1、1 条件：条件：CDAB(OCDOAB)，将OCD 旋转至右图位置 结论：结论：右图中OCDOAB OACOBD； 延长 AC 交 BD 于点 E，必有AEB=AOB； 点 E 在OAB 的外接圆上. 【模型解析】【模型解析】 2020 2020 中考专题中考专题 1 1几何模型之双子型几何模型之双子型 班级班级 姓名姓名 . . 【例题分析】【例题分析】 例例 1.如图 1，直角坐标系中，点 A 的坐标为(1,0),以线段 OA 为边在第四象限内作等边AOB,点 C 为 x 正半轴上一动点(OC1),连接 BC，以线段 BC 为边在第四象限内作等边CBD,直线 DA 交 y 轴于 点 E (
2、1) OBC 与ABD 全等吗？判断并证明你的结论； (2) 着点 C 位置的变化，点 E 的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点 E 的坐标；若有变化， 请说明理由 图 1 条件：条件：OAB,OCD 均为等腰三角形，OA=OB,OC=OD,AOB=COD 结论：结论：OACOBD； AC=BD；AEB=AOB；OE 平分AED(或 AED 的外角） ；点 E 在OAB 的外接圆上. 2 3 例例 2.如图 2-1，在 RtABC 中，B90,cosC 5,点 6 D、E 分别是边 BC、AC 的中点，连接 DE， AE 将EDC 绕点 C 按顺时针方向旋转，记旋转角为当 0360时, 仅
3、就图 2-2 的情况给出证明 图 2-1 图 2-2 的大小有无变化？请 BD 例例 3如图 3 所示，在四边形 ABCD 中，AD3,CD2,ABCACBADC45,则 BD 的长 为 图 3 图 4 例例 4 4.如图 4，在ABC 中,ABC60,AB 2 ，BC8，以 AC 为腰，点 A 为顶点作等腰ACD, 且DAC120,则 BD 的长为 . 【巩固练习】【巩固练习】 1.1. 如图 1,ABC 和ADE 都是等腰直角三角形,BACDAE90,ABAC2，O 为 AC 中点， 若点 D 在直线 BC 上运动，连接 OE，则在点 D 运动过程中，线段 OE 的最小值是为（ ） A 1
4、 B C1 2 2 图 1 图 2 2. 如图 2,ABC 为等边三角形,AB2,点 D 为 BC 边上的动点,连接 AD,以 AD 为一边向右作等边 ADE,连接 CE. (1)在点 D 从点 B 运动到点 C 的过程中,点 E 运动的路径长为 ; (2)在点 D 的运动过程中,是否存在DEC60,若存在,求出 BD 的长,若不存在,请说明理由. (3)取 AC 中点 P,连接 PE,在点 D 的运动过程中,求 PE 的最小值. 2 D 2 3 3. 在锐角ABC 中，AB4,BC5,ACB45,将ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转，得到A1BC1 （1） 如图 3-1，当点 C1 在线段
5、C A的延长线上时，求CC1A1 的度数； （2） 如图 3-2，连接 AA1,CC1若A1BA1 的面积为 4，求CBC1 的面积； 图 3-1 图 3-2 4. 【提出问题】 （1） 如图 4-1，在等边ABC 中，点 M 是 BC 上的任意一点（不含端点 B、C） ，连结 AM，以 AM 为边作等边AMN,连结 CN求证：BMCN 【类比探究】 （2） 如图 4-2，在等边ABC 中，点 M 是 BC 延长线上的任意一点（不含端点 C） ，其它条件不变,(1) 中结论 BMCN 还成立吗？请说明理由 【拓展延伸】 （3） 如图 4-3，在等腰ABC 中，BABC,AB6,AC4，点 M
6、是 BC 上的任意一点（不含端点 B、 C） ，连结 AM，以 AM 为边作等腰AMN,使顶角AMNABC连结 CN试探究 BM 与 CN 的数 量关系，并说明理由 图 4-1 图 4-2 图 4-3 4 5. 如图 5，正方形 ABCD、BGFE 边长分别为 2、1，正方形 BGFE 绕点 B 旋转，直线 AE、GC 相交 于点 H （1）在正方形 BGFE 绕点 B 旋转过程中,AHC 的大小是否始终为 90,请说明理由； （2）连接 DH、BH，在正方形 BGFE 绕点 B 旋转过程中，求 DH 的最大值； 图 5 备用图 6. 如图 6-1，已知点 A(0,3)和 x 轴上的动点 C(
