1、二轮大题专练二轮大题专练 14立体几何（计算面积、体积、距离）立体几何（计算面积、体积、距离） 1从2,BGGCG是PB的中点，G是PBC的内心三个条件中任选一个条件，补充 在下面问题中， 并完成解答， 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD是矩形，PD 底面ABCD， 且1PD ，3AB ，2AD ，E，F分别为PC，BD的中点 （1）判断EF与平面PAD的位置关系，并证明你的结论； （2）若G是侧面PBC上的一点，且_，求三棱锥GDCE的体积 1.解： （1）EF与平面PAD平行 证明如下： 连接AC，则AC与BD交于F点， 在PAC中，E，F均为中点，/ /EFPA， EF 平面PAD，P
2、A平面PAD， / /EF平面PAD （2）选择条件： PD 平面ABCD，BC 平面ABCD，PDBC， 又底面ABCD是矩形，CDBC， PDCDD，BC平面PDC， 2BGGC，G是BC的三等分点，且 1 3 GCBC， 2BCAD，三棱锥GDCE的高为 2 3 GC ， PD 底面ABCD，DC 底面ABCD，PDDC， 在PDA中，E为BD中点， 113 224 CDE SPDDC ， 三棱锥GDCE的体积为： 11323 334318 G DCEDCE VSGC ， 选择条件： PD 平面ABCD，BC 平面ABCD，PDBC， 底面ABCD是矩形，CDBC， PDCDD，BC平面
3、PDC， G是PB中点，E是PC中点，在PBC中， 1 / / 2 GEBC ， 三棱锥GDCE的高为1GE ， PD 底面ABCD，DC 底面ABCD，PDDC， 在PDC中，E为PC中点， 113 224 CDE SPDDC ， 三棱锥GDCE的体积为： 1133 1 33412 G DCEDCE VSGE 选择条件： PD 平面ABCD，BC 平面ABCD，PDBC， 底面ABCD是矩形，CDBC， PDCDD，BC平面PDC， 设PBC的内切圆与PC边相切于点H，则GHPC， BC 平面PCD，PC 平面PCD，BCPC，/ /GHBC， 三棱锥GDCE的高为GH， 在Rt PDC中，
4、 22 2PGPDDC，2BC ， 22 2 2PBPCBC， 1 22 2 22 1 (222 2) 2 GH ， PD 底面ABCD，DC 底面ABCD，PDDC， 在PDC中，E为PC中点， 1113 2224 CDEPDC SSPDDC ， 三棱锥GDCE的体积为： 1132 36 (22) 33412 G DCEDCE VSGH 2如图 1，在Rt ABC中，90C，4BCAC，D，E分别是AC，AB边上的中点， 将ADE沿DE折起到 1 ADE的位置，使 11 ACAD，如图 2 （）求证： 1 DEAC； （）求点C到平面 1 A BE的距离 2.（）证明：在图1 ABC中，D，
5、E为AC，AB边中点 所以/ /DEBC 又ACBC，所以DEAC 在图 2 中 1 DEAD，DEDC，且 1 ADDCD，则DE 平面 1 ACD 又因为 1 AC 平面 1 ACD，所以 1 DEAC （）解：由（）知DE 平面 1 ACD，且DE 平面BCDE， 所以平面 1 ACD 平面BCDE， 且平面 1 ACD平面BCDEDC， 在正 1 ACD中，过 1 A作 1 AOCD，垂足为O， 所以 1 AO 平面BCDE 1 AO即为三棱锥 1 ABCE底面上的高， 在 1 ACD中， 1 3AO 在 1 A BE中， 1 2 2AEBE， 1 2 5AB ，所以 1 15 A B
6、E S 在梯形BCDE中， 1 4 2 BCEBCD SSBC CD 设点C到平面 1 A BE的距离为h， 因为 11 C A BEABCE VV 三棱锥三棱锥 ， 所以 1 1 11 33 A BEBCE ShSAO ，解得 4 5 5 h 即点C到平面 1 A BE的距离为 4 5 5 3如图，平行四边形ABCD中，45DAB，PD 平面ABCD，PABD，BDPD， 4AB （1）求证：平面PBC 平面PBD； （2）若点M，N分别是PA，PC的中点，求三棱锥PMBN的体积 3.解： （1）证明：因为PD 平面ABCD，BD平面ABCD，所以PDBD 又PABD，PAPDP，平面PD平
