1、二轮大题专练二轮大题专练 15立体几何（线线角、线面角）立体几何（线线角、线面角） 1 已知四棱锥SABCD中， 四边形ABCD是菱形， 且120ABC，SBC为等边三角形， 平面SBC 平面ABCD （）求证：BCSD； （）若点E是线段SA上靠近S的三等分点，求直线DE与平面SAB所成角的正弦值 证明： （）取BC的中点F，连接BD、DF和SF， 因为SBC为等边三角形，所以SFBC； 又四边形ABCD是菱形，且120ABC， 所以BCD为等边三角形，所以DFBC； 又SFDFF，SF 平面SDF，DF 平面SDF， 所以BC 平面SDF，又SD 平面SDF， 所以BCSD； （）解：因为
2、平面SBC 平面ABCD，平面SBC平面ABCDBC， SFBC，SF 平面SBC，所以SF 平面ABCD； 又DFBC，所以SF、BC、DF两两垂直； 以点F为坐标原点，FC、FD、FS所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Fxyz， 如图所示； 不妨设2AB ，则( 2A ，3，0)，( 1B ，0，0)，(0S，0，3)； 所以(1AB ，3，0)，(2AS ，3，3)； 设平面SAB的一个法向量为(mx，y，) z， 由 0 0 m AB m AS ，得 30 2330 xy xyz ， 令1y ，得( 3m ，1，1)， 又 12 ( 33 SESA ， 3 3 ， 3) 3
3、，所以 2 ( 3 E ， 3 3 ， 2 3) 3 ， 又(0D，3，0)，所以 2 ( 3 DE ， 2 3 3 ， 2 3) 3 ， 设直线DE与平面SAB所成的角为， 则 2 32 32 3 | |3 105 333 sin 35|41212 3 1 1 999 DE m DEm 2如图，在矩形ABCD中，3AB ，6AD ，点E，F分别在AD，BC上，且1AE ， 4BF ，沿EF将四边形AEFB折成四边形A EFB，使点B在平面CDEF上的射影H在直 线DE上 （1）求证：平面B CD平面B HD； （2）求证：/ /A D平面B FC； （3）求直线HC与平面AED所成角的正弦值
4、 解： （1）证明：矩形ABCD中，CDDE，点B在平面CDEF上的射影为H， 则B H平面CDEF，且CD 平面CDEF，B HCD ， 又B HBEH，CD平面B HD， 又CD 平面B CD，平面B CD平面B HD； （2）证明：/ /A EB F，AE平面B FC，B F平面B FC / /A E 平面B FC， 由/ /DEFC，同理可得/ /DE平面B FC， 又A EDEE平面/ /A ED平面B FC，/ /A D 平面B FC； （3）如图所示， 过E作/ /ERDC，过E作ES 平面EFCD， 分别以ER，ED，ES为x，y，z轴建立空间直角坐标系 B在平面CDEF上的射
5、影H在直线DE上， 设(0B，y，)(z y，)zR； (3F，3，0)，且10B E，4B F； 22 22 10 9(3)16 yz yz ，解得 2 6 y z ；(0B ，2，6)；( 3FB ，1，6)， 13 ( 44 EAFB ， 1 4 ， 6 ) 4 ；且(0ED ，5，0)， 设平面ADE的法向量为(na，b，)c， 0 0 n EA n ED ， 360 50 abc b 解得0b ，令1a ，得 6 2 c ， 得到平面ADE的法向量为(1n ，0， 6 ) 2 ； 又(3C，5，0)，(0H，2，0)， ( 3CH ，3，0)， 直线HC与平面AED所成角的正弦值为
6、sin|cosCH， 3005 | | | 5|6 10990 4 CH n n CHn 3如图，直三棱柱 111 ABCABC中，2ABBCCA， 1 2AA ，若N为AB的中点 （1）求证： 1/ / AC平面 1 NBC； （2）求 11 BC与平面 1 NBC所成角的正弦值 解： （1）证明：连接 1 BC，交 1 B C于点O，连接ON， 直三棱柱 111 ABCABC中， 11 BBC C是矩形，O是 1 BC的中点， N为AB的中点， 1 / /ONAC， 1 AC 平面 1 NBC，ON 平面 1 NBC， 1/ / AC平面 1 NBC （2）三棱柱 111 ABCABC中，