7、m,0),AOB 和BCD 都是等边三角形 （1） 在 C 点运动的过程中，始终有两点的距离等于 OC 的长度，请将它找出来，并说明理由 （2） 如图 6-2，将BCD 沿 CD 翻折得ECD,当点 C 在 x 轴上运动时，设点 E(x,y),请你用 m 来表 示点 E 的坐标并求出点 E 运动时所在图象的解析式 （3） 在 C 点运动的过程中，当 m 时，直接写出ABD 是等腰三角形时 E 点的坐标 图 1 图 2 3 5 7. 【问题探究】（1）如图 7-1，锐角ABC 中分别以 AB、AC 为边向外作等腰ABE 和等腰 ACD,使 AEAB,ADAC,BAECAD,连接 BD,CE,试猜
8、想 BD 与 CE 的大小关系，并说明理 由 【深入探究】 （2） 如图 7-2，四边形 ABCD 中，AB7cm,BC3cm,ABCACDADC45,求 BD 的长 （3） 如图 7-3，在（2）的条件下，当ACD 在线段 AC 的左侧时，求 BD 的长 图 7-1 图 7-2 图 7-3 8.(1)如图 8-1，已知ABC,以 AB、AC 为边分别向ABC 外作等边ABD 和等边ACE,连接 BE、 CD，请你完成图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） ，并证明：BECD； （2） 如图 8-2，利用（1）中的方法解决如下问题：在四边形 ABCD 中，AD3,BD2,ABC ACBADB
9、45,求 BD 的长； （3） 如图 8-3，四边形 ABCD 中,BAC90,ADBABC,tan4,BD5,AD12，求 BD 3 的长 图 8-1 图 8-2 图 8-3 6 20202020 中考专题中考专题 1 1几何模型之双子型几何模型之双子型 参考答案参考答案 例 1.解：全等 理由：AOB 和CBD 是等边三角形， OBAB，OBAOAB60，BCBD，CBD60， OBAABCCBDABC， 即 OBCABD， 在OBC 和ABD 中， ，OBCABD（SAS） 不变 理由：OBCABD，BADBOC60， 又OAB60，OAE180OABBAD60， RtOEA 中，AE2
10、OA2，OE， 点 E 的位置不会发生变化，E 的坐标为 E（0，） 例 2.当 0360时，的大小没有变化， ECDACB，ECADCB， 又 ，ECADCB， ； 例 3解：作 ADAD，ADAD，连接 CD，DD，如图： BACCADDADCAD， 即 BADCAD， 在BAD 与CAD中， ，BADCAD（SAS） ， BDCD，DAD90， 由勾股定理得 DD3 ，DDAADC90， 由勾股定理得 CD ， BDCD 故答案为： 例 4.解：以 A 为旋转中心，把BAC 逆时针旋转 120，得到EAD，连接 BE，作 APBE 于 P，则BAE120，ABAE， ABEAEB30，
11、BPABcosABP3，AEB90， BE2BP6， 在 RtBED 中，BD10， 故答案为：10 【巩固训练】【巩固训练】 7 1. 解：设 Q 是 AB 的中点，连接 DQ， BACDAE90，BACDACDAEDAC，即BADCAE， ABAC2，O 为 AC 中点，AQAO， 在AQD 和AOE 中， ，AQDAOE（SAS） ，QDOE， 点 D 在直线 BC 上运动，当 QDBC 时，QD 最小， ABC 是等腰直角三角形，B45， QDBC，QBD 是等腰直角三角形，QDQB， QB AB1，QD ，线段 OE 的最小值是为故选：B 2. 解：(1)ABDACE 可得 BD=C
12、E,E 的运动路径的长即 D 的运动路径长， BC=2. (2) DEC60相当于AEC=ADB=120，即EDC=0,此时点 D 与点 B 重 合.因此不存在. (3) ACE=60,当 PECE 时取最小值.PE=PCcos60=1. 2 3. 解 ： （1）由旋转的性质可得：A1C1BACB45，BCBC1， CC1BC1CB45， CC1A1CC1BA1C1B454590 （2）ABCA1BC1 ， BABA1，BCBC1，ABCA1BC1 ， ，ABCABC1A1BC1ABC1 ， ABA1CBC1，ABA1CBC1 ， SABA14，SCBC1 ； 4.（1）证明：ABC、AMN
