1、二轮大题专练二轮大题专练 18立体几何（折叠问题）立体几何（折叠问题） 1如图，在长方形中，2AB ，1BC ，E为DC的中点，F为线段EC（端点 除 外 ） 上 一 动 点 现 将AFD沿AF折 起 （ 如 图 )， 使 得 平 面ABD 平 面 A B C F （1）判断AD是否与BD垂直，并说明理由 （2）图中，在平面ABD内过点D作DKAB，K为垂足，求AK的取值范围 解： （1）AD与BD不垂直证明过程如下： 若ADBD， ADDF，BDDFD，BD、DF 平面BDF，AD平面BDF，ADBF， BCAB，平面ABD 平面ABCF，平面ABD平面ABCFAB，BC 平面ABCF， B
2、C平面ABD，BCAD， 又BFBCB，BF、BC 平面ABCF，AD平面ABCF，ADAB， 在翻折后的ABD中，这是不可能的， 故AD与BD不垂直 （2）设AKt，(01)CFxx，则2DFx， DKAB，平面ABD 平面ABCF，平面ABD平面ABCFAB，DK 平面ABD， DK平面ABCF，DKKF， 由勾股定理知， 22 1DKt ， 22 1 (2)KFtx ， 222 DFDKKF， 222 (2)11 (2)xttx ， 化简整理得， 1 2 t x ，在(0,1)x上单调递增， 1 1 2 t ， 故AK的取值范围为 1 ( 2 ，1) 2 如图 1， 已知菱形AECD的对
3、角线AC，DE交于点F， 点E为AB的中点 将三角形ADE 沿线段DE折起到PDE的位置，如图 2 所示 （）求证：DEPC； （）试问平面PFC与平面PBC所成的二面角是否为90，如果是，请证明；如果不是， 请说明理由； （）在线段PD，BC上是否分别存在点M，N，使得平面/ /CFM平面PEN？若存在， 请指出点M，N的位置，并证明；若不存在，请说明理由 解： （）证明：折叠前，四边形AECD是菱形，ACDE， 折叠后，DEPF，DECF， PFCFF，DE平面PCF， PC 平面PCF，DEPC （）解：平面PFC与平面PBC所成的二面角为90 证明如下： 四边形AECD是菱形，/ /D
4、CAE，DCAE， 又点E为AB的中点，/ /DCEB，DCEB， 四边形DEBC是平行四边形，/ /CBDE， 由（）得，DE 平面PCF，CB平面PCF， CB 平面PBC，平面PBC 平面PCF， 平面PFC与平面PBC所成的二面角为90 （）解：在线段PD，BC上是分别存在点M，N， 且M，N分别是PD，BC的中点，使得平面/ /CFM平面PEN 证明如下： 如图，分别取PD，BC的中点M，N，连结EN，PN，MF，CM， 四边形DEBC是平行四边形，/ /EFCN， 1 2 EFBCCN， 在PDE中，M，F分别是PD，DE的中点，/ /MFPE， F、N分别是DE、BC的中点，四边
5、形DEBC是平行四边形， / /EFCN ，四边形EFCN是平行四边形，/ /CFEN， 又EN，PE 平面PEN，PEENE，MF，CF 平面CFM， 平面/ /CFM平面PEN 3如图 1，在直角梯形ABCD中，/ /ABDC，90BAD，8AB ，4AD ，6DC ， 点E在CD上，且4DE ，将三角形ADE沿线段AE折起到PAE的位置，4 3PB （如图 2) （）求证：平面PAE 平面ABCE； （）在线段PB上是否存在点M，使/ /CM平面PAE？若存在，求出 PM MB 的值；若不存 在，说明理由 解： （）证明：取AE的中点G，连接PG，GB， 在AGB中，由余弦定理可得 22
