2021届高三高考数学适应性测试八省联考考后仿真系列卷三（原卷+解析）.zip

2021 年年 1 月普通高等学校招生全国月普通高等学校招生全国统统一考一考试试适适应应性性测试测试（八省（八省联联考）数考）数 学学试题试题考后考后仿真系列仿真系列卷卷三三 注意事项：注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在 本试卷上无效本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1.已知集合，集合，设集合，则下列结论中正确的是（ 1,2A 0,2B ,Cz zxy xA yB ） A B C D ACACCBCBABC 2.某校有 1000 人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分 2 (105,)(0)N 150 分，统计结果显示数学成绩优秀（高于 120 分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在 90 分到 1 5 105 分之间的人数约为（ ） A150B200C300D400 3.给出关于双曲线的三个命题： 双曲线的渐近线方程是； 22 1 94 yx 2 3 yx 若点在焦距为 4 的双曲线上，则此双曲线的离心率； 2,3 22 22 1 xy ab 2e 若点、分别是双曲线的一个焦点和虚轴的一个端点，则线段的中点一定不在此双 FB 22 22 1 xy ab FB 曲线的渐近线上. 其中正确的命题的个数是（ ） A. 0B. 1C. 2D. 3 4.记，则的值为（ ） 77 017 (2)(1)(1)xaaxax 0126 aaaa A. 1B. 2C. 129D. 2188 5.已知平面向量，满足，且，之间的夹角为 60，则（ ） m n | 3m (4, 3)n m n |2 | mn A. B. C. D. 1098979139 6.函数的图象可能是（ ） sin 2 xx yeex A. B. C. D. 7.我国古代数学名著九章算术中有这样一些数学用语， “堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底 面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵， ，若，当阳马体积最大时，则堑堵的外接球体积为 ACBC1 2AAAB 11 BA ACC 111 ABCABC （ ） A. B. C. D. 2 2 8 2 3 14 2 3 4 2 8.已知函数，若存在实数，满足 2 log,02 sin,210 4 xx f x xx 1 x 2 x 3 x 4 x ，其中，则的取值的范围是（ ） 123 f xf xf x 4 f x 1234 xxxx 1234 x x x x A. B. C. D. 40,6440,4820,3220,36 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9.若复数，其中 为虚数单位，则下列结论不正确的是（ ） 2 1 i z i A的虚部为B z i 2z C的共轭复数为D为纯虚数 z1i 2 z 10.对于函数的图象为 C，叙述正确是（ ） 3sin 2 3 f xx A. 图象 C 关于直线对称 11 12 x B. 函数在区间内是增函数 f x 5 , 12 12 C. 由的图象向右平移个单位长度可以得到图象 C 3sin2yx 3 D. 图象 C 关于点对称 ,0 3 11.下列说法正确的是（ ） A. 将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数后，方差也变为原来的倍； aa B. 若四条线段的长度分别是 1，3，5，7，从中任取 3 条，则这 3 条线段能够成三角形的概率为； 1 4 C. 线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱； r D. 设两个独立事件和都不发生的概率为，发生且不发生的概率与发生且不发生的概率相 AB 1 9ABBA 同，则事件发生的概率为. A 2 3 12.已知，若存在唯一零点，下列说法正确的有（ 0a 22 ( ) xx m xee ( )( )sinf xam xx( )f x ） A. 在上递增 B. 图象关于点中心对称 ( )m x R ( )m x 2,0 C. 任取不相等的实数，均有 D. 12 ,x xR 12 12 22 m xm xxx m 2 a 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13.若一个圆锥的轴截面是边长为 2 的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为________ 14.