1、知识框架图 7 计数综合 7-8 几何计数 1.掌握计数常用方法； 2.熟记一些计数公式及其推导方法； 3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数 本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用 容斥原理的计数思想 一、几何计数 在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图 分平面所成的区域数等等这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些 处理方法的常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等n 条直线最多将平面分成 2 1 223(2) 2 nnn个部分；n 个圆最多分
2、平面的部分数为 n(n-1)+2；n 个三角形将平面最多分 成 3n(n-1)+2 部分；n 个四边形将平面最多分成 4n(n-1)+2 部分 在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等解题时需要仔细审题、 综合所学知识点逐步求解 排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先 后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关 二、几何计数分类 数线段：如果一条线段上有 n+1 个点(包括两个端点)（或含有 n 个“基本线段”） ，那么这 n+1 个点把这条 线段一共分成的线段总数为 n+(n-1)+2+1 条 数角：数角与数线段相似
3、，线段图形中的点类似于角图形中的边 数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法） ，因为 DE 上有 15 条线段，每条线段的两 端点与点 A 相连，可构成一个三角形，共有 15 个三角形，同样一边在 BC 上的三角形也有 15 个，所以图中 共有 30 个三角形 数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形） ，若其横边上共有 n 条线段， 纵边上共有 m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个 教学目标教学目标 知识要点知识要点 几何计数几何计数 【例【例 1 1】 下图的两个图形下图的两个图形(实线实线)是分别用是分别用 10 根和根和 16 根单
4、位长的小棍围成的 如果按此规律根单位长的小棍围成的 如果按此规律(每一层比上面一每一层比上面一 层多摆出两个小正方形层多摆出两个小正方形)围成的图形共用了围成的图形共用了 60 多根小棍，那么围成的图形有几层，共用了多少根小多根小棍，那么围成的图形有几层，共用了多少根小 棍？棍？（4 级）级） 【例【例 2 2】 用用 3 根等长的火根等长的火柴可以摆成一个等边三角形如图用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三柴可以摆成一个等边三角形如图用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三 角形角形.如果这个大等边三角形的每边由如果这个大等边三角形的每边由 20 根火柴组成，那么一共要用多少根火柴根火柴组
5、成，那么一共要用多少根火柴?（4 级）级） 【巩固【巩固】用三根火柴可拼成一个小“” ，若用用三根火柴可拼成一个小“” ，若用 108 根火柴拼成如图所示形状的大三角形，请你数一数共有多根火柴拼成如图所示形状的大三角形，请你数一数共有多 少个三角形？少个三角形？（4 级）级） 【例【例 3 3】 如图所示， 用长短相同的火柴棍摆成如图所示， 用长短相同的火柴棍摆成 31996 的方格网， 其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，的方格网， 其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成， 那么一共需用多少根火柴棍那么一共需用多少根火柴棍?（4 级）级） 【例【例 4 4】 图中共有多少个长方形？图中共有多
6、少个长方形？（4 级）级） 【例【例 5 5】 下面的下面的5 5和和64图中共有图中共有_个正方形个正方形 （4 级）级） 例题精讲例题精讲 【例【例 6 6】 在图中在图中(单位：厘米单位：厘米)： 一共有几个长方形一共有几个长方形? 所有这些长方形面积的和是多少所有这些长方形面积的和是多少?（6 级）级） 3 7 4 2 18125 【巩固】【巩固】如图，其中的每条线段都是水平的或竖直的，边界上各条线段的长度依次为如图，其中的每条线段都是水平的或竖直的，边界上各条线段的长度依次为 5 厘米、厘米、7 厘米、厘米、9 厘米、厘米、 2 厘米和厘米和 4 厘米、厘米、6 厘米、厘米、5 厘米
