1、高三年级（数学） 第 1 页（共 8 页） 海淀区高三年级第一学期期末练习 数 数 学学 2021. 01 本试卷共 8 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作 答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 （1）抛物线 2 yx的准线方程是 （A） 1 2 x （B） 1 4 x （C） 1 2 y （D） 1 4 y （2）在复平面内，复数 i 1i 对应的点位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三
2、象限 （D）第四象限 （3）在 5 (2)x的展开式中， 4 x的系数为 （A）5 （B）5 （C）10 （D）10 （4）已知直线l： 20 xay ，点 ( 1,1)A 和点 (2, 2)B. 若lAB，则实数a的值为 （A）1 （B）1 （C）2 （D）2 （5）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为 （A）2 （B）4 （C）6 （D）12 侧（左）视图 俯视图 正（主）视图 2 23 高三年级（数学） 第 2 页（共 8 页） （6）已知向量a，b满足1a，( 2,1) b，且2ab，则a b= （A）1 （B）0 （C）1 （D）2 （7）已知，是两个不同的平面， “”的一个充
3、分条件是 （A）内有无数条直线平行于 （B）存在平面， （C）存在平面，m，n，且mn （D）存在直线l，l，l （8）已知函数 2 ( )12sin () 4 f xx ，则 （A）( )f x是偶函数 （B）函数( )f x的最小正周期为2 （C）曲线( )yf x关于直线 4 x 对称 （D）(1)(2)ff （9）数列的通项公式为 2 3 n ann，*nN，前项和为. 给出下列三个结论： 存在正整数,m n（mn） ，使得 mn SS；存在正整数,m n（mn） ，使得 2 mnmn aaa a； 记 1 2 (1,2,3,) nn Taaan， 则数列 n T有最小项. 其中所有正
4、确结 论的序号是 （A） （B） （C） （D） （10） 如图所示， 在圆锥内放入两个球 1 O, 2 O,它们都与圆锥相切 （即与圆锥的每条母线相切） ， 切点圆（图中粗线所示）分别为 1 C， 2 C.这两个球都与平面相切，切点分别为 1 F， 2 F，丹德林（G.Dandelin）利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆， 1 F， 2 F为此椭圆的两个焦点. 这两个球也称为Dandelin双球. 若圆锥的母线与它的轴的夹角 n an n S 高三年级（数学） 第 3 页（共 8 页） 为30， 1 C， 2 C的半径分别为1，4，点M为 2 C上的一个定点，点P为椭圆上的 一个动
5、点.则从点P沿圆锥表面到达点M的路线长与线段 1 PF的长之和的最小值是 （A）6 （B）8 （C）3 3 （D）4 3 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 （11）在“互联网+”时代，国家积极推动信息化技术与传统教 学方式的深度融合， 实现线上、 线下融合式教学模式变革. 某校高一、 高二和高三学生人数如图所示， 采用分层抽样 的方法调查融合式教学模式的实施情况， 在抽取的样本中， 高一学生有16人， 则该样本中的高三学生人数为_. （12）设等比数列 n a的前 n 项和为 n S.若 123 ,SSa成等差数 列，则数列 n a的
6、公比为_. 0 人数 年级高三高二高一 600 700 800 高三年级（数学） 第 4 页（共 8 页） （13）已知双曲线 2 2 1 2 y x 的左、右焦点分别为 1 F, 2 F,点( 3,4)M ，则该双曲线的渐近线方 程为_； 12 MFMF_. （14） 已知函数( )f x是定义域为R的奇函数， 且0 x 时，( )e1 x f xa， 则a=_，( )f x 的值域是_. （15）已知圆P: 22 (5)(2)2xy，直线l:yax，点(5,22)M，点( , )As t. 给出下列四个结论： 当0a 时，直线l与圆P相离； 若直线l是圆P的一条对称轴，则 2 5 a ；
7、若直线l上存在点A，圆P上存在点N，使得90MAN，则a的最大值为 20 21 ； N为圆P上的一个动点.若90MAN，则t的最大值为 5 28 4 其中所有正确结论的序号是 . 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 高三年级（数学） 第 5 页（共 8 页） （16） （本小题共 15 分） 在三棱柱 111 ABCABC中，侧面 11 BCC B为矩形， AC 平面 11 BCC B，D，E分别是棱 1 AA， 1 BB的中点. （）求证：AE/平面 11 BC D； （）求证： 1 CC 平面ABC； （）若 1 2ACBCAA，求直线AB与平面
8、 11 BC D所 成角的正弦值. （17） （本小题共 14 分） 若存在ABC同时满足条件、条件、条件、条件中的三个，请选择一组这样的 三个条件并解答下列问题： （）求A的大小； （）求cosB和a的值 条件： 3 3 sin 14 C ； 条件： 7 3 ac； 条件：1ba； 条件： 5 cos 2 bA . （18） （本小题共 14 分） E D C1 B1 A1 C B A 高三年级（数学） 第 6 页（共 8 页） 某公司在 20132021 年生产经营某种产品的相关数据如下表所示： 年 份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 202
