（2）90 ；2 6 【分析】 （1）如图 1中，过点 A作 ADBC于 D解直角三角形求出 AD即可 （2）证明 BE=EP，可得EPB=B=45 解决问题 如图 3中，由（1）可知：AC= 8
39、3 sin603 AD ，证明 AEFACB，推出 AFAE ABAC ，由此求出 AF 即可解决问题 【详解】 解： （1）如图 1，过点 A作 ADBC于点 D， 在 Rt ABD 中，sin45ADAB= 2 4 2 2 =4. （2）如图 2，AEFPEF， AEEP. 又AEBE ， BEEP， EPBB45 ， AEP90 . 如图 3，由（1）可知：在 Rt ADC 中， 8 3 sin603 AD AC . PFAC， PFA90 . AEFPEF， AFEPFE45 ，则AFEB. 又EAFCAB， EAFCAB， AF AB AE AC ，即 4 2 AF 2 2 8 3
40、3 ， AF2 3, 在 Rt AFP中，AFPF，则 AP 2AF2 6. 【点睛】 本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形的应用，翻折变换，全等三角形的性质，相似三角形的判定 和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型 三、填空题三、填空题 18如图，P是ABC内一点，过点P分别作直线平行于ABC 各边，形成三个小三角形面积分别为 123 3,12,27SSS，则 ABC S_ 【答案】108 【分析】 根据平行可得三个三角形相似，再由它们的面积比得出相似比，再求出最小三角形的边与最大三角形边的 比，从而得到它们的面积的比，求出结果即可 【详解】 解：过 P
41、作 BC 的平行线交 AB、AC于点 D、E，过 P 作 AB 的平行线交 AB于点 I、G，过 P 作 AC的平行 线交 AC于点 F、H， DE/BC，IG/AB，FH/AC， 四边形 AFPI、四边形 PHCE、四边形 DBGP 均为平行四边形， FDPIPEPGHABC， 123 31227SSS， FP：IE：PH=1：2：3， AI：IE：EC=1：2：3， AI：IE：EC：AB=1：2：3：6， S ABC：S FDP=36：1， S ABC=36 3=108 故答案为:108 【点睛】 本题考查相似三角形的性质，相似三角形面积比等于相似比的平方 19 已知， 平行四边形ABC
42、D中， 点E是AB的中点， 在直线AD上截取2AFFD， 连接EF，EF交AC 于G，则 AG AC _ 【答案】 2 5 ； 2 7 【分析】 由于 F的位置不确定，需分情况进行讨论， （1）当点 F在线段 AD上时（2）点 F在 AD 的延长线上时两种 情况，然后通过证两三角形相似从而得到 AG和 CG的比，进一步得到 AG和 AC的比 【详解】 解： （1）点 F在线段 AD上时，设 EF与 CD 的延长线交于 H， AB/CD， EAFHDF, HD：AE=DF：AF=1:2， 即 HD= 1 2 AE， AB/CD， CHGAEG， AG：CG=AE：CH， AB=CD=2AE， C
43、H=CD+DH=2AE+ 1 2 AE= 5 2 AE， AG：CG=2：5， AG： （AG+CG）=2： （2+5） ， 即 AG：AC=2：7； （2）点 F在线段 AD的延长线上时，设 EF与 CD 交于 H， AB/CD， EAFHDF， HD：AE=DF：AF=1：2， 即 HD= 1 2 AE， AB/CD， AG：CG=AE：CH AB=CD=2AE， CH=CD-DH=2AE- 1 2 AE= 3 2 AE， AG：CG=2：3， AG： （AG+CG）=2： （2+3） ， 即 AG：AC=2：5 故答案为： 或 【点睛】 本题考查相似三角形的性质以及分类讨论的数学思想；其
44、中相似三角形的性质得出的比例式是解题关键， 特别注意：求相似比不仅要认准对应边，还需注意两个三角形的先后次序 20在平面直角坐标系中，已知3,4A ，1,0D ，点C是y轴正半轴上一动点，以AC为直角边构造 直角ABC，另一直角边交x轴负半轴于点B，E为线段BC的中点，则DE的最小值为_ 【答案】19 10 【分析】 根据 AC 为直角边可分CAB=90 和ACB=90 两种情况进行讨论 【详解】 ABC为直角三角形，AC为直角边， 当90CAB时， 90A ，又90COB， A、C、O、B四点共圆，且BC为直径， E为BC中点，则E为圆心，连接AO，则AO为圆的一条弦， 圆心一定在AO的垂直
