1、专题专题 19 19 与圆有关的角与圆有关的角 阅读与思考 与圆有关的角主要有圆心角、圆周角、弦切角.特别的，直径所对的圆周角是直角.圆内接四边形提供 相等的角、互补的角，在理解与圆有关的角的概念时，要注意角的顶点与圆的位置关系、角的两边与圆的 位置关系. 角在解题中经常发挥重要的作用，是证明角平分线、两线平行、两线垂直，判定全等三角形、相似三 角形的主要条件，而圆的特点又使角的互相转化具备了灵活多变的优越条件，是解题中最活跃的元素. 熟悉以下基本图形和以上基本结论. 例题与求解 【例【例 1】如图，在ABC 中，ABAC 5，BC2，以 AB 为直径的O 分别交 AC，BC 于点 D，E，
2、则CDE 的面积为_. （海南省竞赛题） D E C B A O D M O B A C 例 1 题图 例 2 题图 解题思路：解题思路：作 DFBC 于 F，需求出 CE，DF 的长.由 AB 为O 的直径作出相关辅助线. 【例【例 2】如图，ABC 内接于O，M 是BC的中点，AM 交 BC 于点 D，若 AD3，DM1，则 MB 的长是（ ） A4 B2 C3 D 3 解题思路：解题思路：图中隐含许多相等的角，利用比例线段计算. 【例【例 3】如图 1，O 中 AB 是直径，C 是O 上一点，ABC45，等腰直角三角形 DCE 中， DCE 是直角，点 D 在线段 AC 上. (1) 证
3、明：B，C，E 三点共线； (2) 若 M 是线段 BE 的中点，N 是线段 AD 的中点，证明：MN 2OM； (3) 将DCE 绕点 C 逆时针旋转(090)后， 记为D1CE1(如图2).若 M1是线段 BE1的中点， N1是线段 AD1的中点，M1N1 2OM1是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由. 解题思路：解题思路：对于(2)，充分利用条件中的多个中点，探寻线段之间的数量关系与位置关系. 【例【例 4】如图所示，ABCD 为O 的内接四边形，E 是 BD 上的一点， BAEDAC. 求证：(1)ABEACD； (2) ABDCADBCACBD. （陕西省竞赛试题） 解题思路：解
4、题思路：由(1)可类比猜想，为(2)非常规问题的证明铺平道路. 【例【例 5】如图 1，已知M 与 x 轴交于点 A，D，与 y 轴正半轴交于点 B，C 是M 上一点，且 A（ 2,0） ，B（0，4） ，ABBC. (1) 求圆心 M 的坐标； (2) 求四边形 ABCD 的面积； (3) 如图 2，过 C 点作弦 CF 交 BD 于点 E，当 BCBE 时，求 CF 的长. 解题思路：解题思路：作出基本辅助线（如连接 BM 或 AC） ，这是解(1)、(2)的基础；对于(3)，由 BCBE， 得BECBCE，连接 AC，将与圆无关的BEC 转化为与圆有关角，导出 CF 平分ACD，这是解题
5、的 关键. C O O E D M1 E1 D1 A B N M A B C N1 图 1 图 2 O A B C D E x y x y E C DM B A O C DM B A O F 【例【例 6】如图，AB，AC，AD 是O 中的三条弦，点 E 在 AD 上，且 ABACAE. 求证：(1) CAD2DBE； (2) AD2AB2BDDC. （浙江省竞赛试题） 解题思路：解题思路：对于（2） ，AD2AB2(ADAB)(ADAB) (ADAE)(ADAE) (ADAE) DE，需 证(ADAE) DEBDDC，从构造相似三角形入手. O E A B D C 能力训练能力训练 A 级级
6、 1.如图，AB 是O 的直径，点 C 在O 上，BAC30，点 P 在线段 OB 上运动.设ACPx， 则 x 的取值范围是_. 2.如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB，F 是 CG 的中点，延长 AF 交O 于 E，CF2，AF3，则 EF 的长为_. x 第第3 3题图题图第第2 2题图题图第第1 1题图题图 P B F D C O A O B O BA C PG E A D C 3.如图，AB，CD 是O 的两条弦，它们相交于点 P.连接 AD，BD，已知 ADBD4，PC6，那么 CD 的长为_. 4.如图，圆内接四边形 ABCD 中的两条对角线相交于点 P，已知 ABBC，CD
7、1 2BD1.设 ADx， 用 x 的代数式表示 PA 与 PC 的积：PAPC_. （宁波市中考试题） 5.如图，ADBC 是O 的内接四边形，AB 为直径，BC8，AC6，CD 平分ACB，则 AD( ) A50 B32 C5 2 D4 2 O A B C D O A B D C G O B A C E D 第 4 题图 第 5 题图 第 6 题图 6.如图，在ABC 中，AD 是高，ABC 的外接圆直径 AE 交 BC 边于点 G，有下列四个结论：AD2 BDCD；BE2EGAE；AEADABAC；AGEGBGCG.其中正确结论的个数是( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 （哈