7、、厘米、1 厘米求图中长方形的个数，以及所有长方形面积的和厘米求图中长方形的个数，以及所有长方形面积的和 （6 级）级） 【例【例 7 7】 下图中共有下图中共有_个正方形个正方形 （4 级）级） 【巩固】【巩固】 图中有图中有_个正方形个正方形 （4 级）级） 【例【例 8 8】 如图，其中同时包括两个的长方形有如图，其中同时包括两个的长方形有 个个 （6 级）级） 【巩固】【巩固】 在下图中，不包含的长方形有在下图中，不包含的长方形有_个个 （6 级）级） 【例【例 9 9】 图中含有“”的长方形总共有图中含有“”的长方形总共有_个个 （6 级）级） 【巩固】【巩固】由由 20 个边长为个
8、边长为 1 的小正方形拼成一个的小正方形拼成一个45长方形中有一格有长方形中有一格有“”图中含有图中含有“”的所有长方形的所有长方形(含正含正 方形方形)共有共有 个，它们的面积总和是个，它们的面积总和是 (第六届走美决赛试题第六届走美决赛试题)（6 级）级） 【例【例 1010】 如图是由如图是由 18 个大小相同的小正三角形拼成的四边形其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的个大小相同的小正三角形拼成的四边形其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的 正三角形若干个那么，图中包含正三角形若干个那么，图中包含“*”号的大、小正三角形一共有号的大、小正三角形一共有_个个 （4 级）级） * 【例【例
9、 1111】 如图如图 AB，CD，EF，MN 互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少?（6 级）级） 【例【例 1212】 图中共有多少个三角形？图中共有多少个三角形？（6 级）级） 【例【例 1313】 下图中的正方形被分成下图中的正方形被分成 9 个相同的小正方形，它们一共有个相同的小正方形，它们一共有 16 个顶点（共同的顶点算一个） ，以其个顶点（共同的顶点算一个） ，以其 中不在一条直线上的中不在一条直线上的 3 个点为顶点，可以构成三角个点为顶点，可以构成三角形形在这些三角形中，与阴影三角形有同样大在这些三角形中，与阴影三角形
10、有同样大 小面积的有多少个？小面积的有多少个？（6 级）级） 【例【例 1414】 ( (第第十二十二届全国届全国“华罗庚金杯华罗庚金杯”少年数学邀请赛少年数学邀请赛) )如图，连接一个正六边形的各顶点如图，连接一个正六边形的各顶点问图中共有问图中共有 多少个等腰三角形多少个等腰三角形( (包括等边三角形包括等边三角形) )？（8 级）级） 【例【例 1515】 ( (第十第十一一届届“华罗庚金杯华罗庚金杯赛赛”) )图中有图中有 个正方形个正方形 （8 级）级） 【巩固【巩固】这幅图中这幅图中有有 个三角形个三角形 （10 级）级） 【例【例 1616】 一张长方形纸片，长是宽的一张长方形纸
11、片，长是宽的 2 倍，先对折成正方形，再对折成长方形，再对折成正方形，倍，先对折成正方形，再对折成长方形，再对折成正方形， 共对折共对折 7 次，将纸打开展平，数一数用折痕分割成的正方形共有多少个？次，将纸打开展平，数一数用折痕分割成的正方形共有多少个？（8 级）级） 【巩固】【巩固】将正方形纸片由下往上对折，再由左向右对折，称为完成一次操作将正方形纸片由下往上对折，再由左向右对折，称为完成一次操作按上述按上述规则完成五次操作后，规则完成五次操作后， 剪去所得的小正方形的左下角剪去所得的小正方形的左下角问：当展开这张正方形纸后，一共有多少个小洞孔？问：当展开这张正方形纸后，一共有多少个小洞孔？
12、（8 级）级） 【例【例 1717】 在一个圆周上有在一个圆周上有 8 个点，正好把圆周八等分，以这些点为顶点作三角形，可以作出个点，正好把圆周八等分，以这些点为顶点作三角形，可以作出 个等个等 腰三角形腰三角形 （8 级）级） 【例【例 1818】 圆周上十个点，任意两点之间连接一条弦，这些弦在圆内有多少个交点？圆周上十个点，任意两点之间连接一条弦，这些弦在圆内有多少个交点？（8 级）级） 【例【例 1919】 圆周上有圆周上有8个点，两点所连的线段叫“弦” ，每两点连一条个点，两点所连的线段叫“弦” ，每两点连一条弦，各弦无公共端点，共可连四条弦，弦，各弦无公共端点，共可连四条弦， 各弦互不相交的连法共有各弦互不相交的连法共有_种种 （8 级）级） 【例【例 2020】 一个圆上有一个圆上有 12 个点个点 A1，A2，A3，A11，A12以它们为顶点连三角形，使每个点恰好是一个三角以它们为顶点连三角形，使每个点恰好是一个三角 形的顶点，且各个三角形的边都不相交问共有多少种不同的连法形的顶点，且各个三角形的边都不相交问共有多少种不同的连法?（10 级）级）
