1、二轮大题专练二轮大题专练 13立体几何（证明平行、垂直）立体几何（证明平行、垂直） 1如图，四面体ABCD中，BCCD，90BCD，AD 平面BCDM为AD中点，P 为BM中点，点Q在线段AC上，且3AQQC （1）求证：/ /PQ平面BCD； （2）若ADDC，N是CD的中点，求证：NQ 平面ABC 证明： （1）如图，取BD的中点为E，在CD上取一点F，使得3DFFC，连结EP，FQ， EF， 则由P，E分别为BM，DB的中点， 可得/ /PEDM，且 1 2 PEDM， 又M为AD的中点，则 1 4 PEAD， 因为3AQQC，3DFFC，所以/ /QFAD，且 1 4 QFAD， 所以
2、/ /PEQF，且PEQF，故四边形EFQP是平行四边形， 所以/ /PQEF， 又PQ 平面BCD，EF 平面BCD， 所以/ /PQ平面BCD （2）设O为AC的中点， 因为AD 平面BCD，BC 平面BCD，所以ADBC， 因为BCCD，CD，AD 平面BCD，CDADD， 所以BC 平面ACD，因为NQ 平面ACD，所以BCNQ， 因为点O为AC的中点，3AQQC，所以点Q为CO的中点， 因为N是CD的中点，所以/ /NQDO，因为ADDC， 所以ADC是等腰直角三角形，DOAC， 所以NQAC，因为BC 平面ABC，AC 平面ABC，BCACC， 所以NQ 平面ABC 2如图，直三棱
3、柱 111 ABCABC中，底面是等腰直角三角形， 2ABBC， 1 3BB ，D为 11 AC的中点，F在线段 1 AA上 （1）AF为何值时，CF 平面 1 B DF？ （2）设1AF ，求平面 1 BCF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值 解： （1）因为直三棱柱 111 ABCABC中， 1 BB 面ABC， 2 ABC 以B点为原点，BA、BC、 1 BB分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系 因为2AC ，90ABC，所以2ABBC， 从而(0B，0，0)，( 2, 0, 0)A，(0,2, 0)C， 1(0 B，0，3)， 1( 2, 0, 3) A， 1(0, 2, 3)
4、C， 22 (, 3) 22 D， 所以 1 ( 2,2, 3)CA ， 设AFx，则( 2F，0，) x， 111 2222 ( 2,2,),( 2, 0,3),(, 0).2(2)00 2222 CFxB FxB DCF B Dx ，所以 1 CFB D 要使CF 平面 1 B DF，只需 1 CFB F 由 1 2(3)0CF B Fx x，得1x 或2x ， 故当1AF 或 2 时，CF 平面 1 B DF （5 分） （2）由（1）知平面ABC的法向量为 1 (0n ，0，1) 设平面 1 BCF的法向量为(nx，y，) z，则由 1 0 0 n CF n B F 得 220 220
5、 xyz xz 令1z 得 3 ( 2,2, 1) 2 n ， 所以平面 1 BCF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值 1 130 cos, 159 121 2 n n 3如图所示的几何体由斜三棱柱 111 ABCABC和 222111 A B CABC组成，满足：平行四边形 11 ABB A与 2211 A B B A、平行四边形 11 BCC B与 2211 B C C B、平行四边形 11 CAAC与 2211 C A AC分别全 等，且点T为 2 AA的中点 （）若 1 A、 1 C、T三点不共线，求证： 2 AA 面 11 AC T； （）若 1 ABACAA，面 1 AAB 面AB
6、C，侧棱 1 AA和底面ABC所成的角是60，求证： 面 122/ / AB C面 11 BCC B 证明： （）因为 2 AA的中点为T，连接 1 AT、 1 C T， 平行四边形 11 CAAC与 2211 C A AC全等， 112 A AA A， 112 C AC A， 21 AAAT， 21 AACT，且 11 ATCTT 因为 1 A、 1 C、T不共线，所以 2 AA 面 11 AC T； （）连接 12 AB，由（）可知， 2 AA 面 11 AC T，同理可证 2 AA 面 11 B C T， 而面 11 BCT面 11 ACTT，因此面 11 B C T与面 11 AC T
7、重合，即为平面 111 ABC， 且面/ /ABC面 111 ABC，因此 2 AA 面ABC， 又面 1 AAB 面ABC， 2 A面 11 ABB A， 2211 / /A BAB， 22 A B面 11 ABB A，且 1 A在平面ABC的投影在直线AB上， 1 A AB即为线面角， 1 60A AB， 由 1 ABACAA，可得 1121112 ABABABABB B， 即有 211 60B AB， 121 / /ABB B， 又 2211 / /C BC B， 12222 ABC BB， 1111 B BC BB， 故面 122/ / AB C面 11 BCC B 4 如图， 在三棱
