1、第 1 页（共 17 页） 2020-2021 学年北京市顺义区高三（上）期末数学试卷（一模）学年北京市顺义区高三（上）期末数学试卷（一模） 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题分在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项目要求的一项 1 （4 分）设集合 |(1)(2)0Mxxx， |1Nx x，则(MN ) A( 2,1) B 1，1) C 1，) D( 1,1) 2 （4 分）在复平面内，复数z对应的点的坐标是(3,1)，则 1 ( z ) A 31 88 i B 13 1010 i C 31 4
2、4 i D 31 1010 i 3 （4 分）在 6 1 ()x x 的展开式中，常数项为( ) A15 B30 C20 D40 4 （4 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A 1 3 B 1 6 C1 D 2 3 5 （4 分）我国古代数学论著中有如下问题： “远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯二 百五十四，请问底层几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 254 盏灯，且相邻两层中的下一 层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的底层共有灯( ) A32 盏 B64 盏 C128 盏 D196 盏 6 （4 分）设双曲线C的方程为 22 22 1(0,0) xy ab ab
3、 ，若C的一条渐近线的斜率为 2 3 ，则 C的离心率为( ) A 13 3 B 13 2 C 5 3 D 5 2 7 （4 分）已知a，bR，且|ab，则下列不等式中不恒成立的是( ) 第 2 页（共 17 页） Aab B0ab C 11 ab D 22 ab 8 （4 分）已知两条直线m，n和平面，且/ /n，则“mn”是“m”的( ) A充分必要条件 B充分而不必要条件 C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件 9 （4 分）在ABC中，3,3 , 6 bca B ，则cos(C ) A 3 2 B 1 2 C 3 2 D 1 2 10 （4 分）已知函数 1 ( )3x ax f
4、x x 若存在 0 (, 1)x ，使得 0 ()0f x，则实数a的 取值范围是( ) A 4 (,) 3 B 4 (0, ) 3 C(,0) D 4 ( ,) 3 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分 11 （5 分） 12 （5 分）设抛物线 y2mx 的焦点为 F（1，0） ，则 m ；若点 A 在抛物线上，且 |AF|3，则点 A 的坐标为 13 （5 分）已知函数 f（x）ax2+bx+c，能说明 f（x）既是偶函数又在区间（0，+）上 单调递减的一组整数 a，b，c 的值依次是 14 （5 分）已知单位向量 ， 满足，则 与 夹角的
5、大小为 ；| x | （xR）的最小值为 15 （5 分）已知椭圆的左、右焦点分别为 F1，F2，直线 xm（4m4） 与椭圆 C 相交于点 A，B给出下列三个命题： 存在唯一一个 m，使得AF1F2为等腰直角三角形； 存在唯一一个 m，使得ABF1为等腰直角三角形； 存在 m，使ABF1的周长最大 其中，所有真命题的序号为 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程分解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程 16 （13 分）在三棱柱 111 ABCABC中， 1 CC 平面ABC，ABAC， 1 ABACAA，E 是 11 AC
6、的中点 第 3 页（共 17 页） （）求证：ABCE； （）求二面角BCEA的余弦值 17 （14 分）函数( )sin()(0f xAxA，0，0) 2 的部分图象如图所示 （）求函数( )f x的解析式； （）求函数( )()2cos2 6 g xf xx 在区间0, 2 上的最小值 18 （14 分）为了解顾客对五种款式运动鞋的满意度，厂家随机选取了 2000 名顾客进行回 访，调查结果如表： 运动鞋款式 A B C D E 回访顾客（人数） 700 350 300 250 400 满意度 0.3 0.5 0.7 0.5 0.6 注：1满意度是指：某款式运动鞋的回访顾客中，满意人数与总
7、人数的比值； 2对于每位回访顾客，只调研一种款式运动鞋的满意度 假设顾客对各款式运动鞋是否满意相互独立， 用顾客对某款式运动鞋的满意度估计对该款式 运动鞋满意的概率 （）从所有的回访顾客中随机抽取 1 人，求此人是C款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋 满意的概率； （）从A、E两种款式运动鞋的回访顾客中各随机抽取 1 人，设其中满意的人数为X， 求X的分布列和数学期望； 第 4 页（共 17 页） （）用 “1” 和“0” 分别表示对A款运动鞋满意和不满意， 用 “1”和 “0” 分别表示对B款运动满意和不满意，试比较方差( )D与( )D的大小 （结论不要求证明） 19 （14 分）已知椭圆 2