7、面PAD，PA平面PAD， 所以BD 平面PAD， 而AD 平面PAD，所以BDAD 在平行四边形ABCD中，/ /ADBC，所以BDBC 由PD 平面ABCD，BC 平面ABCD，所以PDBC， 而BDPDD，PD平面PBD，BD平面PBD， 所以BC 平面PBD 又BC 平面PBC，所以平面PBC 平面PBD （2）由（1）可知，BDAD，而45DAB， 则ADB为等腰直角三角形， 又4AB ，所以2 2PDBDAD， 连接AC，由点M，N分别是PA，PC的中点， 所以PMNPAC，且 1 2 MNAC， 所以 1 4 PMNPAC SS ，则 11 44 P MBNB PMNB PACP
8、 ABC VVVV ， 在平行四边形ABCD中， 1 2 22 24 2 ABCABD SS ， PD为三棱锥PABC的高， 所以 118 2 42 2 333 P ABCABC VSPD ， 所以三棱锥PMBN的体积为 12 2 43 P MBNP ABC VV 4如图，三棱柱 111 ABCA B C中，侧面 11 BBC C为菱形， 1 B C的中点为O，且AO 平面 11 BBC C （1）求证： 1 BCAB； （2）若 1 ACAB， 1 60CB B，2BC ，求三棱柱 111 ABCABC的高 4.解： （1）证明：连结 1 BC，则O为 1 BC与 1 B C的交点， 因为侧
9、面 11 BBC C为菱形， 所以 11 BCBC， 又AO 平面 11 BBC C， 1 BCAO， 又 1 BCAOO， 1 BC 平面ABO，AO 平面ABO， 1 BC平面ABO， 由于AB平面ABO， 故 1 BCAB （2）作ODBC，垂足为D，连结AD，作OHAD，垂足为H， 由于BCAO，BCOD，AOODD， 故BC 平面AOD，所以OHBC 又OHAD，BCADD，BC 平面ABC，AD 平面ABC， 所以OH 平面ABC 因为 1 60CBB， 1 BBBC， 所以 1 CBB为等边三角形， 又2BC ，可得 3 2 OD ， 由于 1 ACAB，所以 1 1 1 2 O
10、ABC， 由OH ADOD OA，且 22 7 2 ADODOA，得 21 7 OH ， 又O为 1 B C的中点，所以点 1 B到平面ABC的距离为 2 21 7 ， 故三棱柱 111 ABCABC的高为 2 21 7 5如图，四棱锥PABCD中，/ /ADBC，平面PAD平面PBC （）若 2 PBC ，证明： 2 APB ； （）若22ADCDBC， 3 BCD ，且PAPC，求|PA的取值范围 5.（）证明：设平面PAD平面PBCl， / /ADBC，AD 平面PAD，BC 平面PAD， / /BC平面PAD，又BC 平面PBC，平面PAD平面PBCl， / /BCl， 2 PBC ，
11、PBBC，PBl， PB平面PAD， PA平面PAD，PBPA，即： 2 APB （）解：连接BD，在BCD中，由余弦定理得3BD ， 则 222 BDBCDC，故BDBC， 以点D为坐标原点，以DA，DB的方向为x轴，y轴正方向建立空间直角坐标系，如图所 示： 则(0D，0，0)，(2A，0，0，)，(0B，3，0)，( 1C ，3，0)， 设(P x，y，) z，则 222 |(2)PAxyz， 当0 x 时， 平面PAD平面PBD， 又平面PAD平面PBC， 平面PBC平面PBDPB， PB平面PAD，PDPB，即0PD PB， 22 30yyz，即 22 33 () 24 yz， 由
12、333 222 y，得03y， 又PAPC，0PA CP，即 222 230 xxyyz， 2 20 xx，解得2x 或1x ， 当2x 时， 22 |3(0, 3)PAyzy； 当1x 时， 22 |993(3PAyzy，2 3) PA的长的取值范围为(0，3)(3，2 3) 6如图，在四棱锥EABCD中，平面ADE 平面ABCD，O，M分别为线段AD，DE 的中点四边形BCDO是边长为 1 的正方形，AEDE，AEDE （1）求证：/ /CM平面ABE； （2）求直线CM与BD所成角的余弦值； （3）点N在直线AD上，若平面BMN 平面ABE，求线段AN的长 6.解： （1）证明：取线段A