13、是等边三角形， ABAC，AMAN，BACMAN60， BAMCAN， 在BAM 和CAN 中， BAMCAN（SAS） ， ABCACN （2） 解：结论ABCACN 仍成立； 理由如下：ABC、AMN 是等边三角形， ABAC，AMAN，BACMAN60，BAMCAN， 8 在BAM 和CAN 中， BAMCAN（SAS） ，ABCACN （3） 解：ABCACN； 理由如下：BABC，MAMN，顶角ABCAMN， 底角BACMAN，ABCAMN， ，又BAMBACMAC，CANMANMAC， BAMCAN，BAMCAN，ABCACN 5. 解 ： （1）是，理由如下： 如图，由旋转知，A
14、BECBG， 在正方形 ABCD，BGFE 中， ABBC，BEBG，ADCBCDBADABC90， ABECBG，BAEBCG， 记 AH 与 BC 的交点为点 P， APBCPH，ABCBAEAPB180 AHCBCGCPH180， AHCABC90， （2）DHDE+EG=BD=2 2 6. 解 ： （1）连接 AD，如图 1 所示 A、D 两点间的距离始终等于 OC 的长度理由如下： AOB 和BCD 都是等边三角形， ABOB，BDBC，ABOCBD60， ABDABOOBD，OBCOBDDBC， ABDOBC 在ABD 和OBC 中，有 ， ABDOBC（SAS） ， ADOC （
15、2）过 D 作 DFy 轴于 F，连接 BE，如图 2 所 示 由（1）可知ABDOBC， ADOCm，DAFBAOBAD60（9060）30 DFADsinDAF m，AFADcosDAF m， A（0，3） ， D（m，m3） 将BCD 沿 CD 翻折得ECD 且BCD 是等边三角形， 四边形 BCED 是菱形， BE、CD 互相平分 9 AOB 是等边三角形，且点 O（0，0） ，点 A（0，3） ， 点 B（，） ，E（m ，m） m（m ） ，点 E 在图形 yx 上运动 （3）点 A（0，3） ，点 B（ ， ） ，点 D（ m， m3） ， AB3，ADm，BD ， ABD 为等
16、腰三角形分三种情况： 当 ABAD 时，有 3m， 此时点 E 的坐标为（ ， ） ； 当 ABBD 时，有 3， 解得：m0（舍去） ，或 m3， 此时点 E 的坐标为（3，3） ； 当 ADBD 时，有 m， 解得：m（舍去） 综上可知：在 C 点运动的过程中，当 m时， ABD 是等腰三角形时 E 点的坐标为（ ， ）或（3 ，3） 7.解 ： （1）BDCE 理由是：BAECAD， BAEBACCADBAC， 即 EACBAD， 在EAC 和BAD 中， ，EACBAD，BDCE； （2） 如图 2，在ABC 的外部，以 A 为直角顶点作等腰直角BAE，使BAE90，AEAB， 连接
17、EA、EB、EC ACDADC45，ACAD，CAD90， BAEBACCADBAC， 即 EACBAD， 在EAC 和BAD 中， ，EACBAD，BDCE AEAB7， BE 7 ，ABEAEB45， 又ABC45， ABCABE454590， 10 EC ， BDCE （3） 如图 3，在线段 AC 的右侧过点 A 作 AEAB 于点 A，交 BC 的延长线于点 E，连接 BE AEAB，BAE90， 又ABC45，EABC45， AEAB7，BE 7 ， 又ACDADC45， BAEDAC90， BAEBACDACBAC， 即 EACBAD， 在EAC 和BAD 中， ，EACBAD，
18、BDCE， BC3，BDCE（7 3）cm 8.解 ： （1）如图 1，分别以点 A、B 为圆心，以 AB 为半径画弧，交于点 D，连接 AD、BD，再分 别以 A、C 为圆心，以 AC 为半径画弧，交于点 E，连接 AE、CE 则ABD、ACE 就是所求作的等边三角形； 证明：如图 1，ABD 和ACE 都是等边三角形， ADAB，ACAE，DABEAC60， DACBAE， DACBAE（SAS） ， BECD； （2） 如图 2，过 A 作 AEAD，使 ADAE3，连接 DE、CE， 由勾股定理得：DE 3 ，EDA45， ADC45，EDCEDAADC90， ACBABC45，CAB90， CABDACEADDAC， 即EACDAB， AEAD，ACAB， DABEAC（SAS） ，ECBD， 在 RtDCE 中，EC ， BDEC ； （3） 如图 3，作直角三角形 DAE，使得DAE90， DEAACB，连接 EC， 容易得到DAEBAC， ，即 ， DAEBAC90， 11 DAEDACBACDAC，即EACDAB， EACDAB， ， 在DCE 中，ADCACB， EDAABC， EDC90， ，AD12， AE9，DAE90， DE 15，CE 5 ， 由EACDAB， BD