8、2 22 :1(0) xy Cab ab 经过点(0,1)M和 1 ( 3, ) 2 N （）求椭圆C的方程； （）若直线: l yxmk与椭圆C交于A，B两点，且坐标原点O到直线l的距离为 2 5 5 求证：以AB为直径的圆经过点O 20 （15 分）已知函数 2 ( )(0)f xxalnx a （）若2a ，求曲线( )yf x的斜率等于 3 的切线方程； （）若( )f x在区间 1 , e e 上恰有两个零点，求a的取值范围 21 （15 分）已知 n a是无穷数列给出两个性质： 对于 n a中任意两项 i a，() j a ij，在 n a中都存在一项 m a，使得2 ijm aa
9、a； 对于 n a中任意项(3) n an，在 n a中都存在两项ak，() l alk，使得2 nl aaa k （）若2 (1,2,) n n an，判断数列 n a是否满足性质，说明理由； （）若(1 n an n，2，)，判断数列 n a是否同时满足性质和性质，说明理由； （）若 n a是递增数列， 1 0a ，且同时满足性质和性质，证明： n a为等差数列 第 5 页（共 17 页） 2020-2021 学年北京市顺义区高三（上）期末数学试卷（一模）学年北京市顺义区高三（上）期末数学试卷（一模） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，
10、每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题分在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项目要求的一项 1 （4 分）设集合 |(1)(2)0Mxxx， |1Nx x，则(MN ) A( 2,1) B 1，1) C 1，) D( 1,1) 【解答】解： | 21Mxx ， |1Nx x， 1MN ，1) 故选：B 2 （4 分）在复平面内，复数z对应的点的坐标是(3,1)，则 1 ( z ) A 31 88 i B 13 1010 i C 31 44 i D 31 1010 i 【解答】解：在复平面内，复数z对应的点的坐标是(3,1)， 113331 3(3)(
11、3)101010 ii i ziii 故选：D 3 （4 分）在 6 1 ()x x 的展开式中，常数项为( ) A15 B30 C20 D40 【解答】解： 6 1 ()x x 的展开式的通项为 3 3 6 2 166 1 ()( ) r rrrr r TCxC x x ， 令 3 30 2 r，得2r ， 所以常数项为 2 6 15C 故选：A 4 （4 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) 第 6 页（共 17 页） A 1 3 B 1 6 C1 D 2 3 【解答】解：由题意可知几何体是三棱锥，是长方体的一个角，所以几何体的体积为： 111 1 1 2 323 故选：
12、A 5 （4 分）我国古代数学论著中有如下问题： “远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯二 百五十四，请问底层几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 254 盏灯，且相邻两层中的下一 层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的底层共有灯( ) A32 盏 B64 盏 C128 盏 D196 盏 【解答】解：由题意可得，每层的灯数形成等比数列 n a，公比2q ，且 7 254S ， 则 7 1(1 2 ) 254 12 a ，解得 1 2a 6 7 2 2128a 故选：C 6 （4 分）设双曲线C的方程为 22 22 1(0,0) xy ab ab ，若C的一条渐近线的斜率为 2 3 ，则 第 7
13、 页（共 17 页） C的离心率为( ) A 13 3 B 13 2 C 5 3 D 5 2 【解答】解：双曲线C的方程为 22 22 1(0,0) xy ab ab ，若C的一条渐近线的斜率为 2 3 ， 可得 2 3 b a ， 所以 2 2 413 11 93 cb e aa 故选：A 7 （4 分）已知a，bR，且|ab，则下列不等式中不恒成立的是( ) Aab B0ab C 11 ab D 22 ab 【解答】解：对于A，因为|ab，所以ab恒成立； 对于B，因为|ab，所以0a ， 当0b ，则0ab；当0b，则ab ，即0ab， 综上，0ab恒成立； 对于C，当0b ，则|ab，