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的 偶数可以表示为两个素数的和” ，如在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等 30723 于 30 的概率是____________ 15.如图，点为锐角的终边与单位圆的交点，逆时针旋转得，逆时针旋转得 0 4 3 , 5 5 P 0 OP 3 1 OP 1 OP 3 ，逆时针旋转得，则______，点的横坐标为______. 2 OP 1n OP 3 n OP cos22020 P 16.若关于的方程有三个不相等的实数解，且，其中 x 0 x xx xe m exe 1 x 2 x 3 x 123 0 xxx ，为自然对数的底数，则的值为________ mR2.718e 312 2 312 111 xxx xxx eee 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.已知数列的前项和满足，且，数列中， n a nn S 1 1 nn Sa 1 1a n b 1 1b 5 9b . 11 2(2) nnn bbbn （1）求数列和的通项公式； n a n b （2）若，求的前项的和. nnn cab n c n n T 18.已知，分别为内角，的对边，若同时满足下列四个条件中的三个： abcABCABCABC ；. 2 63 3() baac cab 2 cos22cos1 2 A A 6a 2 2b （1）满足有解三角形的序号组合有哪些？ （2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应的面积. ABC （若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分） 19.某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会， 通过随机抽样，得到参加问卷调查的人的得分（满分：分）数据，统计结果如下表所示 1000100 组别30,4040,5050,6060,7070,8080,9090,100 频数 25150200250225 100 50 （1）已知此次问卷调查的得分服从正态分布，近似为这人得分的平均值（同一组 Z ,210N 1000 中的数据用该组区间的中点值为代表） ，请利用正态分布的知识求； 3679.5PZ （2）在（1）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案. （）得分不低于的可以获赠次随机话费，得分低于的可以获赠 次随机话费； 2 1 （）每次赠送的随机话费和相应的概率如下表. 赠送的随机话费/元 2040 概率 3 4 1 4 现市民甲要参加此次问卷调查，记为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列及数学期望 XX 附：，若，则， 21014.5 2 ,XN : 0.6827PX ， . 220.9545PX330.9973PX 20.如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，与底面 PABCDPA ABCDABCD1APABPD 所成角的正切值为，是的中点，线段上的动点. ABCD 1 3FPBEBC （1）证明：平面； AF PBC （2）若二面角的余弦值为，求的长. PDEA 3 14 14BE 21.已知椭圆的离心率，其左、右顶点分别为点，且点关于直线 22 22 :1(1) xy Eab ab 2 2 e ,A B A 对称的点在直线上. yx32yx （1）求椭圆的方程； E （2）若点在椭圆上，点在圆上，且都在第一象限，轴，若直线 MEN 222 :O xyb,M NMNy 与轴的交点分别为，判断是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定 MAMB、 y CD、sinCND 值，说明理由. 22. 已知，为常数. 2 ( )21 xx f xaeaex a （1）讨论的单调性； ( )f x （2）若时，恒成立，求实数的取值范围. 0 x ( )31 cosf xax a2021 年年 1 月普通高等学校招生全国月普通高等学校招生全国统统一考一考试试适适应应性性测试测试（八省（八省联联考）数考）数 学学试题试题考后考后仿真系列仿真系列卷卷三三 注意事项：注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在 本试卷上无效本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1.已知集合，集合，设集合，则下列结论中正确的是（ 1,2A 0,2B ,Cz zxy xA yB ） A B C D ACACCBCBABC 【答案】C 【解析】由题设，则，故，故选: 0,2,4C BCBCB C 【点睛】本题考查了集合的运算,属于基础题. 2.