9、1 年生产台数 （单位： 万 台） 3 4 5 6 6 9 10 10 a 年返修台数 （单位： 台） 32 38 54 58 52 71 80 75 b 年利润 （单位： 百万元） 3.85 4.50 4.20 5.50 6.10 9.65 10.00 11.50 c 注：年返修率 = 年返修台数 年生产台数. （）从 20132020 年中随机抽取一年，求该年生产的产品的平均利润不小于 100 元/台的概 率； （）公司规定：若年返修率不超过千分之一，则该公司生产部门当年考核优秀. 现从 20132020 年中随机选出 3 年，记表示这 3 年中生产部门获得考核优秀的次数，求 的分布列和数
10、学期望； （）记公司在 20132015 年，20162018 年，20192021 年的年生产台数的方差分别为 2 1 s， 2 2 s， 2 3 s. 若 222 312 max,sss，其中 22 12 max,ss表示 22 12 ,ss这两个数中最大的数请写 出a的最大值和最小值.（只需写出结论） （注： 2222 12 1 ()()() n sxxxxxx n ， 其中x为数据 12 , n x xx的平均数） （19） （本小题共 14 分） 已知椭圆W: 22 22 1 xy ab （0ab）的离心率为 3 2 ，且经过点(2, 3)C. （）求椭圆W的方程及其长轴长； （）A
11、，B为椭圆W的左、右顶点，点D在椭圆W上，且位于x轴下方，直线CD交x轴 于点Q. 若ACQ的面积比BDQ的面积大2 3，求点D的坐标. （20） （本小题共 14 分） 高三年级（数学） 第 7 页（共 8 页） 已知函数 ln ( ) x f x x . （）求函数( )f x的单调区间； （）设( )( )g xf xx，求证：( )1g x ； （）设 22 ( )( )241h xf xxaxa.若存在 0 x使得 0 ( )0h x，求a的最大值. （21） （本小题共 14 分） 设A是由nn（2n ）个实数组成的n行n列的数表，满足：每个数的绝对值是1，且 所有数的和是非负数，
12、则称数表A是“n阶非负数表”. （）判断如下数表 1 A， 2 A是否是“4阶非负数表” ； 数表 1 A 数表 2 A （）对于任意“5阶非负数表”A，记( )R s为A的第s行各数之和（15s） ，证明：存 在 , , 1,2,3,4,5i j k ，使得( )( )( )3R iR jR k； （）当2nk（kN*）时，证明：对于任意“n阶非负数表”A，均存在k行k列，使得 这k行k列交叉处的 2 k个数之和不小于k. 海淀区高三年级第一学期期末练习海淀区高三年级第一学期期末练习 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1
13、1 1 -1 1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 高三年级（数学） 第 8 页（共 8 页） 数学参考答案数学参考答案 2021.1 一、一、选择题共选择题共 1010 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 4040 分分。 题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 答案 B A D B A C D C C A 二、填空题共二、填空题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2525 分分。 题号 （11） （12） （13） （14） （15） 答案 12 3或1 20 xy 2 1 ( 1,1) 三、解答题共 6
14、 小题，共 85 分。 （16） （本小题共 15 分） 解： （）在三棱柱 111 ABCABC中， 1 AA/ 1 BB，且 11 AABB. 因为 点,D E分别是棱 11 ,AA BB的中点， 所以 AD/ 1 B E，且 1 ADB E. 所以 四边形 1 AEB D是平行四边形. 所以 AE/ 1 DB. 又因为 AE 平面 11 BC D， 1 DB 平面 11 BC D， 所以 AE/平面 11 BC D. （）因为 AC 平面 11 BCC B， 1 CC 平面 11 BCC B， 所以 1 ACCC. 因为 侧面 11 BCC B为矩形， 所以 1 CCBC. 又因为 AC
15、BCC，AC 平面ABC，BC 平面ABC， 高三年级（数学） 第 9 页（共 8 页） 所以 1 CC 平面ABC. （）分别以CA，CB， 1 CC所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直 角坐标系Cxyz，由题意得(2,0,0)A，(0,2,0)B， 1(0,2,2) B， 1(0,0,2) C， (2,0,1)D. 所以 ( 2,2,0)AB ， 11 (0,2,0)C B ， 1 (2,0, 1)C D . 设平面 11 BC D的法向量为( , , )x y zn，则 11 1 0, 0, C B C D n n 即 20, 20. y xz 令1x ，则0y ，2z .