7、2ABBCCA， 1 2AA ，N为AB的中点， 以A为原点，AB为x轴， 1 AA为y轴，过A作平面 11 ABB A的垂线为z轴，建立空间直角 坐标系， 则 1(2 B，2，0)， 1(1 C，2，3)，(1N，0，0)，(1C，0，3)， 11 ( 1BC ，0，3)， 1 (1NB ，2，0)，(0NC ，0，3)， 设平面 1 NBC的法向量(nx，y，) z， 则 1 20 30 n NBxy n NCz ，取2x ，得( 2n ，1，0)， 设 11 BC与平面 1 NBC所成角为， 则 11 BC与平面 1 NBC所成角的正弦值为： 11 11 |26 sin 6| |2 3
8、BCn BCn 4如图，三棱柱 111 ABCABC的底面是边长为 2 的正三角形，侧面 11 ACC A 底面ABC， 且侧面 11 ACC A为菱形， 1 60A AC，E是 1 BB的中点，F是 1 AC与 1 AC的交点 （1）求证：/ /EF底面ABC； （2）求BC与平面 1 A AB所成角的正弦值 解： （1）证法一：取 1 CC的中点M，连接EM，FM， F是 1 AC与 1 AC的交点，且侧面 11 ACC A是菱形， F是 1 AC的中点，/ /FMAC， FM 底面ABC，AC 底面ABC，/ /FM底面ABC， 11 / /BBCC， 11 BBCC，E为 1 BB中点
9、，/ /BECM，BECM， 四边形BCME为平行四边形，/ /EMBC， EM 底面ABC，BC 底面ABC， / /EM底面ABC， EMFMM，EM 平面EFM，FM 平面EFM， 平面/ /EFM底面ABC， EF 平面EFM，/ /EF底面ABC 证法二：取AC中点O，连接OB，OF， F是 1 AC与 1 AC的交点，且侧面 11 ACC A为菱形，F是 1 AC的中点， 1 / /OFAA， 1 1 2 OFAA， E是 1 BB的中点， 11 / /AABB， 11 AABB， E是 1 BB的中点， 11 / /AABB， 11 AABB， / /OFBE，OFBE， 四边形
10、OBEF是平行四边形，/ /EFOB， 又EF 底面ABC，OB 底面ABC， / /EF底面ABC （2）连接 1 OA，侧面 11 ACC A为菱形， 1 60A AC， 1 A AC是正三角形， 1 AOAC， 侧面 11 ACC A 底面ABC，侧面 11 ACC A底面ABCAC， 1 AO 侧面 11 ACC A， 1 AO底面ABC， 底面ABC为正三角形，O为AC的中点，BOAC， 以O为坐标原点，分别以OB，OC，OA所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 底面ABC是边长为 2 的正三角形， (0A，1，0)，( 3B，0，0)，(0C，1，0)， 1(0 A，0，3
11、)， ( 3AB ，1，0)， 1 (0AA ，1，3)，(3BC ，1，0)， 设平面 1 A AB的一个法向量为(nx，y，) z， 由 1 30 30 n ABxy n AAyz ，取1x ，得(1n ，3，1)， BC与平面 1 A AB所成角的正弦值为： |33|15 sin|cos,| 5| |25 BC n BC n BCn 5如图，四棱锥PABCD，M、N分别是AB、PC的中点，底面ABCD为平行四边形 （1）求证：/ /MN平面PAD； （2）若4MNBC，4 3PA ，求异面直线PA与MN所成的角的大小 （1）证明：取PD的中点H，连接AH，NH， N是PC的中点，/ /N