某校有 1000 人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分 2 (105,)(0)N 150 分，统计结果显示数学成绩优秀（高于 120 分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在 90 分到 1 5 105 分之间的人数约为（ ） A150B200C300D400 【答案】C 【解析】， 1 90120 5 P XP X 23 901201 55 PX 所以， 3 90105 10 PX 所以此次数学考试成绩在 90 分到 105 分之间的人数约为故选:C 3 1000300 10 【点睛】本题考查了正态分布,属于基础题. 3.给出关于双曲线的三个命题： 双曲线的渐近线方程是； 22 1 94 yx 2 3 yx 若点在焦距为 4 的双曲线上，则此双曲线的离心率； 2,3 22 22 1 xy ab 2e 若点、分别是双曲线的一个焦点和虚轴的一个端点，则线段的中点一定不在此双 FB 22 22 1 xy ab FB 曲线的渐近线上. 其中正确的命题的个数是（ ） A. 0B. 1C. 2D. 3 【答案】C 【解析】对于：双曲线的渐近线方程是，故错误； 22 1 94 yx 3 2 yx 对于：双曲线的焦点为，从 2,0 , 2,0 2222 2223022302,1aa 而离心率，所以正确； 2 c e a 对于：的中点坐标均不满足渐近线方程，所以正确；故选:C. ,0 ,0,FcBbFB , 22 cb 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程、离心率，属于基础题. 4.记，则的值为（ ） 77 017 (2)(1)(1)xaaxax 0126 aaaa A. 1B. 2C. 129D. 2188 【答案】C 【解析】中， 727 017 (2)(1)(1)xaaxax 令，得. 0 x 7 017 2128aaa 展开式中 77 (2)3(1)xx 707 773 ( 1) 1aC ,故选：. 0167 128129aaaa C 【点睛】本题考查了二项式通项与展开式的应用,利用二项展开式的通项求指定项的系数以及采用赋值法 求 项的系数和,属于基础题. 5.已知平面向量，满足，且，之间的夹角为 60，则（ ） m n | 3m (4, 3)n m n |2 | mn A. B. C. D. 1098979139 【答案】C 【解析】依题意， 22 115 | | cos6034( 3) 22 m nmn 则，故选：C. 2215 |2 |449410079 2 mnmm nn 【点睛】本题考查了平面向量的数量积的应用，属于基础题. 6.函数的图象可能是（ ） sin 2 xx yeex A. B. C. D. 【答案】A 【解析】其定义域为 sin 2 xx yf xeex R sin2sin 2 xxxx fxeexeexf x 根据奇函数性质可得，是奇函数 fxf x sin 2 xx yeex 故排除 B，C. 当， 6 x 666666 6 3 sin 2si 326 nfeeeeee 根据指数函数是单调增函数，可得 x ye 66 ee 66 0 6 3 2 fee 当， 2 x 222222 2 sin 2sin00 2 feeeeee 故只有 A 符合题意,故选：A. 【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图象问题，解题关键是掌握函数奇偶性的定义和图象特征， 及其特殊值法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 7.我国古代数学名著九章算术中有这样一些数学用语， “堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底 面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵， ，若，当阳马体积最大时，则堑堵的外接球体积为 ACBC1 2AAAB 11 BA ACC 111 ABCABC （ ） A. B. C. D. 2 2 8 2 3 14 2 3 4 2 【答案】B 【解析】依题意可知平面.设，则. BC11 ACC A,ACa BCb 222 4abAB ，当且仅当 11 1 111 323 B A ACC VACAABCACBC 22 1142 32323 ACBC 时取得最大值.依题意可知是以为斜边的直角三角形，所以堑 2ACBC1111 ,ABCABAABB 1 AB 堵外接球的直径为，故半径.所以外接球的体积 111 ABCABC 1 AB 22 11 11 2 22 OBABAAAB 为. 3 48 2 2 33 特别说明：由于平面，是以为斜边的直角三角形，所以堑堵 BC11 ACC A 1111 ,ABCABAABB 1 AB 外接球的直径为为定值，即无论阳马体积是否取得最大值，堑堵 111 ABCABC 1 AB 11 BA ACC 外接球保持不变，所以可以直接由直径的长，计算出外接球的半径，进而求得外接球 111 ABCABC 1 AB 的体积.