14、即0ab，则 11 ab ，故C不恒成立； 对于D，因为|ab，所以 22 ab恒成立 故选：C 8 （4 分）已知两条直线m，n和平面，且/ /n，则“mn”是“m”的( ) A充分必要条件 B充分而不必要条件 C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：因为/ /n，mn，所以m与可能平行，也可能相交，故“mn”不能 推出“m” ， 而m，则m垂直平面内任一直线，而/ /n，所以mn 所以两条直线m，n和平面，且/ /n，则“mn”是“m”的必要而不充分条件 故选：C 9 （4 分）在ABC中，3,3 , 6 bca B ，则cos(C ) A 3 2 B 1 2 C 3 2
15、D 1 2 第 8 页（共 17 页） 【解答】解：因为3,3 , 6 bca B ， 所以由余弦定理 222 2cosbacacB， 可得： 22 3 9323 2 aaaa， 整理可得3a ， 3 3c ， 可得 222 99271 cos 22 3 32 abc C ab 故选：D 10 （4 分）已知函数 1 ( )3x ax f x x 若存在 0 (, 1)x ，使得 0 ()0f x，则实数a的 取值范围是( ) A 4 (,) 3 B 4 (0, ) 3 C(,0) D 4 ( ,) 3 【解答】解：函数 11 ( )33 xx ax f xa xx ， 令( )0f x ，解
16、得 1 3xa x ； 设 1 ( )3xg x x ，其中(, 1)x ， 所以( )g x是定义域(, 1) 上的单调增函数， 所以 4 0( )( 1) 3 g xg 若存在 0 (, 1)x ，使得 0 ()0f x， 则实数a的取值范围是 4 (0, ) 3 故选：B 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分 11 （5 分） 1 【解答】解：tan1， 故答案为：1 12 （5 分）设抛物线 y2mx 的焦点为 F（1，0） ，则 m 4 ；若点 A 在抛物线上，且|AF| 3，则点 A 的坐标为 【解答】解：抛物线 y2mx 的焦点为
17、F（1，0） ， 可得1，解得 m4； 第 9 页（共 17 页） 点 A 在抛物线 y24x 上，且|AF|3，设点 A 的横坐标为 x，则 x+13，x2， 把 x2 代入抛物线方程，可得 A 的纵坐标为：2 所以 A（2，2） 故答案为：4； （2，2） 13 （5 分）已知函数 f（x）ax2+bx+c，能说明 f（x）既是偶函数又在区间（0，+）上 单调递减的一组整数 a，b，c 的值依次是 1，0，1（答案不唯一） 【解答】解：根据题意，a0 时，函数 f（x）ax2+bx+c，为二次函数， 若 f（x）是偶函数，则其对称轴 x0，则 b0， 又在区间（0，+）上单调递减，必有 a
18、0， 综合可得：a0 且 b0， 故满足题意的一组整数 a，b，c 的值依次是1，0，1（答案不唯一） 故答案为：1，0，1（答案不唯一） 14 （5 分）已知单位向量 ， 满足，则 与 夹角的大小为 ；| x | （xR）的最小值为 【解答】解：，且， 与 夹角的大小为； ， 时，取最小值 故答案为： 15 （5 分）已知椭圆的左、右焦点分别为 F1，F2，直线 xm（4m4） 与椭圆 C 相交于点 A，B给出下列三个命题： 存在唯一一个 m，使得AF1F2为等腰直角三角形； 存在唯一一个 m，使得ABF1为等腰直角三角形； 存在 m，使ABF1的周长最大 其中，所有真命题的序号为 第 10
19、 页（共 17 页） 【解答】解：由方程知 a4，b2，c2， 当m0时， F1AF2最大， 此时AF1F2AF2F145， 所以F1AF2的最大值为90， 又 AF1AF2，所以AF1F2为等腰直角三角形， 即存在唯一一个 m0，使得AF1F2为等腰直角三角形，故正确； 当 m0 时， AF1F245， 由椭圆的对称性可得BF1F2AF1F245， AF1BF1， 所以AF1B90，此时ABF1为等腰直角三角形， 当 m0 时，若ABF1为等腰直角三角形，则4m2， 此时点 A 的坐标为（m，m2） ，代椭圆方程，解得 m（4，2） ， 故当 m0 或时，ABF1为等腰直角三角形，故错误；
20、由椭圆的定义得，ABF1的周长|AB|+|AF1|+|BF1| |AB|+（2a|AF2|）+（2a|BEF2）4a+|AB|AF2|BF2|， 因为|AF2|+|BF2|AB|，所以|AB|AF2|BF2|0，当 AB 过点 F2时取等号， 所以|AB|+|AF1|+|BF1|4a+|AB|AF2|BF2|4a，即直线 xm 过椭圆的右焦点 F2时， ABF1的周长最大， 此时直线 AB 的方程为 xmc2，满足4m4， 所以存在 m，使ABF1的周长最大，故正确 故答案为： 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程分解答应写出必要
21、的文字说明、演算步骤或证明过程 16 （13 分）在三棱柱 111 ABCABC中， 1 CC 平面ABC，ABAC， 1 ABACAA，E 是 11 AC的中点 （）求证：ABCE； （）求二面角BCEA的余弦值 第 11 页（共 17 页） 【解答】 （）证明：因为 1 CC 平面ABC， 所以 1 CCAB（2 分） 又ABAC， 1 ACCCC，AC 平面 11 AAC C， 1 CC 平面 11 AAC C， 所以AB 平面 11 AAC C（4 分） 因为CE 平面 11 AAC C， 所以ABCE（5 分） （）解：在三棱柱 111 ABCABC中， 11 / /CCAA， 因为