16、于是(1,0,2)n. 所以 210 cos, 10|52 2 AB AB AB n n n . 所以 直线AB与平面 11 BC D所成角的正弦值为 10 10 . （17） （本小题共 14 分） 选择 解： （）因为 7 3 ac， 3 3 sin 14 C ， 由正弦定理得 3 sinsin. 2 a AC c 因为 1ba， 所以 ab. 所以 0 2 A . 所以 3 A. （）在ABC中， 7 3 ac， 所以 ac. 高三年级（数学） 第 10 页（共 8 页） 所以 0 2 C . 因为 3 3 sin 14 C ， 所以 2 13 cos1sin 14 CC. 所以 cos
17、cos()cos()BACAC sinsincoscosACAC 33 31131 2142147 . 所以 2 4 3 sin1cos. 7 BB 由正弦定理得 4 33 72 ba ，即78ba. 因为 1ba， 所以 7a . 选择 解： （）因为 7 3 ac， 3 3 sin 14 C ， 由正弦定理得 3 sinsin. 2 a AC c 在ABC中， 5 cos 2 bA ， 所以 2 A . 所以 2 3 A. （）在ABC中， 7 3 ac， 所以 ac. 所以 0 2 C . 因为 3 3 sin 14 C ， 高三年级（数学） 第 11 页（共 8 页） 所以 2 13
18、cos1sin 14 CC. 所以 coscos()cos()BACAC sinsincoscosACAC 33 311311 21421414 . 所以 2 5 3 sin1cos. 14 BB 因为 5 cos 2 bA ， 所以 5 2 5 1 2 b . 由正弦定理得 3 sin 2 57 sin5 3 14 A ab B . （18） （本小题共 14 分） 解： （）由图表知，20132020 年中，产品的平均利润小于 100 元/台的年份只有 2015 年，2016 年. 所以 从 20132020 年中随机抽取一年， 该年生产的产品的平均利润不小于 100 元/台的概率为 6
19、0.75 8 （）由图表知，20132020 年中，返修率超过千分之一的年份只有 2013，2015 年， 所以的所有可能取值为1, 2,3 12 62 3 8 3 (1) 28 C C P C ， 21 62 3 8 15 (2) 28 C C P C ， 30 62 3 8 5 (3) 14 C C P C 所以的分布列为 1 2 3 高三年级（数学） 第 12 页（共 8 页） P 3 28 15 28 5 14 故的数学期望 31559 ( )123 2828144 E （）a的最大值为13，最小值为7 （19） （本小题共 14 分） 解： （）因为 椭圆W经过点(2, 3)C， 所
20、以 22 43 1 ab . 因为 椭圆W的离心率为 3 2 ， 所以 3 2 c a ，其中 222 abc. 所以 4, 2. a b 所以 椭圆W的方程为 22 1 164 xy ，长轴长28a . （）当直线CD的斜率不存在时，由题意可知(2,3)D，(2,0)Q. 由（）可知( 4,0)A ,(4,0)B. 所以 ACQ的面积为 1 633 3 2 ，BDQ的面积为 1 233 2 .显 然ACQ的面积比BDQ的面积大2 3 . 当直线CD的斜率存在时，由题意可设直线CD的方程为3(2)yk x，且 0k . 令0y ，得 3 2x k ，所以 3 (2,0)Q k . 由 22 3
21、(2), 1 164 yk x xy 得 2 222 142 334 3 (4)()120yy kkkkk . 依题意可得点D的纵坐标 2 2 34 3 14 D k y k 2 2 4 343 14 kk k . 高三年级（数学） 第 13 页（共 8 页） 因为 点D在x轴下方，所以0 D y ，即 3 424 k . 所以 ACQ的面积为 1 | | 2 C AQy 13 (24)3 2k 33 (6) 2k ， BDQ的面积为 1 | | 2 D BQy 13 |42| 2 D y k 13 |2| 2 D y k 2 2 134 343 (2)() 214 kk kk 2 2 134
22、 343 (2)() 214 kk kk . 因为 ACQ的面积比BDQ的面积大2 3， 所以 2 2 33134 343 (6)(2)()2 3 2214 kk kkk . 此原方程无解. 综上所述，点D的坐标为(2,3). 方法二方法二 因为 点D在x轴下方，所以 点Q在线段AB（不包括端点）上. 由（）可知( 4,0)A ,(4,0)B. 所以 AOC的面积为 1 432 3 2 . 因为 ACQ的面积比BDQ的面积大2 3， 所以 点Q在线段OB（不包括端点）上，且OCQ的面积等于BDQ的面积. 所以 OCB的面积等于BCD的面积. 所以 ODBC. 设 ( , )D m n，0n ，