8、柱 ABCA1B1C1中， 平面 A1ACC1平面 ABC， ABBC2， ACB30， AA13，BC1A1C，E 为 AC 的中点 （1）求证：AB1平面 C1EB； （2）求证：A1C平面 C1EB 证明： （1）取 A1C1中点 D，连接 AD，B1D， 在三棱柱 ABCA1B1C1中，E 为 AC 的中点 BEB1D，AEDC1，四边形 AEC1D 是平行四边形，ADC1E， ADDB1D，AD平面 ADB1，DB1平面 ADB1， BC1BEB，BC1平面 C1EB，BE平面 C1EB， 平面 ADB1平面 C1EB， AB1平面 ADB1，AB1平面 C1EB （2）BABC，E
9、 为 AC 的中点，BEAC， 又平面 A1ACC1平面 ABC，平面 A1ACC1平面 ABCAC， BE平面 ABC， BE平面 A1ACC1，又 A1C平面 A1ACC1， BEA1C又 BC1A1C，BEBC1B， A1C面 C1EB 5如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，PBPD3，PAAD3，点 E，F 分别为线段 PD，BC 的中点 （1）求证：EF平面 ABP； （2）求证：平面 AEF平面 PCD； （3）求三棱锥 CAEF 的体积 证明： （1）如图，取 PA 的中点 G，连接 BG，EG， 点 E，G 分别为 PD，PA 的中点， 又F 是 BC 的
10、中点，四边形 ABCD 是正方形，BFEG 且 BFEG， 故四边形 EFBG 为平行四边形，EFBG， BG平面 ABP，EF平面 ABP， EF平面 ABP； 证明： （2）由条件知， PAB 和PAD 都是等腰直角三角形，PAAB，PAAD， 又ABADA，AB、AD平面 ABCD， PA平面 ABCD，则 PACD， 又ADCD，PAADA，PA、AD平面 PAD， CD平面 PAD，得 CDAE， E 是 PD 的中点，AEPD， 又PDCDD，PD、CD平面 PCD， AE平面 PCD，而 AE平面 AEF， 平面 AEF平面 PCD； 解： （3）由图可知 VCAEFVEACF，
11、 ， 即三棱锥 CAEF 的体积为 6如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是梯形，ABCD，ADAB，ABADPD CD，PD平面 ABCD （1）证明：平面 PBD平面 PBC； （2）是否存在一点 E，使得 PA平面 BDE？若存在，请说明点 E 的位置，并证明你的 结论；若不存在，请说明理由 解： （1）证明：因为 PD平面 ABCD，BC平面 ABCD， 所以 PDBC 设 ABa，则 ADa，CD2a， 取 CD 的中点 M，连结 BM，则 DMCMa，所以 DMAB，因为 DMAB 所以四边形 ABMD 是平行四边形，所以 BMADa，所以， 所以 BD2+BC22a2
12、+2a24a2CD2，所以 DBBC 因为 PDDBD，PD，DB平面 PBD，所以 BC平面 PBD 因为 BC平面 PBC，所以平面 PBC平面 PBD （2） 解： 当点 E 为 PC 边上靠近点 P 的三等分点时 （即） 时， PA平面 BDE 理 由如下： 连结 AC 交 BD 于点 O，连结 OE， 因为AOBCOD，所以 因为，所以，所以，所以 PAEO 因为 EO平面 BDE，PA平面 BDE，所以 PA平面 BDE 7如图，在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 是梯形，ABCD，ABAD，CD 2AB2AD （1）求证：BD平面 BCC1； （2）在线段 C
13、1D1上是否存在一点 E，使 AE面 BC1D若存在，确定点 E 的位置并证 明；若不存在，请说明理由 解： （1） 证明： 在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，CC1平面 ABCD，BD平面 ABCD， BDCC1， 底面 ABCD 是梯形，ABCD，ABAD，CD2AB2AD 设 AB1，则 BDBC，BD2+BC2CD2，BDBC， CC1BCC，CC1平面 BCC1，BC平面 BCC1， BD平面 BCC1 （2）假设在线段 C1D1上存在一点 E，使 AE面 BC1D 证明如下： 以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设 AB1，设 E（0，b，c） ， 则 A（1，0，0） ，D（0，0，0） ，B（1，1，0） ，C1（0，2，c） ， （1，b，c） ，（1，1，0） ，（0，2，c） ， 设平面 BDC1的法向量 （x，y，z） ， 则，取 x1，得 （1，1，） ， AE面 BC1D， 1b+20，解得 b1 在线段 C1D1上存在一点 E，使 AE面 BC1D，点 E 是线段 C1D1的中点