45、平分线上， 取AO中点F，过F做直线FHAO，则E的运动轨迹为直线FH， 当DEFH时，DE取得最小值， 3,4A ， AO的解析式为 4 3 yx ， 又F为AO中点， 3 ,2 2 F ， 5 2 OF ， FHAO， 13 4 FH AO k k ， FH的解析式可设为 3 4 yxb， 代入 3 ,2 2 F ，得： 9 2 8 b ， 25 8 b ， FH的解析式为 325 48 yx， 令0y ，得 25 6 x ， 25 ,0 6 M ， 25 6 OM ， 又1OD， 19 6 MD ， DEFH， /DE FO， MDEMOF， DEND FOMO ， 19 6 525 2
46、6 OE ， 19519 25210 DE 当90ACB时， B点交于x轴原点处不符合题意，故DE的最小值为19 10 ， 故答案为： 19 10 【点睛】 本题考查一次函数与几何问题的综合应用，灵活运用一次函数的图象和性质以及相似三角形、四边形和圆 的有关性质求解是解题关键 21如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为 1米，继续往前走 2 米到达E处 时，测得影子EF的长为 2米，已知王华的身高是 1.5米，那么路灯A的高度等于_ 【答案】4.5 【分析】 设BC之间的距离为 x米， 根据题意可得DGCDAB，FHEFAB， 即 G CC D A BB D ， HEEF
47、 ABBF ， 代入数值解得 x=2，进而求得 AB，即可求得路灯的高度 【详解】 如图，设BC之间的距离为 x米， 根据题意可得GCBF，HEBF， AB CG HE DGCDAB，FHEFAB， GCCD ABBD ， HEEF ABBF ， 即 1.51 1ABx ， 1.52 22ABx ， 12 122xx ， 解得2x，经检验2x是所列方程的解， 1.51 3AB ，解得4.5AB， 经检验4.5AB是所列方程的解， 故路灯的高为 4.5米 故答案为：4.5 【点睛】 本题主要考查相似三角形的应用，涉及相似三角形的判定与性质、解分式方程等知识，会利用相似三角形 的性质列出方程是解答
48、的关键 22如图，在Rt ABC中，90ACB，6ACBC ，D是 AB上一点，点 E 在 BC上，连接 CD， AE 交于点 F若45CFE，2BDAD，则CE _ 【答案】2 【分析】 过 D 作 DH垂直 AC于 H点，过 D 作 DGAE交 BC于 G 点，先利用解直角三角形求出 CD的长，其次利 用 CDGCBD,求出 CG的长， 得出 BG的长， 最后利用 BDGBAE， 求出 BE 的长， 最后得出答案 【详解】 解：过 D 作 DH垂直 AC于 H 点，过 D作 DGAE交 BC于 G点， 在直角三角形 ABC 中，6ACBC， AB= 22 ACBC =6 2， 又2BDAD
49、， AD=2 2 ， 在等腰直角三角形 AHD中，AH=DH=2， CH=62=4， 在 Rt CHD中，CD= 22 CHDH =2 5， AEDG， CFE=CDG=45 ，B=45 ， CDG=B， 又DCG=BCD， CDGCBD， CDCG CBCD ， 2 CDCG CB ， 即 20=6CG， CG=10 3 ， BG=BCCG=610 3 = 8 3 ， 又 DGAE， BDGBAE， 又2BDAD， 2 3 BDBG BABE ， 又 BG= 8 3 ， BE=BG3 2 =4， CE=64=2， 故答案为：2 【点睛】 本题考查勾股定理， 等腰直角三角形性质及相似三角形的判定与性质综合， 解题关键在于正确做出辅助线， 利用相似三角形的性质得出对应边成比例求出答案 23 如图， 在Rt ABC中，90ACB， 9cmACBC ， 动点P从点A出发， 沿AB方向以每秒 2cm 的速度向终点B运动； 同时， 动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动， 将PQC沿 BC翻折， 点P的对应点为点 P ， 设Q点运动的时间为t秒， 若四边形QP CP 为菱形， 则t的值为_ 【答案】3 【分析】 如图： 连接 P P
