1、二轮大题专练二轮大题专练 17立体几何（探索性问题）立体几何（探索性问题） 1如图 1，C，D是以AB为直径的圆上两点，且2ABAD，ACBC，将ABC所在的 半圆沿直径AB折起，使得点C在平面ABD上的射影E在BD上，如图 2 （1）求证：BC 平面ACD； （2）在线段AB上是否存在点F，使得/ /AD平面CEF？若存在，求出 AF FB 的值；若不存 在，请说明理由 解： （1）证明：AB是圆的直径， ADBD CE 平面ABD，AD 平面ABD， CEAD 又CEBDE，BD，CE 平面BCD， AD平面BCD BC 平面BCD， ADBC 又BCAC，ACBCC， BC平面ACD （
2、2）解：连接AE，CE 平面ABD，AE，BE 平面ABD， CEAE，CEBE 在Rt ACE和Rt BCE中，由ACBC得AEBE， 在Rt ABD中，由2ABAD，得30ABD， 60AEDABEBAE ， 在Rt ADE中， 1 2 DEAE， E是BD的三等分点，且 1 2 DEEB 在线段AB上存在点F，使得 1 2 AFFB，则有/ /FEAD FE 平面CEF，AD平面CEF， / /AD平面CEF 故在线段AB上存在点F，使得/ /AD平面CEF，此时 1 2 AF FB 2如图，在三棱柱 111 ABCABC中，四边形 11 AAC C是边长为3的正方形， 1 CCBC，
3、1BC ，2AB （1）证明：平面 1 ABC 平面 1 ABC； （2）在线段 1 A B上是否存在点M，使得 1 CMBC，若存在，求 1 BM BA 的值；若不存在，请 说明理由 解： （1）证明：在ABC中，2AB ，1BC ，3AC ， 有 222 ACBCAB，可得ACBC， 又 1 CCBC， 1 ACCCC，可得BC 平面 11 AAC C， 即有 1 BCAC， 由四边形 11 AAC C是边长为3的正方形，可得 11 ACAC， 而 1 BCACC，可得 1 AC 平面 1 A BC， 又 1 AC 平面 1 ABC，则平面 1 ABC 平面 1 ABC； （2）在线段 1
4、 A B上存在点M，使得 1 CMBC，且 1 1 4 BM BA 理由如下：由（1）可得，以C为原点， CA，CB， 1 CC所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则( 3A，0，0)，(0C，0，0)，(0B，1，0)， 1( 3 A，0，3)， 1(0 C，0， 3)， 设(M x，y，) z， 1 BMBA， 所以(x，1y ，)( 3z，1，3)，解得3x，1y ，3z， 所以( 3CM，1，3 )， 1 (0C B ，1，3)，要使 1 CMBC， 则需 1 0CM BC，即130，解得 1 4 故线段 1 A B上存在点M，使得 1 CMBC，且 1 1 4
5、BM BA 3如图，在三棱锥VABC中，VC 底面ABC，ACBC，D是棱AB的中点，且 ACBCVC （1）证明：平面VAB 平面VCD； （2） 若2 2AC ， 且棱AB上有一点E， 使得直线VD与平面VCE所成角的正弦值为 15 15 ， 试确定点E的位置，并求三棱锥CVDE的体积 （1）证明：VC 底面ABC，ACBC，VAVB， 又D为AB的中点，VDAB，CDAB， VDCDD，VD、CD 平面VCD，AB平面VCD， AB 平面VAB，平面VAB 平面VCD （2）解：2 2ACBCVC，ACBC， 2CD， VC 底面ABC，VCCD，VCCE， 22 2 3VDVCCD，
6、设点D到平面VCE的距离为d， 直线VD与平面VCE所成角的正弦值为 15 15 ， 15 15 d VD ， 2 5 5 d， VCDED VCE VV ， 1111 3232 VCCD DEdVC CE，即 2 2 5 2 222 24 5 DEDE ， 解得1DE ， 24ABAC， 点E为AB的四等分点，且1AE ， 三棱锥CVDE的体积 11112 2 2 22 1 32323 V CDE VVVCCD DE 4等边ABC的边长为 3，点D，E分别是AB，BC上的点，且满足 1 2 ADCE DBEA （如图 （1）)， 将A D E沿DE折起到 1 ADE的位置， 使面 1 ADE
7、 面BCED， 连接 1 A B， 1 AC（如 图（2）) （1）求证： 1 AD 平面BCED； （2）线段 1 A B上是否存在点P，使直线DP与直线 1 EA所成角的余弦值为 5 10 ？若存在，求 出 1 1 AP AB 的值，若不存在，请说明理由 解： （1）证明：题图（1）中，由已知可得：2AE ，1AD ，60A ， 从而 22 122 1 2 cos603DE ， 故得 222 ADDEAE， 所以ADDE，BDDE， 所以题图（2）中， 1 ADDE，BDDE， 因为平面 1 ADE 平面BCED，平面 1 A DE平面BCEDDE， 1 AD 平面 1 ADE， 所以 1