6、2 (2 2)82 2 2 8 cos40 4 BG ， 222 48PBBGPG，所以PGGB， 因为PAPE，AGGE，所以PGAE， 又AEGBG，AE 面ABCE，GB 面ABCE， 所以PG 面PAE， 又PG 面PAE，所以面PAE 面ABCE； （）存在M，满足 1 3 PM MB ，使得/ /CM平面PAE 证明：取AB的三等分点N，且2AN ，连接CN，则/ /ECAN，且2ECAN， 所以四边形EANC为平行四边形，可得/ /CNEA，又3 BNBM NAMP ，所以/ /MNAP， 又/ /CNEA，CN 面PAE，AE 面PAE，所以/ /CN面PAE， 同理可得/ /
7、MN面PAE，又MNNCN， 所以面/ /CMN面PAE，CM 面CMN， 可得/ /CM面PAE 4如图，在等腰梯形ABCD中，/ /ADBC，2ADABCD，4BC ，M，N，Q分 别为BC，CD，AC的中点，以AC为折痕将ACD折起，使点D到达点P位置(P平面 )ABC （1）若H为直线QN上任意一点，证明：/ /MH平面ABP； （2）若直线AB与MN所成角为 4 ，求三棱锥PABC的表面积 解： （1）证明：连接QM m，N，Q分别是BC，CD，AC的中点，/ /QMAB， QM 平面PAB，AB平面PAB， / /QM平面PAB， 同理/ /QN平面PAB， QM 平面MNQ，QN
8、 平面MNQ，QMQNQ， 平面/ /MNQ平面PAB， MH 平面MNQ，/ /MH平面PAB （2）解：在等腰梯形ABCD中，作AEBC于E，DFBC于F， 由题意得2EFAD，4BC ， 1 cos 2 BE ABE AB ， 3 ABE ， ABE与ADC互补， 2 3 ADC ， 在ADC中， 22 2cos2 3ACADDCAD DCADC， 222 BCABAC，ABAC， / /BPMN，ABP为锐角， 4 ABP 为直线AB与MN所成角， 2ABAP，ABP为等腰直角三角形，2 2.BP 三棱锥PABC的表面积为： PABPBCPACABC SSSSS 222 118 164
9、11 2 22 241 ()2 32( 3)2 2 3 22222 2 24 273 3 5如图，已知图 1 中ABC是等腰三角形，ACBC，D，E分别是AC，BC的中点， 沿着DE把CDE折起到C DE， 使得平面C DE平面BADE， 图 2 中2AD ，4AB ， F为BC的中点，连接EF （）求证：/ /EF平面AC D； （）求四棱锥CABED的侧面积 （）证明：取AC中点G，连接DG，FG， 由点F、G分别是BC，AC的中点， 得/ /GFAB， 1 2 GFAB， 又/ /DEAB， 1 2 DEAB 所以四边形DEFG是平行四边形， 所以/ /DGEF，且EF 平面AC D，
10、DG 平面AC D， 所以/ /EF平面AC D； （）因为ABC是等腰三角形，ACBC，2AD ，4AB ， 所以90ACB， 所以ABC是等腰直角三角形，且2 2ACBC 分别取DE、AB的中点H、I， 连接C H，HI，C I ，从而有C HDE 又因为平面C DE平面BADE，平面C DE平面BADEDE， 所以C H平面BADE， 又HI 平面BADE，所以C HHI， 在C HI中，1C HHI，2C I ， 又翻折后，C AC B，在C IA中，6C A， 四棱锥CABED的侧面积为： 22 1161 2 12( 2)()642132 2 2222 S 6如图，平行四边形ABCD
11、中，26ADAB，E，F分别为AD，BC的中点以EF为 折痕把四边形EFCD折起，使点C到达点M的位置，点D到达点N的位置，且NFNA （1）求证：平面AFN 平面NEB； （2）若2 3BE ，求点F到平面BEM的距离 解： （1）证明：记AFBEO，连结NO， 由题意知四边形ABFE是菱形，AFBE，且O是AF、BE的中点， NFNA，AFNO， NOBEO，NO 平面NEB，BE 平面NEB， AF平面NEB， AF 平面AFN，平面AFN 平面NEB （2）解：由（1）知NOAF，且AFBEO，AF 平面ABFE，BE 平面ABFE， NO平面ABFE， 以O为原点，OE为x轴，OA为