故选：B 【点睛】本题考查了几何体外接球的体积的求法，以及四棱锥体积最大值的计算，考查空间想象能力和逻 辑推理能力，考查中国古代数学文化，属于中档题. 8.已知函数，若存在实数，满足 2 log,02 sin,210 4 xx f x xx 1 x 2 x 3 x 4 x ，其中，则的取值的范围是（ ） 123 f xf xf x 4 f x 1234 xxxx 1234 x x x x A. B. C. D. 40,6440,4820,3220,36 【答案】C 【解析】函数的图象如图所示. f x 设，则. 1234 f xf xf xf xt 01t ，. 1 0,1x 2212212 1,2loglog1xxxx x 点，关于直线对称，所以.而，所以 3, x t 4, x t 6x 43 12xx 3 2,4x ， 2 34333 1236620,32x xxxx 故，故选：C. 123434 20,32x x x xx x 【点睛】本题考查了分段函数的图象、对数函数、三角函数的性质的应用以及二次函数的性质，属于中档 题 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9.若复数，其中 为虚数单位，则下列结论不正确的是（ ） 2 1 i z i A的虚部为B z i 2z C的共轭复数为D为纯虚数 z1i 2 z 【答案】ABC 【解析】对于选项 A，复数， 2 12 1 111 i zi iii 可得的虚部为，所以错误； z1A 对于选项 B，由，所以错误； 1 12z B 对于选项 C，由共轭复数的概念，可得，所以错误； 1zi C 对于选项 D，由，可得为纯虚数，所以正确， 2 2 12zii 2 zD 故选：ABC 【点睛】本题考查了复数的基本概念，以及复数的四则运算的应用，考查了推理与计算能力，属于基础题. 10.对于函数的图象为 C，叙述正确是（ ） 3sin 2 3 f xx A. 图象 C 关于直线对称 11 12 x B. 函数在区间内是增函数 f x 5 , 12 12 C. 由的图象向右平移个单位长度可以得到图象 C 3sin2yx 3 D. 图象 C 关于点对称 ,0 3 【答案】AB 【解析】对于选项 A，将代入函数中得，所以 11 12 x 11113 ()3sin(2)3sin3 121232 f 直线 是图像 C 的一条对称轴，故 A 正确； 11 12 x 对于选项 B，由，得，所以函数 2 2 k 2 3 x2 2 k 12 k x 5 12 k ()kZ 在区间内是增函数是,故 B 正确的； f x 5 , 12 12 对于选项 C，由于，所以的图像是由的图像向 3sin 23sin2 36 f xxx f x 3sin2yx 右平移个单位长度可以得到，故 C 错误； 6 对于选项 D，当时，所以图像 C 不关于点 3 x 3 3 3sin 23sin0 33332 f 对称，故 D 错误；故选：AB ,0 3 【点睛】此题考查了正弦函数的图像与性质以及正弦函数的图像平移变换规律，属于基础题. 11.下列说法正确的是（ ） A. 将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数后，方差也变为原来的倍； aa B. 若四条线段的长度分别是 1，3，5，7，从中任取 3 条，则这 3 条线段能够成三角形的概率为； 1 4 C. 线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱； r D. 设两个独立事件和都不发生的概率为，发生且不发生的概率与发生且不发生的概率相 AB 1 9ABBA 同，则事件发生的概率为. A 2 3 【答案】BD 【解析】对于选项 A,设一组数据为,则每个数据都乘以同一个非零常数后,可得， XaYaX 则，所以方差也变为原来的倍，故 A 错误. 2 D YD aXa D X 2 a 对于选项 B,从中任取 3 条有 4 中取法,其中能构成三角形的只有 3,5,7 一种，故这 3 条线段能够成三角形 的概率为，故 B 正确. 1 4 对于选项 C, 由，两个变量的线性相关性越强，两个变量的线性相关性越弱，故 C 错误. 1r 0r 对于选项 D,根据题意可得, 1 9 P AP B P AP BP AP B 设则，得，即 ,P Ax P By 1 11 9 11 xy xyyx 1 1 9 xyxy xy 2 1 21 9 xx 解得或（舍）所以事件发生的概率为，故 D 正确. 故选：BD 2 3 x 4 3A 2 3 【点睛】本题考查了命题的真假判断，涉及知识点较多，综合性较强，难度不大，属于中档题. 12. 已知，若存在唯一零点，下列说法正确的 0a 22 ( ) xx m xee ( )( )sinf xam xx( )f x 有（ ） A. 在上递增 ( )m x R B. 图象关于点中心对称 ( )m x 2,0 C. 