22、由 1 CC 平面ABC， 所以 1 AA 平面ABC 所以AB，AC， 1 AA两两垂直 如图，以A为原点，建立空间直角坐标系Axyz，（6 分） 所以(0A，0，0)，(2B，0，0)，(0C，2，0)，(0E，1，2) 设平面BCE的法向量为( , , )nx y z， 第 12 页（共 17 页） 因为( 2,2,0)BC ，(0, 1,2)CE ， 所以 0 0 BC n CE n 即 220 20 xy yz 令1z ，则2x ，2y 所以平面BCE的一个法向量为(2,2,1)n （9 分） 因为AB 平面 11 AAC C， 所以平面ACE的一个法向量为(2,0,0)AB （10
23、 分） 所以 2 cos, 3| AB n AB n AB n （13 分） 所以二面角BCEA的余弦值为 2 3 17 （14 分）函数( )sin()(0f xAxA，0，0) 2 的部分图象如图所示 （）求函数( )f x的解析式； （）求函数( )()2cos2 6 g xf xx 在区间0, 2 上的最小值 【解答】解： （）由题设图象知，周期 2 2() 36 T ， 因为 2 T ，所以 2 2 T ， 而由题意知2A，所以( )2sin(2)f xx， 第 13 页（共 17 页） 因为函数( )f x的图象过点(,2) 6 ， 所以()2sin()2 63 f 所以2() 3
24、2 Z kk所以2() 6 Z kk 又因为0 2 ，所以 6 故函数( )f x的解析式为( )2sin(2) 6 f xx （）( )2sin2()2cos2 66 g xxx 2sin(2)2cos2 6 xx 31 2(sin2cos2cos2 ) 22 xxx， 13 2 3(sin2cos2) 22 xx 2 3sin(2) 3 x ， 因为0 2 x 剟，所以 2 2 333 x 剟 所以当2 33 x 时，即0 x 时，( )g x取到最小值，且最小值为3 18 （14 分）为了解顾客对五种款式运动鞋的满意度，厂家随机选取了 2000 名顾客进行回 访，调查结果如表： 运动鞋款
25、式 A B C D E 回访顾客（人数） 700 350 300 250 400 满意度 0.3 0.5 0.7 0.5 0.6 注：1满意度是指：某款式运动鞋的回访顾客中，满意人数与总人数的比值； 2对于每位回访顾客，只调研一种款式运动鞋的满意度 假设顾客对各款式运动鞋是否满意相互独立， 用顾客对某款式运动鞋的满意度估计对该款式 运动鞋满意的概率 （）从所有的回访顾客中随机抽取 1 人，求此人是C款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋 满意的概率； （）从A、E两种款式运动鞋的回访顾客中各随机抽取 1 人，设其中满意的人数为X， 求X的分布列和数学期望； 第 14 页（共 17 页） （）用 “1”
26、 和“0” 分别表示对A款运动鞋满意和不满意， 用 “1”和 “0” 分别表示对B款运动满意和不满意，试比较方差( )D与( )D的大小 （结论不要求证明） 【解答】解： （）由题意知，是C款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的人数为 3000.7210（2 分） 故此顾客是C款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率是 21021 2000200 （4 分） （）X的取值为 0，1，2（5 分） 设事件M为“从A款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的 1 人对该款式运动鞋满意” ， 事件N为“从E款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的 1 人对该款式运动鞋满意” ， 且事件M与N相互独立 根据题意，()P
27、M估计为 0.3，()P N估计为 0.6 则(0)()(1()(1( )0.7 0.40.28P XP MNP MP N（6分） (1)()()()(1()(1()0.30.40.70.60.54PXPMNPMNPMPNPM （7 分） (2)()() ()0.3 0.60.18P XP MNP M P N（8 分） 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 0.28 0.54 0.18 （10 分） X的期望是：()0 0.28 1 0.542 0.180.9E X （12 分） （） ()()DD （14 分） 19 （14 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 经过点