12、y轴，ON为z轴，建立空间直角坐标系， (0A，6，0)，(3B ，0，0)，( 3E，0，0)，(0F，6，0)，(0N，0，6)， (0OMONNMONAB，0，6)(3,6 ，0)(3 ，6，6)， (3M，6，6)， ( 3, 6MN ，0)，(2 3BE ，0，0)，(0BM ，6，6)，( 3BF ，6，0)， 设平面BEM的法向量(nx，y，) z， 则 2 30 660 n BEx n BMyz ，取1y ，得(0n ，1，1)， 则点F到平面BEM的距离为： |6 3 |2 BF n d n 7如图 1，梯形 ABCD 中，ABCD，过 A，B 分别作 AECD，BFCD，垂
13、足分别为 E、 F若 ABAE2，CD5，DE1，将梯形 ABCD 沿 AE，BF 折起，且平面 ADE平 面 ABFE（如图 2） （）证明：AFBD； （）若 CFDE，在线段 AB 上是否存在一点 P，使得直线 CP 与平面 ACD 所成角的正 弦值为，若存在，求出 AP 的值，若不存在，说明理由 解： （）证明：平面 ADE平面 ABFE，DE平面 ADE， 平面 ADE平面 ABFEAE，DEAE， DE平面 ABFE，又 AF平面 ABFE，DEAF， 又正方形 ABFE 中，AFBE，且 BEDEE， DE平面 BDE，BE平面 BDE， AF平面 BDE， BD平面 BDE，A
14、FBD （）解：由（）知，DE、EA、EF 两两垂直，如图建立空间直角坐标系， CFDE，CF平面 ABFE， 则 A（2，0，0） ，B（2，2，0） ，C（0，2，2） ，D（0，0，1） ， （2，0，1） ，（2，2，2） ， 设平面 ACD 的一个法向量 （x，y，z） ， 则，取 x1，得 （1，1，2） ， 设 P（2，t，0） ，且 0t2，则（2，t2，2） ， 设直线 CP 与平面 ACD 所成角为 在线段 AB 上存在一点 P，使得直线 CP 与平面 ACD 所成角的正弦值为， sin，解得 t1 或 t（舍） AP1 8如图 1，在梯形 ABCD 中，ADBC，BAD，
15、ABBC1，AD2，E 是 AD 的中 点，O 是 AC 与 BE 的交点，以 BE 为折痕把ABE 折起使点 A 到达点 A1的位置，且 A1C 1，如图 2 （1）证明：平面 A1BE平面 BCDE； （2）求二面角 CA1BE 的余弦值 证明： （1）在图（1）中，ADBC，ABBC1，AD2， E 是 AD 的中点，BAD， 四边形 ABCE 为正方形，BEAC，AOOC， 即在图 2 中，A1OBE，BEOC，A1OOC， A1C1，在A1OC 中，+OC2， A1OOC， A1O平面 BCDE， A1O平面 A1BE，平面 A1BE平面 BCDE 解： （2）由（1）知 OA1，OB，OC 互相垂直，分别以 OB，OC，OA1所在直线为 x，y， z 轴，建立空间直角坐标系， A1BA1EBCED1， O（0，0，0） ，B（，0，0） ，A1（0，0，） ，C（0，0） ， （，0） ，（0，） ，（0，0） ， 设平面 A1BC 的法向量 （x，y，z） ， 则，取 x1，得 （1，1，1） ， 由（1）得平面 A1BE平面 BCDE，且 OCBE， OC平面 A1BE，（0，0）是平面 A1BE 的法向量， 设二面角 CA1BE 的平面角为 ， 则 cos 二面角 CA1BE 的余弦值为