8、 AD 平面BCED （2）存在 由（1）知EDDB， 1 AD 平面BCED 以D为坐标原点，以射线DB、DE、 1 DA分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角 坐标系Dxyz， 如图：(0D，0，0)， 1(0 A，0，1)，(2B，0，0)，(0E，3，0)， 1 (2AB ，0，1)， 11 (2APAB，0，)， 所以(2P，0，1)，(2DP，0，1)， 1 (0AE ，3，1)， |cosDP， 1 1 22 1 |1|5 | 10| 2 4(1) DP AE AE DPAE ， 所以 1 2 ， 所以 1 1 1 2 AP AB 5在四棱锥PABCD中，平面ABCD 平面P
9、CD，底面ABCD为直角梯形，/ /ABCD， ADDC，且1AB ，2ADDCDP，120PDC （1）求证：AD 平面PCD； （2）线段BC上是否存在点F，使得PDF 平面PAC？如果存在，求 BF BC 的值；如果不存 在，说明理由； （3）若M是棱PA的中点，N为线段BC上任意一点，求证：MN与PC一定不平行 解： （1）证明：由平面ABCD 平面PCD，平面ABCD平面PCDCD，且ADDC， 可得AD 平面PCD； （2）线段BC上假设存在点F，使得PDF 平面PAC，设CFt， 以D为坐标原点，DA，DC所在的直线分别为x，y轴，过D垂直于DC的直线为z轴， 建立空间直角坐标系
10、Dxyz， 由四边形ABCD为直角梯形，且1AB ，2CDAD，可得 22 125CB ，且 tan2DCB， 1 cos 5 DCB， 2 sin 5 DCB，可得 2 ( 5 t F，2 5 t ，0)，(0P，1， 3)，(0D，0，0)，(2A，0，0)，(0C，2，0)， (2PA，1，3)，(0PC ，3，3)，(0PD ，1，3)， 2 ( 5 t DF ，2 5 t ，0)， 设平面PAC的法向量为 11 (nx， 1 y， 1) z，平面PDF的法向量为 22 (nx， 2 y， 2) z， 由 1 1 0 0 n PA n PC 可得 111 11 230 330 xyz
11、yz ，可取 1 3y ，则 1 ( 3n ，3，3)， 由 2 2 0 0 n PD n DF ，可得 22 22 30 2 (2)0 55 yz tt xy ，取 2 3y ，可得 2 3(2 5) ( 2 t n t ，3，1)， 由题意可得 12 3(2 5) 330 2 t n n t ，解得 2 5 5 t ， 则 3 5 5 5 BFt ， 所以存在F，且 3 5 BF BC ； （3）证明：假设MN与PC平行， 取AC的中点H，连接MH，由MH为PAC的中位线，可得/ /MHPC， 可得过M存在两条直线MN，MH与PC平行， 这与过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，
12、矛盾， 故MN与PC一定不平行 6 如图， 在正四棱柱 1111 ABCDABC D中，E为AB的中点，F为BC的中点，O为 1 BD 的中点 （1）求证：AF 平面 1 DD E； （2）线段AF上是否存在点G，使得/ /OG平面 1 DD E，若存在，求出 AG GF 的值，若不存 在，请说明理由 （1）证明：以D为原点，以DA，DC， 1 DD为坐标轴建立空间直角坐标系Dxyz， 设ABa， 1 AAb，则(A a，0，0)，( 2 a F，a，0)，(0D，0，0)， 1(0 D，0，)b，(E a， 2 a ，0)， ( 2 a AF ，a，0)，(DEa， 2 a ，0)， 1 (
13、0DD ，0，)b， 22 00 22 aa AF DE ， 1 0000AF DD ， AFDE， 1 AFDD，即AFDE， 1 AFDD， 又 1 DEDDD， AF平面 1 DD E （2）解：由（1）可知( 2 a AF ，a，0)为平面 1 DD E的一个法向量， 设线段AF上存在点G，使得/ /OG平面 1 DD E，不妨设( 2 a AGAF ，a，0)， 又( 2 a O， 2 a ，) 2 b ，( 2 a AO ， 2 a ，) 2 b ，( 22 aa OGAGAO ， 2 a a，) 2 b ， / /OG平面 1 DD E，OGAF， 222 2 0 442 aaa
14、 OG AFa ，解得 3 5 ， 线段AF上存在点G，使得/ /OG平面 1 DD E，且 3 2 AG GF 7 如图， 在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABC是等边三角形， 点E，F分别为AC， PC的中点，1PA，2AB （1）求证：平面BEF 平面PAC； （2）在线段PB上是否存在点G，使得直线AG与平面PBC所成角的正弦值为 15 5 ？若存 在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由 解： （1）证明：PA平面ABC，PA平面PAC， 平面PAC 平面ABC ABBC，E为AC的中点，BEAC 又平面PAC平面ABCAC，BE 平面ABC， BE平面PAC，又BE 平面BEF