28、(0,1)M和 1 ( 3, ) 2 N （）求椭圆C的方程； （）若直线: l yxmk与椭圆C交于A，B两点，且坐标原点O到直线l的距离为 第 15 页（共 17 页） 2 5 5 求证：以AB为直径的圆经过点O 【解答】解： （）因为椭圆经过点(0,1)，所以1b ， 又因为椭圆经过点 1 ( 3, ) 2 ，所以 2 31 1 4a ，解得2a ， 所以椭圆的方程为 2 2 1 4 x y， （）证明：由 2 2 1 4 yxm x y k ，可得 222 (1 4)8440 xmxmkk， 由题意，0，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 所以 12 2 8 4
29、1 m xx k k ， 2 12 2 44 41 m x x k ， 因为原点O到直线l的距离为 2 5 5 ，所以 2 |2 5 5 1 m d k ， 即 22 54(1)m k， 因为 12121212 ()()OA OBx xy yx xxmxmkk 2 2222 1212 22 448 (1)()(1) 4141 mm x xm xxmmm k kkkk kk 22 2 544 0 41 m k k ， 所以OAOB 因此以AB为直径的圆过原点O 20 （15 分）已知函数 2 ( )(0)f xxalnx a （）若2a ，求曲线( )yf x的斜率等于 3 的切线方程； （）若
30、( )f x在区间 1 , e e 上恰有两个零点，求a的取值范围 【解答】解： （）当2a 时， 2 ( )2f xxlnx， 2 ( )2fxx x ， 设切点为 2 000 (,2)x xlnx，则 00 0 2 ()23fxx x ， 解得 0 2x 或 0 1 2 x （舍)， 所以f（2）42 2ln切点为(2,42 2)ln， 所以所求切线方程为42 23(2)ylnx， 第 16 页（共 17 页） 即322 20 xyln （）因为 2 2 ( )2 axa fxx xx ， 由0a 及定义域为(0,)，令( )0fx，得 2 2 a x 当 21 2 a e ，即 2 2
31、0a e 时， 在 1 ( , ) e e 上( )0fx，所以( )f x在 1 , e e 上单调递增 此时( )f x在 1 , e e 上不可能存在两个零点； 当 2 2 a e，即 2 2ae时， 在 1 ( , ) e e 上( )0fx，所以( )f x在 1 , e e 上单调递减 此时( )f x在 1 , e e 上不可能存在两个零点； 当 12 2 a e e ，即 2 2 2 2ae e 时，要使( )f x在区间 1 , e e 上恰有两个零点， 则 2 2 212 ()12 ()0 222 11 ( )0 ( )0 aa faln fa ee f eea ，即 2
32、2 a e ae ，此时 2 2ea e 综上，实数a的取值范围是(2e， 2 e 21 （15 分）已知 n a是无穷数列给出两个性质： 对于 n a中任意两项 i a，() j a ij，在 n a中都存在一项 m a，使得2 ijm aaa； 对于 n a中任意项(3) n an，在 n a中都存在两项ak，() l alk，使得2 nl aaa k （）若2 (1,2,) n n an，判断数列 n a是否满足性质，说明理由； （）若(1 n an n，2，)，判断数列 n a是否同时满足性质和性质，说明理由； （）若 n a是递增数列， 1 0a ，且同时满足性质和性质，证明： n
33、a为等差数列 【解答】解： （）数列 n a不满足性质，理由如下： 取数列 n a中的 1 2a ， 2 4a ，所以 21 26aa 第 17 页（共 17 页） 由26 m ，解得 2 log 6m ，显然m不是整数 所以在数列 n a中不存在 m a，使得 21 2 m aaa， 故数列 n a不满足性质； （）数列 n a同时满足性质和性质，理由如下： 对于 n a中任意两项 i a，() j a ij，记2 m aij， 因此2 mij aaa，从而数列 n a满足性质； 对于 n a中任意项(3) n an，记 1n aa k ， 2( ) ln aal k， 显然有2 nl aa
34、a k ，从而数列 n a满足性质； 综上，数列 n a同时满足性质和性质 （）证明： n a是递增数列， 1 0a ，则 2 0a ， 根据性质 212 22 n aaaa， 222 2(2)3 n aaaa， 222 2(3)24 n aaaa， 由数学归纳法原理，可以证明 2 |0nanN， 2 a， 2 2a， 2 3a， n a ， 另一个方面，我们用反证法证明 2 |0 n ananN， 2 a， 2 2a， 2 3a， 假设 2( 0)xta t是 n a中最小的不能写成 2 a的整倍数的项， 根据性质，存在两项ak，() l alk，使得2 l xaa k ， 我们记 2 aya k ， 2l aza，其中0yz，可知： 2222 2(2)taxyazayz a， 易知2()0tyzyzyyz， 根据 2( 0)xta t的最小性，可知道y， * zN，可以得到 * 2tyzN ，与t不是正整数 矛盾 综上所述， n a是首项为 0，公差为 2 a的等差数列