23、 则 033 422 n m . 因为 点D在椭圆W上， 所以 22 1 164 mn . 所以 2, 3. m n 所以 点D的坐标为(2,3). 高三年级（数学） 第 14 页（共 8 页） （20） （本小题共 14 分） 解： （）因为 ln ( ) x f x x ， 所以 2 1ln ( ) x fx x 令 ( )0fx ，得 ex ( )f x与( )fx在区间(0,)上的情况如下： x (0,e) e (e,) ( )fx 0 ( )f x 极大 所以 ( )f x的单调递增区间为(0,e)，单调递减区间为(e, ) （）因为 ln ( ) x f x x ，所以 ln (
24、) x g xx x . 所以 2 22 1ln1ln ( )1 xxx g x xx 当 (0 1)x，时， 2 10 ln0 xx，所以 ( )0g x ； 当 (1 )x， 时， 2 10 ln0 xx，所以 ( )0g x 所以 ( )g x在(0 1)，内单调递增，在(1 )， 内单调递减 所以 ( )(1)1g xg （）因为 ln ( ) x f x x ，所以 22 ln ( )241 x h xxaxa x 当 1 0 2 a时， 2 (1)242 (12 )0haaaa，即存在1，使得(1)0h； 当 1 2 a 时，由（）可知， ln 1 x x x ，即 ln 1 x
25、x x . 所以 22 ( )24h xxxaxa 2 22 21(21) ()4 24 aa xa 2 1 3 4 aa 高三年级（数学） 第 15 页（共 8 页） (21)(61) 4 aa 0. 所以 对任意0 x ，( ) 0h x ，即不存在 0 x使得 0 ( )0h x 综上所述，a的最大值为 1 2 （21） （本小题共 14 分） 解：记 ( , )a i j为数表A中第i行第j列的数， 11 ( , ) nn ij a i j 为数表A中所有数的和， 11 ( , ) kk ij a i j 为数表A中前k行k列交叉处各数之和. （） 1 A是“4 阶非负数表” ； 2
26、A不是“4阶非负数表” （）由题意知 ( , )1, 1a i j ，1,2,3,4,5i ， 1,2,3,4,5j ，且数表A是“5阶非负 数表” ， 所以 ( )R s（1 2 3 4 5s ，）为奇数，且(1)(2)(3)(4)(5)0RRRRR 不妨设 (1)(2)(3)(4)(5)RRRRR 当 (3)0R 时，因为 (3)R 为奇数，所以 (3)1R . 所以 (1)(2)(3)3 (3)3RRRR 当 (3)0R 时，因为 (3)R 为奇数，所以 (3)1R . 所以 (4)(5)2 (3)2RRR . 所以 (1)(2)(3)(4)(5)2RRRRR 又因为 (1)(2)(3)
27、RRR， 均为奇数， 所以 (1)(2)(3)3RRR （） （1）先证明数表A中存在1n行n列（2nk） ，其所有数的和大于等于0 设 1 ( )() n j R ia ij ， （1 2 in ， ，） ，由题意知 1 ( )0 n i R i 不妨设 (1)(2)( )RRR n 由于 111 1111 ( )(1)( )( )(1) ( ) ( )( )0 nnnn iiii nR inR iR inR nR iR n ， 高三年级（数学） 第 16 页（共 8 页） 所以 1 11 1 ( )( )0 nn ii n R iR i n （2）由（1）及题意不妨设数表A前1n行n列（2
28、nk） ，其所有数的和大于 等于0 下面考虑前21k 行，证明存在21k 行k列，其所有数的和大于等于k 设 21 1 ( )() k i T ja ij ， （ 1 2 2jk ， ， ） ，则 221 11 ( )( )0 kk ji T jR i 不妨设 (1)(2)(2 )TTTk 因为 ( )T j为21k 个奇数的和，所以 ( )T j为奇数（1 2 2jk ， ， ） 当 ( )0T k 时，因为 ( )T k为奇数，所以 ( )1T k . 所以 1 ( )( ) k j T jkT kk 当 ( )0T k 时，因为 ( )T k为奇数，所以 ( )1T k . 所以 2 1
29、 ( )( ) k j k T jkT kk . 所以 2 11 ( )( ) kk jj k T jT jk （3）在（2）所设数表A下，证明前21k 行前k列中存在k行k列，其所有数的和 k设 1 ( )() k j R ia ij ， （1 2 21ik， ，） ，则 21 11 ( )( ) kk ij R iT jk 不妨设 (1)(2)(21)RRRk 当 ( )1R k时， 1 ( )( ) k i R ikR kk ； 当 ( )0R k 时， (21)(22)( )0RkRkR k . 所以 21 11 ( )( ) kk ii k R ikR ik ，所以 111 ()( ) kkk iji a ijR ik ， 综上所述，对于任何“n阶非负数表”A，均存在k行k列，使得这k行k列 交叉处的所有数之和不小于k.