任取不相等的实数，均有 12 ,x xR 12 12 22 m xm xxx m D. 2 a 【答案】ABD 【解析】对于选项 A,由知在上递增，故 A 正确； 22 ( )0 xx m xee ( )m x R 对于选项 B,，故图象关于点中心对称，故 B 正 2222 ( )(4)0 xxxx m xmxeeee ( )m x 2,0 确； 对于选项 C,由，当时，递增，图象下凸，此时 22 ( ) xx mxee 2x ( )0mx ( )m x( )m x ，故 C 错误 12 12 22 m xm xxx m 对于选项 D,，注意到，故的图象关于点 22 ( )sin xx fexaex 22fxfx ( )f x 中心对称，而，则在上有唯一零点等价于在无零点， 2,0 20f ( )f x R ( )f x 2, ， 22 co)s( xx faexxe 当时，因为，则， 2 a 22 2 xx ee 2cos2(0)axfxa 于是在递增，于是当时，满足题意 ( )f x 2,2,x ( )20f xf 当时，由连续函数的性质可知，一定存在，使得时 2 a 220fa 0 2x 0 2,xx ，则在单调递减，于是时， ( )0fx ( )f x 0 2,x 0 2,xx ( )20f xf 而时， 2 a 2 a 2 4 a 2ln2 a lnln 2lnsin 2ln aa efae aa sinln a a aa ， 2 110 4 a 由零点存在定理，在区间上一定还存在零点，与已知矛盾. 2,2ln a ( )f x 故.故 B 正确,故选：ABD 2 a 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是判断选项 D 的真假，需要利用导数分析函数的单调性，再结合零点 存在性定理和函数图象的对称性得解. 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13.若一个圆锥的轴截面是边长为 2 的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为________ 【答案】2 【解析】因为圆锥的轴截面是边长为 2 的等边三角形，所以圆锥底面圆的半径，母线长，所以 1r 2l 圆锥的侧面积为。故答案为： 2rl2 【点睛】本题考查了圆锥的轴截面、侧面积，圆锥的轴截面是以圆锥母线为腰、圆锥底面圆直径为底的等 腰三角形.考查空间想象能力与运算能力,属于基础题. 14.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的 偶数可以表示为两个素数的和” ，如在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等 30723 于 30 的概率是____________ 【答案】 1 15 【解析】不超过 30 的素数有 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共 10 个，随机选取两个不同的数， 共有种方法，因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于 30 的有 3 2 10 45C 7+23=11+19=13+17=30 种方法，故概率为，故答案为： 31 = 4515 1 15 【点睛】本题考查了古典概型以及数学文化背景,属于基础题. 15.如图，点为锐角的终边与单位圆的交点，逆时针旋转得，逆时针旋转得 0 4 3 , 5 5 P 0 OP 3 1 OP 1 OP 3 ，逆时针旋转得，则______，点的横坐标为______. 2 OP 1n OP 3 n OP cos22020 P 【答案】 7 25 3 34 10 【解析】根据题意，点为锐角的终边与单位圆的交点，逆时针旋转得，逆时 0 4 3 , 5 5 P 0 OP 3 1 OP 1 OP 针旋转得，逆时针旋转得， 3 2 OP 1n OP 3 n OP 根据三角函数的定义，可得， 43 cos,sin 55 故， 22 47 cos22cos12 ( )1 525 点的横坐标为 2020 P cos(2020)cos(673)cos() 333 41333 34 (coscossinsin)() 33525210 故答案为：， 7 25 3 34 10 【点睛】本题考查了任意角的三角函数的定义，二倍角公式、诱导公式，以及两角和的余弦函数公式的综 合应用，考查了逻辑推理与运算能力，属于中档题. 16.若关于的方程有三个不相等的实数解，且，其中 x 0 x xx xe m exe 1 x 2 x 3 x 123 0 xxx ，为自然对数的底数，则的值为________ mR2.718e 312 2 312 111 xxx xxx eee 【答案】1 【解析】由方程，有 0 x xx xe m exe 1 0 1 x x x m x e e 设即 所以 x x t e 1 0 1 tm t 2 (1)10tmtm 令 ，则,所以在上单调递增，在上单调递减, g( ) x x x e 1 ( ) x x g x e g( )x(,1)(1,) 且，当时，其大致图像如下. g(0)0 1 (1)g e 0 x ( )0g x 要使关于的方程有三个不相等的实数解，且. x 0 x xx xe m exe 1 x 2 x 3 x 123 0 xxx 结合图像可得关于 的方程一定有两个不等的实数根 t 2 (1)10tmtm 12 ,t t 且, 则. 12 0tt 1212 1,1ttm t tm 312 312 12 , xxx xxx tt eee 所以 312 2 22 312 12 111 =11 xxx xxx tt eee 22 121 212 11 +1 ttt ttt 2 1(1)+11mm 【点睛】本题考查了函数与方程思想、数形结合思想，考查转化思想，属于偏难题. 