12、HCD， 1 2 NHCD， M是AB的中点，/ /AMCD， 11 22 AMABCD， / /NHAM，NHAM，四边形AMNH是平行四边形，/ /MNAH， MN 平面PAD，AH 平面PAD，/ /MN平面PAD （2）解：由（1）知，/ /MNAH， PAH即为直线PA与MN所成的角， 平行四边形AMNH， 4AHMN， 设2PDx，则PHDHx， coscos0PHAAHD， 由余弦定理知， 222222 22 PHAHPADHAHAD PH AHDH AH ， 即 22 16481616 0 2424 xx xx ，解得4x ， 在PAH中， 222 48 16 163 cos
13、2224 34 PAAHPH PAH PA AH ， 30PAH， 故异面直线PA与MN所成的角的大小为30 6如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，2AB ， 60ABC，E，F分别是BC，PC的中点 （1）证明：AEPD； （2）设H为线段PD上的动点，若线段EH长的最小值为5，求直线AF与直线PB所成 的角余弦值 解： （）证明：底面ABCD为菱形，60ABC，ABC为正三角形， E是BC的中点，AEBC，又/ /ADBC，AEAD， 又PA平面ABCD，PAAE， 而PAADA，AE平面PAD， PD平面PAD，AEPD （）过A作AHPD于H，连HE， 由
14、（）得AE 平面PAD，EHPD， 线段EH长的最小值为5，5EH， 413AE ， 22 2AHEHAE， PA ADPD AH， 2 242PAPA， 解得2PA 11 442 22 EFPB， 11 442 22 AFPC， E，F分别是BC，PC的中点，/ /EFPB， 异面直线AF与PB所成的角即为AF与EF所成的角AFE 222 2231 cos 24222 AFEFAE AFE AFEF 直线AF与直线PB所成的角余弦值为 1 4 故答案为： 1 4 7 如图， 三棱锥 SABC 的底面 ABC 和侧面 SBC 都是等边三角形， 且平面 SBC平面 ABC （）若 P 点是线段
15、SA 的中点，求证：SA平面 PBC； （）点 Q 在线段出上且满足 AQ，求 BQ 与平面 SAC 所成角的正弦值 解： （1）证明：ABC 和SBC 都是等边三角形，且有公共边 BC， ABSBACSC， P 是 SA 的中点，SABP，SACP， BPCPP，SA平面 PBC （2）取 BC 的中点 O，连结 OA，OS，由条件得 OA，BC，OS 两两垂直， 以 O 为坐标原点，OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，OS 为 z 轴，建立空间直角坐标系，如图， 设 AB2，则 AOOS， 则 A（，0，0） ，B（0，1，0） ，C（0，1，0） ，S（0，0，） ，Q（，0，） ， （
16、，1，0） ，（） ，（，1，） ， 设平面 SAC 的一个法向量为 （x，y，z） ， 则，令 x1，得 （1，1） ， 设 BQ 与平面 SAC 所成角为 ， 则 BQ 与平面 SAC 所成角的正弦值为： sin 8 已知棱台 ABCA1B1C1， 平面 AA1C1C平面 A1B1C1， B1A1C160， A1B1C190， AA1ACCC1，D，E 分别是 BC 和 A1C1的中点 （）证明：DEB1C1； （）求 DE 与平面 BCC1B1所成角的余弦值 解： （）证明：过点 A 作 AO平面 A1B1C1，交 A1C1于 O，连结 B1O， 设 AA1ACCC11， 则 A1O1，A1B12，B1OA1C1，B1O， 以 O 为原点，OB1，OC1，OA 分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， 则 B（，） ，C（0，1，） ，D（，） ，E（0，0） ， B1（） ，C1（0，3，0） ， （，） ，（，3，0） ， 0，DEB1C1 （）解：（） ，（0，2，） ， 设平面 BCC1B1的法向量 （x，y，z） ， 则，取 y，得 （3，2） ， （，） ， 设 DE 与平面 BCC1B1所成角为 ， 则 sin cos DE 与平面 BCC1B1所成角的余弦值为
