1、高考数学逻辑思维能力测评 第 1 页（共 4 页） 由大兴机场一题引发对高考数学逻辑思维能力测评的思考 逻辑思维能力是基础教育领域重要的关键能力，一直是高考数学科的考查重点。基于“一 核四层四翼”高考评价体系，高考数学提出考查学生理性思维素养和逻辑思维能力的目标，通 过在试题中设置日常生活情境、开发多项选择题、增加开放型试题、提高对语言表达的要求来 达到对学生逻辑思维能力考查的目的。 任子朝 赵 轩高考数学逻辑思维能力测评研究 2021 年 1 月 23 日，江苏省等八省市进行了新高考适应性考试， 数学试题第 20 题是基于逻 辑思维能力的一道新定义立体几何题，其由大兴机场引入，提出了关于“曲
2、率”的新定义，要 求考生根据题目所给的条件，自主提炼与分析，完成基于新概念下的证明与解答。 下附原题： 例 1（2021 年八省市新高考适应性考试，20） 北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用刻画空间的弯曲性是几何研究 的重要内容用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2与多面体在该点的面 角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制） ，多面体面上非顶点的曲 率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和例如：正四面体在每个顶点有 3 个面角，每个面角是 3 ，所以正四面体在各顶点的曲率为 3 32，故其总曲率为4 （1）求四棱锥的总曲率； （2）若
3、多面体满足：顶点数棱数面数2，证明：这类 多面体的总曲率是常数 解： （教育部考试中心官方解答） （1）四棱锥共有 5 个顶点，5 个面四棱锥所有面角之和等于 4 个三角形内角之和再加上 1 个四边形内角之和 所以四棱锥的总曲率为42425 （2）设多面体顶点数为V，棱数为E，面数为F 多面体的总曲率2V多面体所有面角之和2V多面体所有面的内角之和 多面体的面均为多边形，由多边形的内角和公式可知，多面体的所有面的内角之和的计算 过程中，每条棱都计算了两次，所以多面体的所有面的内角之和等于22FE，从而多 面体的总曲率为 高考数学逻辑思维能力测评 第 2 页（共 4 页） 42)(222FEVF
4、EV 因此，这类多面体的总曲率是常数 看完这题，很多考生直呼： “梦想，啪一下就没了” 那么这道题目的出现是否意外？以前 有没有样题出现？ 教育部考试中心数学科研究员任子朝、助理研究员赵轩在发表于中国考试2019 年第 6 期的一篇高考数学逻辑思维能力测评研究中给出了这么一道题： 例 2（徐州一中 2021 届高三上学期期末考试，20） 地球围绕太阳公转的轨道是一个椭圆，太阳位于该椭圆的一个焦点，每单位时间地球公转 扫过椭圆内区域的面积相同我国古代劳动人民根据长期的生产经验总结创立了二十四节气， 将一年（地球围绕太阳公转一周）划分为 24 个节气，规则是：任意 2 个相邻节气地球与太阳 的连线
5、成 15 地球在小寒前约三四天到达近日点，在小暑前约三四天到达远日点 （1）从冬至到小寒与从夏至到小暑，哪一段时间更长？并说明理由 （2）以立春为始，排在偶数位的 12 个节气又称为中气，农历规定没有中气的那个月为闰 月经统计，1931 年至 2050 年间，闰月最多的 3 个月份是：闰 4 月 7 次，闰 5 月 9 次，闰 6 月 8 次；闰月最少的 3 个月份是：闰 11 月 1 次，闰 12 月 0 次，闰 1 月 0 次为什么会出现这 种现象？请说明理由 解： （1） 如图所示， 太阳处于地球公转椭圆轨道的一个焦点 F， A， B，C，D 分别为冬至，小寒（最接近近日点） ，夏至，小
6、暑（最接 近远日点）四个节气时地球所在的位置，则 FBFAFCFD，因 此椭圆轨道内椭圆扇形 FCD 的面积大于椭圆扇形 FAB 的面积，根 据“每单位时间地球公转扫过椭圆内区域的面积相同”可知从夏至 到小暑的时间长于从冬至到小寒的时间 （2） 农历从朔日到下一个朔日前一日为一个月， 大约是月亮围绕太阳地球转一周的时间 （约 29 天半） 由（1）知，远日点附近两个相邻节气之间的时间间隔长于近日点附近两个相邻节气 之间的时间间隔，所以远日点附近农历一个月内不含中气的概率较高，出现闰月较多；而近日 点附近农历一个月内不含中气的概率较低，出现闰月较少 从逻辑思维是否正确，语言是否规范、流畅，表达是