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.已知数列的前项和满足，且，数列中， n a nn S 1 1 nn Sa 1 1a n b 1 1b 5 9b . 11 2(2) nnn bbbn （1）求数列和的通项公式； n a n b （2）若，求的前项的和. nnn cab n c n n T 【答案】 （1）,；（2）. 1 2n n a - =21 n bn2323 n n Tn 【解析】 （1）由得（） 两式相减得，即 1 1 nn Sa 1 1 nn Sa 2n 1nnn aaa （） 又得，所以数列是等比数列，公比为 2，首项为 1，故 1 2 nn aa 2n 12 1Sa 21 22aa n a 由可知是等差数列，公差， 1 2n n a 11 22 nnn bbbn ， n b 51 2 4 bb d 则 21 n bn （2）， 1 21 2n nnn cabn ， 0121 1 23 25 221 2n n Tn 1231 21 23 25 223221 2 nn n Tnn 得 - - 121 22 1222221 21221 23232 1 2 n nnnn n Tnnn 故 2323 n n Tn 【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式的求法以及用错位相减法求数列和的方法,属于基础 题. 18.已知，分别为内角，的对边，若同时满足下列四个条件中的三个： abcABCABCABC ；. 2 63 3() baac cab 2 cos22cos1 2 A A 6a 2 2b （1）满足有解三角形的序号组合有哪些？ （2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应的面积. ABC （若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分） 【答案】 （1），或，；（2）. 3 【解析】 （1）由得， 2 63 3 baac cab 222 32 6acbac 所以， 222 6 cos 23 acb B ac 由得， 2 cos22cos1 2 A A 2 2coscos10AA 解得或（舍） ，所以， 1 cos 2 A cos1A 3 A 因为，且，所以，所以，矛盾. 61 cos 32 B 0,B 2 3 B AB 所以不能同时满足，. ABC 故满足，或，； ABC （2）若满足， ABC 因为，所以，即. 222 2cosbacacB 2 6 8626 3 cc 2 420cc 解得. 62c 所以的面积. ABC 1 sin32 2 SacB 若满足，由正弦定理，即，解得， ABCsinsin ab AB 62 2 sin3 2 B sin1B 所以，所以的面积. 2c ABC 1 sin3 2 SbcA 【点睛】本题考查了三角形能否成立的判断、利用正弦定理和余弦定理解三角形，以及三角形面积的计算， 考查运算求解能力，属于基础题. 19.某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会， 通过随机抽样，得到参加问卷调查的人的得分（满分：分）数据，统计结果如下表所示 1000100 组别30,4040,5050,6060,7070,8080,9090,100 频数 25150200250225 100 50 （1）已知此次问卷调查的得分服从正态分布，近似为这人得分的平均值（同一组 Z ,210N 1000 中的数据用该组区间的中点值为代表） ，请利用正态分布的知识求； 3679.5PZ （2）在（1）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案. （）得分不低于的可以获赠次随机话费，得分低于的可以获赠 次随机话费； 2 1 （）每次赠送的随机话费和相应的概率如下表. 赠送的随机话费/元 2040 概率 3 4 1 4 现市民甲要参加此次问卷调查，记为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列及数学期望 XX 附：，若，则， 21014.5 2 ,XN : 0.6827PX ， . 220.9545PX330.9973PX 【答案】 （1）；（2）答案见解析. 