13、E中点P，连结BP、MP， 点M为DE中点，/ /MPAD， 1 2 MPAD， 四边形BCDO是正方形，/ /BCAD，BCAD， / /BCMP，BCMP， 四边形BCMP是平行四边形，/ /CMBP， CM 平面ABE，BP 平面ABE， / /CM平面ABE （2）解：连结EO，AEDE，O为AD中点，EOAD， EO 平面ADE，平面ADE 平面ABCD，平面ADE平面ABCDAD， EOOB，EOOD， 正方形BCDO，OBOD， 以O为原点，OB为x轴，OD为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系， (1C，1，0)， 1 1 (0, ) 2 2 M，(1B，0，0)，(0D，1，
14、0)， 1 1 ( 1, ) 2 2 CM ，( 1BD ，1，0)， 设直线CM与BD所成角为， 则 1 |3 2 cos 6| |3 2 2 CM BD CMBD 直线CM与BD所成角的余弦值为 3 6 （3）解：设ONOD，(0N，0)， (1NB ，0)， 11 (1,) 22 MB ，(1AB ，1，0)，(0AE ，1，1)， 设平面BMN的法向量(nx，y，) z， 则 0 11 0 22 n NBxy n MBxyz ，取1y ，得(n，1，21)， 设平面ABE的法向量(ma，b，)c， 则 0 0 m ABab m AEbc ，取1a ，得(1m ，1，1)， 平面BMN
15、平面ABE， 1210m n ，解得 2 3 ， 5 3 AN 7如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是长方形，侧棱PD 底面ABCD，2PDDC， E是PC的中点 （1）证明：/ /PA平面BDE； （2） 若点F在线段PB（不包含端点） 上， 二面角APDB为45， 且直线PB 平面DEF， 求线段DF的长 7.解： （1）证明：连结AC，交BD于O，连结OE， 底面ABCD为长方形，O为对角线AC，BD的中点， 又E是PC的中点，/ /OEPA， OE 平面BDE，PA平面BDE， / /PA平面BDE （2）由PD 底面ABCD，知PDAD，PBD， 二面角APDB为45，二面角的平面
16、角45ADB， 90BAD，2ADABAC，底面ABCD是正方形，ADDC， 以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 由2PDDC，得(2A，0，0)，(0P，0，2)，(0E，1，1)，(2B，2，0)， 假设PB上存在点F，使得PB 平面DEF， 设PFPB，(01)，(F x，y，) z， 则(x，y，2)(2z，2，2)，(2F，2，22 )， (2DF，2，22 )，(2PB ，2，2)， 直线PB 平面DEF，PBDF， 442(22 )0PB DF，解得 1 3 ， 2 2 4 ( , ) 3 3 3 F， 222 2242 6 |( )( )(
17、 ) 3333 DF 8如图所示，在三棱锥ABCD中，2ABBCBD，2 3AD ， 2 CBACBD ， 点E，F分别为AD，BD的中点 （）求证：平面ACD 平面BCE； （）求四面体CDEF的体积 8.（）证明：因为 2 CBACBD ，所以BCAB，BCBD， 又ABBDB，AB，BD平面ABD，所以BC 平面ABD，又AD 平面ABD， 所以BCAD，因为ABAD，E为AD的中点， 所以BEAD， 又BCBEB，BC 平面BCE，BE 平面BCE， 所以AD 平面BCE， 又AD 平面ACD，所以平面ACD 平面BCE； （）解：由（）可得BC为三棱锥CDEF的高，又点E，F分别为AD，BD的中点， 所以 1 1 2 EFAB， 1 1 2 FDBD， 由余弦定理可得 222 44 121 cos 22 2 22 ABBDAD ABD AB AD ， 又0ABD ，0EFD ， 所以 2 3 EFDABD ， 所以 1112 (sin) 3323 C DEFDEF VSBCEF FDBC 1133 (1 1)2 3226 ， 所以四面体CDEF的体积为 3 6