7、否清晰等角度综合评分 评析： 本题是一道集数学、地理、物理内容于一体的综合题试题以地球绕太阳公转的地理知识 高考数学逻辑思维能力测评 第 3 页（共 4 页） 为背景，从中国古代流传下来的二十四节气入手，引入问题，涉及物理学的开普勒行星运动第 二定律，利用数学中椭圆扇形的面积进行定量化的说明试题考查了椭圆的性质，体现了理性 思维、数学应用、数学探究的学科素养，考查了逻辑推理能力和直观想象能力，落实了中国 高考评价体系中综合性、应用性和创新性的考查要求 这题是最早出现的类似题吗？我们翻阅了 1978 年2020 年全国各省市高考题，找寻到这 样一道题目： 例 3（2002 年全国卷文科数学，22
8、） （1）给出两块相同的正三角形纸片（如图 1、图 2） ，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥 模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等请设计一 种剪拼方案，分别用虚线标示在图 1、图 2 中，并作简要说明； （2）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小； （3） （本小题为附加题，如果解答正确，加 4 分，但全卷总分不超过 150 分） 如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图 3） ，要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全 面积与给出的三角形的面积相等 请设计一种剪拼方案， 用虚线标示在图 3 中， 并作简要说明 解： （1）如图 1，沿正三角形三边中点连线
9、折起，可拼得一个正三棱锥 如图 2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为正三角形边 长的 4 1 ，有一组对角为直角余下部分按虚线折起，可成为一个缺上底的正三棱柱，而剪出的 三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底 （2）依上面剪拼的方法，有 锥柱 VV 推理如下： 设给出正三角形纸片的边长为 2，那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为 1 的正三 角形，其面积为 4 3 现在计算它们的高： 高考数学逻辑思维能力测评 第 4 页（共 4 页） 3 6 ) 2 3 3 2 (1 2 锥 h ， 6 3 30tan 2 1 柱 h 从而0 24 322 4 3 ) 6
10、3 9 6 ( 4 3 ) 3 1 ( 柱锥柱锥 hhVV， 所以 锥柱 VV （3）如图 3，分别连结三角形的内心与各顶点，得到三条线段，再以这三条线段的中点为 顶点作三角形，以新作的三角形为直三棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作 垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，可以拼接成直三棱柱的上底，余下部分按虚线折起，成为 一个缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱模型 考生如有其他的剪拼方法，可比照本标准评分 评析： （摘自2002 年普通高考数学科试题评价报告 ） 别开生面，要求考生自行设计，将正三角形纸片剪拼成正三棱锥、正三棱柱模型，通过动 手剪拼的实际操作，要求考生把握数学规律的内在
11、本质，自己动手解决实际问题，这种题型有 较大的自由度和思维空间，体现自主学习和主动探究精神，显现出研究性学习的特点，对于培 养考生的实践能力和创新意识有重要的意义 恢复高考后的 40 年来，高考数学不断充实、丰富逻辑思维能力的内涵，不断创新考查逻 辑思维能力的命题技术，不但发挥了重要的选拔功能，而且对中学教学起到良好的导向作用。 数学知识严密、准确，数学结论简洁、确定，数学推理精准、规范，因此高考数学是考查 逻辑思维能力的重要学科。在设计高考数学试题时，要充分发挥数学论证严密、结论确定的学 科特点，真实、准确地测量考生的逻辑思维能力，为高校选拔人才提供准确的依据。同时，数 学不仅是推理和运算工具，还是表达和交流的语言，数学承载的思想和文化是人类文明的重要 组成部分，数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展的过程中发挥着不可替代 的作用，要充分利用数学的学科优势，重视培养学生的理性思维和逻辑思维能力，为学生的可 持续发展和终身学习打下基础。 ZDE新高考研究中心 (江苏)