0.8186 【解析】 （1）由题意可得， 35 2545 15055 20065 25075 22585 10095 50 65 1000 易知， 21014.5366529652 14.52 ， 79.565 14.5 3679.522PZPZPZPZ ； 0.95450.6827 0 22 .8186 22 PXPX （2）根据题意，可得出随机变量的可能取值有、元， X20406080 ， 133 20 248 P X 1113313 40 2424432 P X ，. 1133 602 24416 P X 1111 80 24432 P X 所以，随机变量的分布列如下表所示： X X20406080 P 3 8 13 32 3 16 1 32 所以，随机变量的数学期望为. X 3133175 20406080 83216322 EX 【点睛】本题考查了概率的计算，涉及到平均数的求法、正态分布概率的计算以及离散型随机变量分布列 及其数学期望，在解题时要弄清楚随机变量所满足的分布列类型，结合相应公式计算对应事件的概率，考 查计算能力，属于中等题. 20.如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，与底面 PABCDPA ABCDABCD1APABPD 所成角的正切值为，是的中点，线段上的动点. ABCD 1 3FPBEBC （1）证明：平面； AF PBC （2）若二面角的余弦值为，求的长. PDEA 3 14 14BE 【答案】 （1）证明见解析；（2）. 1BE 【解析】 （1）证明：平面平面， PA ABCDBC ，ABCD . BCPA 又，平面， BCABABAPAIABAP PAB 平面， BCPBC 又平面，. AF PABAFBC 又，是的中点， 1PAABFPBAFPB 又，平面， PBBCB PBBC PBC 平面. AF PBC （2）以，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示. ADABAPx y z 与底面所成角的正切值为， PDABCD 1 31AP 3AD 则，. 0,0,1P 0,1,0B3,0,0D 设，则， (03)BExx,1,0E x 设平面的法向量为，由，得：， PDE 000 ,mxyz 0 0 m PD m PE (1,3,3)mx u r 而平面的一个法向量为，依题意得：， ADE 0,0,1AP |3 14 14 | | m AP mAP u r uu u r u ruu u r 即，得或(舍). 2 33 14 14 10(3)x 1x 5x 故. 1BE 【点睛】本题考查了线面位置关系以及用空间向量的方法通过二面角大小求解,解答时设， (03)BExx 可采用，先利用空间向量求解已知面的法向量，使法向量满足条件，然后求解出的值,属于中档题. x 21.已知椭圆的离心率，其左、右顶点分别为点，且点关于直线 22 22 :1(1) xy Eab ab 2 2 e ,A B A 对称的点在直线上. yx32yx （1）求椭圆的方程； E （2）若点在椭圆上，点在圆上，且都在第一象限，轴，若直线 MEN 222 :O xyb,M NMNy 与轴的交点分别为，判断是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定 MAMB、 y CD、sinCND 值，说明理由. 【答案】 （1）；（2）1. 22 1 42 xy 【解析】 （1）点关于直线对称的点在直线上， ,0Aa yx 0, a 32yx ，解得. 02a 2a 又，解得. 222 2 , 2 c abc a 22 2bc 椭圆 E 的方程为：. 22 1 42 xy （2）设，令，解得，. 00 ,M xy:20AMyk xk 0 x 2yk 0,2Ck 联立，化简得：. 22 2 24 yk x xy 2222 2188400kxk xkk ，解得.，即. 2 0 2 84 2 21 k x k 2 0 2 24 21 k x k 0 2 4 21 k y k 2 22 244 , 21 21 kk M kk 直线的斜率=. BM 2 2 2 4 1 21 242 2 21 k k kk k 的方程：，令，解得，. BM 1 2 2 yx k 0 x 1 y k 1 0,D k 设，则，. 0 , N N xy 0 ,2 N NCxky 0 1 , N NDxy k . 2 22 00 21 2 N k NC NDxyy k ，即. 22 00 2 4 2, 21 N k xyy k 0NC ND NCND90CND 为定值. sin1CND 【点睛】本题考查了椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系以及椭圆中的定值问题，需注意解析几何中的夹 角类问题可尝试用平面向量解决，属于中档题. 22. 已知，为常数. 2 ( )21 xx f xaeaex a （1）讨论的单调性； ( )f x （2）若时，恒成立，求实数的取值范围. 0 x ( )31 cosf xax a 【答案】 （1）答案见解析；（2）. 1 2 a 【解析】 （1）， ( )211 xx fxaee 当时，在上单调递减； 0