8、尔滨市中考试题） 7.如图，正ABC 内接于O，P 是劣弧BC上任意一点，PA 与 BC 交于点 E，有如下结论：PA PBPC； 111 APPBPC ；PAPEPBPC.其中正确结论的个数是( ) （天津市中考试题） A3 个 B2 个 C1 个 D0 个 8. 如图，四边形 ABCD 内接于O，延长 AD，BC 交于点 M，延长 AB，DC 交于点 N，M20， N40，则A 的大小为（ ） A35 B60 C65 D70 E O A B C P C B D O M N A E O A B C D 第 7 题图 第 8 题图 第 9 题图 9. 如图，已知O 的内接四边形 ABCD 中，
9、ADCD，AC 交 BD 于点 E. 求证：(1) ADDE BDAD ； (2) ADCDAEECDE2； （扬州市中考试题） 10. 如图，已知四边形 ABCD 外接圆O 的半径为 5，对角线 AC 与 BD 交于点 E，且 AB2AEAC， BD8，求ABD 的面积. （黑龙江省中考试题） E O CB A D 11. 如图，已知O 的内接ABC 中，ABAC12，ADBC 于 D，AD3. 设O 的半径为 y，AB 的长为 x. (1) 求 y 与 x 之间的函数关系式； (2) 当 AB 的长等于多少时，O 的面积最大？并求出O 的最大面积. （南京市中考试题） O B D A C
10、12. 如图，已知半圆O 的直径 AB4，将一个三角板的直角顶点固定在圆心 O 上.当三角板绕着 O 点转动时，三角板的两条直角边与半圆周分别交于 C，D 两点，连接 AD，BC 交于点 E. (1) 求证：ACEBDE； (2) 求证：BDDE； (3) 设 BDx，求AEC 的面积 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围.（广东省中考试题） E D A B C B 级级 1.如图，ABC 内接于直径为 d 的圆，设 BCa，ACb，那么ABC 的高 CD_. 2.如图，在平面直角坐标系中，OCB 的外接圆与 y 轴相交于点 A（0， 2） ，OCB60， COB45，则 O
11、C_. O A B C D x y A BO C B A O C D 第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 3.如图，AB 为O 的直径，CDAB，设COD，则 2 sin 2 AB AD g_.（江苏省竞赛试题） 4.如图，已知圆内接四边形 ABCD 中，ADAB，DAB90，对角线 AC 平分DAB.若 ADa， ABb，则 AC_. （ “东亚杯”竞赛试题） 5.如图，ABCD 是一个以 AD 为直径的圆内接四边形，AB5，PC4，分别延长 AB 和 DC，它们相交 于点 P，若APD60，则O 的面积为（ ） A25 B16 C15 D13 6. 如图，ABACAD，若DAC 是C
12、AB 的 k 倍（k 为正数） ，那么DBC 是BDC 的（ ） Ak 倍 B2k 倍 C3k 倍 D以上答案都不对 O B A C D O P B AD C A B D C 第 4 题图 第 5 题图 第 6 题图 7. 如图，AD 是 RtABC 斜边 BC 上的高，ABAC，过 A，D 两点的圆与 AB，AC 分别相交于 E， F，弦 EF 与 AD 相交于点 G，则图中与GDE 相似的三角形的个数为( ) A5 个 B4 个 C3 个 D2 个 8如图，AB 为O 的直径，AC 交O 于点 E，BC 交O 于点 D，CDBD，C70，现给出以 下四个结论：A45；ACAB； AEBE；
13、CEAB2BD2.其中正确结论的序号是( ) A B C D （苏州市中考试题） G D F E B C A D E O C A B O A B C D E 第 7 题图 第 8 题图 第 9 题图 9. 如图，四边形 ABCD 内接于O，BC 为O 的直径，E 为 DC 边上一点，若 AEBC, AEEC7， AB6. (1) 求 AD 的长； (2) 求 BE 的长. （绍兴市竞赛题） 10.如图 1，已知 M（1 2， 3 2 ） ，以 M 为圆心，MO 为半径的M 分别交 x 轴，y 轴于 B，A. (1) 求 A，B 两点的坐标; (2) C 是AO上一点，若 BC 3，试判断四边形 ACOM 是何种特殊四边形，并说明理由; (3) 如图 2，在(2)的条件下，P 是AB上一动点，连接 PA，PB，PC.当 P 在AB上运动时， 求证：PA+PO PC 的值是定值. x y x y A O A B O M M C P B C 11.如图，四边形 ABCD 为正方形， O 过正方形的顶点 A 和对角线的交点 P，分别交 AB， AD 于点 F， E. (1) 求证：DEAF； (2) 若O 的半径为 3 2 ，AB 21，求AE ED的值. （江苏省竞赛题） P E F B C D A O