15、， 平面BEF 平面PAC （2）解：PA平面ABC，PAAC， 又点E，F分别为AC，PC的中点， 所以/ /EFPA，从而EFAC 又由于BE 平面PAC，BEAC，BEEF， 所以EB，EC，EF两两互相垂直 以E为坐标原点，分别以EB，EC，EF方向为x，y，z轴正方向建立如图坐标系 由于(0A，1，0)，(0P，1，1)，( 3,0,0)B，(0C，1，0)， 于是(3, 1,1)BP ，(3,1,0)BC 设平面PBC的法向量( , , )nx y z，则 30 30 xyz xy ， 取1x ，则3y ，2 3z ， 于是(1, 3,2 3)n ( 3,1,0)AB ， 设(3
16、, )BGBP ，0，1， 则( 3(1),1, )AGABBG 由 2 |152 3151 552| | 4584 AG n AGn 或 11 10 （舍去） 故存在满足条件的G点，G点是线段PB的中点 8 如图， 四棱锥PABCD中，PA底面ABCD， 四边形ABCD中，ABAD，4ABAD， 2CD ，45CDA （）求证：平面PAB 平面PAD； （）设ABAP ( ) i若直线PB与平面PCD所成的角为30，求线段AB的长； ( )ii在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明 理由 解：( ) I证明：PA平面ABCD，AB平面ABCD PAAB 又
17、ABAD，PAADA AB平面PAD 又AB 平面PAB， 平面PAB 平面PAD ()( )II i以A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz（如图） 在平面ABCD内，作/ /CEAB交于点E， 则CEAD 在Rt CDE中，cos451DECD ， sin451CECD 设ABAPt，则(B t，0，0)，(0P，0，) t 由4ABAD，得4ADt， 所以(0E，3t，0)，(1C，3t，0)，(0D，4t，0) ( 1,1,0)CD ，(0,4,)PDtt 设平面PCD的法向量为(nx，y，) z 由nCD，nPD，得 0 (4)0 xy t ytz 取xt，得平面PCD的一个法向量
18、为( , ,4)nt tt 又( ,0,)PBtt，故由直线PB与平面PCD所成的角为30得 1| cos(9030 ) 2| | n PB nPB 即 2 22222 |24 |1 2 0()(4) tt ttttt 解得 4 5 t 或4t （舍去，因为40)ADt 所以 4 5 AB ( )ii假设在线段AD上存在一个点G到P、B、C、D的距离都相等 由GCGD，得45GCDGDC 从而90CGD，即CGAD 所以cos451GDCD 设AB，则4AD，3AGADGD 在Rt ABG中， 22222 39 (3)2()1 22 GBABAG 这GBGD与矛盾 所以在线段AD上不存在一个点
19、G，使得点G到B、C、D的距离都相等 从而，在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P、B、C、D的距离都相等 9如图，在三棱柱 111 ABCABC中， 1 BB 平面ABC，ABBC， 1 2AAABBC （）求证： 1 BC 平面 11 A B C； （）求异面直线 1 B C与 1 A B所成角的大小； （） 点M在线段 1 B C上， 且 1 1 1 3 B M BC ， 点N在线段 1 A B上， 若/ /MN平面 11 A ACC， 求 1 1 A N A B 的值 解： （）证明：在三棱柱 111 ABCABC中， 1 BB 平面ABC，ABBC， 1 2AAABBC 11 B
20、CBC， 111 BBAB， 1111 ABBC， 1111 BBBCB， 11 AB平面 11 BCC B， 1 BC 平面 11 BCC B， 111 ABBC， 1111 ABBCB， 1 BC平面 11 A B C （）以B为原点，BC为x轴，BA为y轴， 1 BB为z轴，建立空间直角坐标系， 1(0 B，0，2)，(2C，0，0)， 1(0 A，2，2)，(0B，0，0)， 1 (2BC ，0，2)， 1 (0AB ，2，2)， 设异面直线 1 B C与 1 A B所成角为， 则 11 11 |41 cos 2| |88 BC AB BCAB ，60 异面直线 1 B C与 1 A
21、B所成角的大小为60 （）解：(0A，2，0)，(2C，0，0)， 1(2 C，0，2)，(0B，0，0)， 1(0 B，0，2)， 1(0 A， 2，2)， ( 2CA ，2，0)， 1 (0CC ，0，2)， 设平面 11 ACC A的法向量(nx，y，) z， 则 1 220 20 n CAxy n CCz ，取1x ，得(1n ，1，0)， 点M在线段 1 B C上，且 1 1 1 3 B M BC ，点N在线段 1 A B上， 设(M a，b，)c，(N x，y，) z， 1 1 AN AB ，则 11 3BCB M， 11 ANAB，01剟， 即(2，0，2)3(a，b，2)c，(x，2y ，2)(0z，2，2)， 解得 2 (3M，0， 4) 3 ，(0N，22，22 )， 2 ( 3 MN ，22， 2 2 ) 3 ， / /MN平面 11 A ACC， 2 220 3 n MN ， 解得 2 3 1 1 A N A B 的值为 2 3
